1、考研数学（数学一）模拟试卷 462 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( )（A）3（B） 4（C） 5（D）62 圆 面积为( )（A）16（B） 8（C） 4（D）23 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 y(x)dx为( )（A）一 ln3（B） ln3（C）一 ln3（D） ln34 设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 =4，则( )（A）f(x，y)在(0，0)处不可偏导（B） f(x，y)在(0，
2、0)处可偏导但不可微（C） fx(0， 0)=fy(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分（D）f x(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0 ，0)处可微分5 设 A 为三阶矩阵， 1= 的解，则( )（A）当 t2时，r(A)=1（B）当 t2时，r(A)=2（C）当 t=2 时，r(A)=1（D）当 t=2 时，r(A)=26 设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2，则A+4E =( )（A）8（B） 16（C） 2（D）07 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1(x)+08F 1(2x)，其中 F1(y)是服
3、从参数为1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（A）036（B） 044（C） 064（D）18 学生考试成绩服从正态分布 N(，3 2)，任取 36 个学生的成绩，平均成绩 =60，则 的置信度为 095 的置信区间为 ( )二、填空题9 设 f(x)连续，且 f(0)=0，f(0)=2则=_10 过点 A(3，2，1) 且平行于 L1： 的平面方程为_11 设 D：(x 2+y2)24(x2y2)，则 (xy)2dxdy=_12 平面 ：Ax+By+z+D=0 被柱面 x2+4y2=4 所截得的面积为_13 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_14 设 X1，X
4、 2，X m 与 Y1，Y 2，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y 的简单随机样本，令 Z= ，则 D(Z)= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，B上连续，在(0，2) 内三阶可导，且 =2，f(1)=1，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得 f“()=916 求级数 的和17 椭球面 1 是椭圆 L：相切的直线绕 z 轴旋转而成 () 求 1 及 2 的方程； ()求位于 1 及 3 之间的立体体积18 设 ()用变换 x=t2 将原方程化为 y 关于 t 的微分方程；() 求原方程的通解19 计算曲面积分 I= ，其中是曲面 2
5、x2+2y2+z2=4 的外侧20 设 A= 为 BX=0的解向量，且 AX=3 有解 ()求常数 a，b。 ()求 BX=0 的通解21 设 A= 可对角化 ()求常数 a；()求可逆矩阵 P，使得 P1AP 为对角矩阵22 设随机变量 X 的分布律为 PX=k)=p(1 一 p)k-1(k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 P(Y=323 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi 一(i=1，2，n)求( )D(Y i)(i=1，2，n)；()Cov(Y 1，Y n)；()PY1+Yn0考研数学（数学一）模拟试卷 462 答案与解析一、选择题
6、下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 k 一 2=3，即 k=5，选(C)2 【正确答案】 A【试题解析】 x 2+y2+z2 一 4x 一 2y+2z19化为 (x 一 2)2+(y 一 1)2+(z+1)225，球的半径为 R=5，球心(2，1，一 1)到平面 2x+2yz+2=0 的距离为3 【正确答案】 D【试题解析】 令 P(x，y)=2xy， Q(x，y)=x 2 一 1，因为 =2x，所以2xydx+(x2 一 1)dy=0 为全微分方程由 2xydx+(x2 一 1)dy=0，得 2xydx
7、+x2dydy=0，整理得 d(x2yy)=0，通解为 x2yy=C4 【正确答案】 D【试题解析】 由=4+，其中 为当(x，y)(0，0)时的无穷小，于是 f=f(x，y)一 f(0，0)=0x+0y+o( )，故 f(x，y)在(0，0)处可微，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0，选(D)5 【正确答案】 A【试题解析】 当 t2时， 1 一 2= 为 AX=0 的两个线性无关的解，从而 3r(A)2，r(A)1，又由 AO得 r(A)1，即 r(A)=1，应选(A)6 【正确答案】 B【试题解析】 令 B=(1， 2， 3)，由 AB+2B=O 得 Ai=一 2i(i=1，2，3
8、)， 由r(B)=2 得 =一 2 至少为 A 的二重特征值， 又由 r(A)3 得 3=0，故 1=2=一2， 3=0， A+4E 的特征值为 1=2=2， 3=4，故A+4E=16，应选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 设 X1E(1)，其密度函数为 f1(x)=且 E(X1)=D(X1)=1，则E(X12)=D(X1)+E(X1)2=2由 E(X)=+xf(x)dx=02 +xf1(x)dx+16 +xf1(2x)dx =02E(X 1)+04 +2xf1(2x)d(2x)=02E(X 1)+04E(X 1)=0 6， E(X2)=+x2f(x)dx=02 +x2f1(x)dx+1
9、6 +x2f1(2x)dx =02E(X 12)+0 2+(2x)2f1(2x)d(2x)=02E(X 12)+02E(X 12)=08，得 D(X)=E(X2)一E(X)2=08 一 036=0 44，选(B)8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 x 一 2y 一 5z+6=0【试题解析】 s 1=1，一 2，1，s 2=2，1，0 ，则所求平面方程的法向量为 n=s1s2=一 1，2，5 所求平面方程为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z 一 1)=0，即：x 一 2y 一 5z+6=011 【正确答案】 【试题解析】 1
10、2 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 1【试题解析】 E 一 A=( 一 1)2(一 2)=0 得 A 的特征值为 1=2=1， 3=2，因为 A 可相似对角化，所以 r(EA)=1，由 EA=得 a=114 【正确答案】 2(m+n 一 2)【试题解析】 D(Z)=2(m 一 1)+2(n 一 1)=2(m+n 一 2)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 =2，得 f(0)=0，f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2，P(1)=1，P(2)=6 ， 解得A= ，C=2，D=0 令 (x)
11、=f(x)一( +2x)，则 (x)在0，2上连续，在(0 ，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0，因此 (x)在0，1和1 ，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)，使得 (1)=(2)=0 又 (0)=0，由罗尔定理，存在 1(0， 1)， (1， 2)，使得 “(1)=“(2)=0，再由罗尔定理，存在 (，) (0，2)，使得 “()=0而 “(x)=f“(x)一 9，所以 f“()=916 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 令 0：x 2+y2+z2=1，取外侧，由及 1 构成的几何体为 ，20 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量， 由1， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2，从而 r(B)1，再由 r(B)1得 r(B)=1， 1， 2 为 BX=0 的一个基础解系，故 Bx=0 的通解为 X=k1 21 【正确答案】 22 【正确答案】 令 A1=X=k(k=1，2，)， B=Y=3， P(BA 1)=P(BA 2)=0，23 【正确答案】 ()D(Y i)=Cov(Yi，Y i)因为X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布， E(Y 1+Yn)=0PY 1+Yn0)=
