1、考研数学（数学三）模拟试卷 459 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f“(x)在(0，2) 上连续， 则( )（A）点(1 ，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(1)是函数 y=f(x)的极小值（C） f(1)是函数 y=f(x)的极大值（D）点(1 ，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的极值2 的根的个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)连续，且满足 则关于 f(x)的极值问题有( ) 4 设 0，f(x)在(，)内恒有 f“(x)0，且f(x) x 2，记 则有( )（
2、A）I=0 （B） I0（C） I0（D）不能确定5 已知四维列向量 1， 2， 3 线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1， 2， 3 均正交，则向量组 1， 2， 3， 1 的秩为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 A=(1， 2， 3， 4)为四阶方阵，且 1， 2， 3， 4 为非零向量组，设 AX=0的一个基础解系为(1，0，4，0) T，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 2， 3， 1+3（C） 1， 3， 4（D） 1+2， 2+24， 17 设 XN(1 ，4) ，YN(3，16)，PY=aX+b=1，
3、且 XY=1，则( )（A）a=2 ，b=5（B） a=2，b=5（C） a=2，b=5 （D）a=2 ，b=58 设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X n)为总体的简单样本，则( ) 二、填空题9 10 11 设 f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y(x，0)=sinx，f“ yy(x，y)=2x，则 f(x，y)=_12 过曲线 (x0)上的一点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为 ，所围区域绕 x 轴旋转一周而成的体积为_13 14 设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，Z=minX，Y，则 PZE(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明
4、、证明过程或演算步骤。15 设 y=y(x)由 x3+3x2y2y 2=2 确定，求 y=y(x)的极值16 讨论方程 lnx=kx 的根的个数17 计算 其中 D 是由 x2+y2=4 与 x2+(y+1)2=1 围成的区域18 已知微分方程 作变换 u=x2+y2， =lnz一(x+y) 确定函数 =(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于 ，u，v 的微分方程的形式19 20 设 讨论当 a，b 取何值时，方程组AX=b 无解、有唯一解、有无数个解，有无数个解时求通解21 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的向量组，且A1=1+32，A 2=51 2，A 3=1 2+4
5、3 (I)求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 Q，使得 Q1 叫 AQ 为对角矩阵22 设随机变量 X 服从参数为 A的指数分布，令 求： (I)PX+Y=0； ( )随机变量 Y 的分布函数； ()E(Y)23 设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n) ，问 k1，k 2，k n 应取何值，才能在使用考研数学（数学三）模拟试卷 459 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】
6、当 x(1， 1)时，f(x)0；当 x(1，1+)时，f(x)0，从而 x=1 为 f(x)的极大值点； 从而 f“(x)0，即(1 ，f(1) 不是 y=f(x)的拐点，应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=(x+1)e x+1=0 得 x=1， 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 因为f(x)x 2，所以 f(0)=0，由f(x)x 2，得由夹逼定理得 f(0)=0 5 【正确答案】 A【试题解析】 设 i=(i1， i2， i3， i4)T(i=1，2， 3)，由已知条件有iTj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)即 i(i=1，
7、2， 3，4)为方程组的非零解由于 i， 2， 3 线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为 3，所以其基础解系含 1 个解向量，从而向量组1， 2， 3， 4 的秩为 1，选 A6 【正确答案】 D【试题解析】 由 r(A)=3 得 r(A*)=1，则 A*X=0 的基础解系由 3 个线性无关的解向量构成 由 14 3=0 得 1， 3 成比例，显然 A、B、C 不对，选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 由 EY=aEX+b 得 a+b=3， 再由 DY=a2DX 得 4a2=16， 因为XY= 1，所以 a8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正
8、确答案】 【试题解析】 交换积分次序得 11 【正确答案】 xy 2+ysinxxsinx【试题解析】 由 f“xy(x， y)=2x 得 f y(x，y)=2xy+(x)，因为 f y(x，0)=sinx，所以 (x)=sinx，即 f y(x，y)=2xy+sinx ，再由 f y(x，y)=2xy+sinx 得 f(x，y)=xy 2+y sinx+(x)，因为 f(x，1)=0，所以 (x)=xsinx，故 f(x，y)=zy2+ysinxxsinx12 【正确答案】 【试题解析】 切线与x 轴的交点为(2a，0) ，所求的面积为 13 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=AE12(
9、2)E13 所以B= AE 12(2)E 13=3，又因为 B*=BB 1 ，所以 B*=3E 131 E121 (2)A1 =3E 13E12(2)A 1 ， 故14 【正确答案】 【试题解析】 服从参数为 的指数分布的随机变量的分布函数为 Z 的分布函数为 FZ(z)=PZz=1PZ z=1 PXz，Yz =1PXzPYz=11F(z)-1F(z) 即 ZE(2)，则 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 x 3+3x2y2y 3=2 两边对 x 求导得 3x 2+6xy+3x2y=6y 2y=0。 两边再对 x 求导得 6x+6y+12xy+3x 2y“1
10、2yy 26y 2y“=0， x=0 时，y“(0)=1，x=0 为极大值点，极大值为 y= 1； x= 2 时，y“(2)=1，为 y=y(x)的极小值点，极小值为 y=116 【正确答案】 情形一：当 k=0 时，方程只有唯一实根 x=1； 情形二：当 k0时，令 f(x)=lnxkx(x0)， 17 【正确答案】 由对称性得 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 情形一：a0 当a0且 ab+10 时，方程组有唯一解； 当 a0且 ab+1=0 时，方程组有无数个解， 当 b1时，方程组无解； 当 b=1 时，方程组有无数个解， 21 【正确答案】 (I)令 P=(
11、1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆 因为 A1=1+32，A 2=51 一 2，A 3=1 2+43， 所以(A 1，A 2，A 3)( 1+32，5 1 2， 1 2+43)， 得 A 的特征值为 1=4， 2=3=4 ()因为 AB，所以 B 的特征值为1=4， 2=3=4 因为P1 AP=B，所以 22 【正确答案】 (I)PX+Y=0=PY= X=PX1 =1PX1=1 (1e )=e ( )F Y(y)=PYy=PYy，0X1+PYy，X 1 =PXy，0X1+PXy，X1 当 y1 时，F Y(y)=PXy=1PXy=e y； 当1y Y(y)=PX1=e ； 当 0y1 时，F Y(y)=P0y +e ； 当 y1时，F Y(y)=P0X1+PX1=1 23 【正确答案】 因为 E(Xi)=(i=1，2，n)，所以 的无偏性要求是这就是约束条件，而目标函数为 由拉格朗日乘数法，作函数
