1、考研数学（数学二）模拟试卷 292 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在区间-1 ，1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= 的( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点2 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则( )（A）f(0)=0 且 f_(0)存在（B） f(0)=1 且 f_(0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在3 设 F(x)= ，其中 f(x)为连续函数，则 等于( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在4 设 f(，y
2、)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 ，则 f(x，y)在(0， 0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值5 微分方程 y-4y=x+2 的通解为( )6 设 其中 D：x 2+y2a2，则 a 为( )（A）1（B） 2（C）（D）7 设矩阵 A=(aij)33，满足 A*=A*，其中 AT 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a11a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为( )（A）（B） 3（C） 1/3（D）8 设 a1，a 2，a s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k
3、2， ks，都有 k1a1+k2a2+ksas0，则 a1，a 2，a s 线性无关（B）若 a1，a 2，a s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k1，a 1，k 2a2+ksas=0（C） a1，a 2，a s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D）a 1，a 2，a s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关二、填空题9 极限 =_10 设(x 0，y 0)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_11 设 =_12 设 y=y(x)可导， )，y(0)=2 ，令 y=y(x+x)-y(x)，且 y
4、= ，其中 a 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_13 曲线 上对应于 t=/6 点处的法线方程是 _14 设 ，其中aiaj，ij ，i，j=1，2，n，则线性方程组 AT=B 的解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f(x)在(-，+) 内可导，且求 c 的值16 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足17 计算18 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明： ()存在 (a，b)，使得 f()=g()； ()存在(a， b)，使得 f()=g()19 设曲线
5、方程为 y=e-x(x0) ()把曲线 y=e-x(x0)、x 轴、y 轴和直线 x=(0)所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()，求满足()在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积20 设函数 f(x)在(-，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 2-4)，若对任意的 x都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数 ()写出 f(x)在-2，0上的表达式； () 问 k为何值时，f(x)在 x=0 处可导21 已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2，求 f(x，
6、y) 在椭圆域 上的最大值和最小值22 设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 是 n 维列向量，b 为常数，(I)计算 PQ； ()证明 PQ 可逆的充分必要条件是 aTA-1ab23 已知 a1=(1，4，0，2) T，a 2=(2，7，1，3) T，a 3=(0，1，-1，a)T， =(3，10，b，4) T，问： ( )a，b 取何值时， 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示? ()a，b 取何值时， 可由 a1，a 2，a 3 线性表示?并写出此表示式考研数学（数学二）模拟试卷 292 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析
7、】 ，即函数 g(x)在 x=0 处极限存在，则 x=0 是该函数的可去间断点故应选(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 令 x=h2，则3 【正确答案】 B【试题解析】 所以(B)为正确选项4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，所以由极限的保号性，存在 0。5 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y-4y=0 的特征方程为 2-4=0，特征值为-2、2， 则方程y-4y=0 的通解为 C1e-2xh+C2e-2x，显然方程 y-4y=x+2 有特解-(1/4)x- 1/2，选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知 A*=AT，即有 于是a
8、ij=Aij，i，j=1，2，3，A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a1120又由A*=AT，两边取行列式并利用A *=A n-1 及A T=A 得A 2=A，从而A=1，即 3a112=1，于是 ，所以选(A) 8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量组线性相关和无关的定义根据定义，知(B)不正确，(A)正确，同时由向量组的秩的定义，知(C) 正确，由向量组在部分向量线性相关则必然整个向量组线性相关的结论，知(D)正确综上，选 (B)二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 令10 【正确答案】 x/a0 或 ax02=c，b 任意【试题
9、解析】 y =2ax+b，y (x0)=2ax0+b，过 x0，y 0)点的切线方程为 y-y 0=(2ax0+b)(x-x0)，即 y-(ax02+x0+C)=(2ax0+b)(x-x0)， 此切线过原点，把 x=y=0 代入上式，得-ax02-bx0-c=-2ax02-bx0， 即 ax02=c，所以系数应满足的关系式为 x/a0 或 ax02=c，b任意11 【正确答案】 e -1-1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 利用参数方程的求导得切线斜率曲线上对应于 t=/6 的点的直角坐标为 对应于 t=/6 点处的切线的斜率因此对应于 t=/6
10、 点处法线的斜率 故曲线上对应于 t=/6 点处的法线方程为14 【正确答案】 x=(1，0，0) T【试题解析】 由于A T=A= ，故知 ATx=B 有唯一解，且由克莱姆法则知唯一解为 ，其中 Dj 是把 AT中第 j 列元素用 B 代替后所得行列式，显然 D1=A T，D 2=Dn=0故线性方程组 ATx=B 的解为x=(1，0，0) T三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由题设， 由拉格朗日中值定理得 f(x)-f(x-1)=f()*1，其中 在 x-1 与 x 之间，则综上，e 2c=e，从而 c=1/216 【正确答案】 由题设， =fu*y+fv
11、*x， =fu*x-fv*y，因此 =yfuu*y+fuv*x+fv+xfvu*y+fvv*x=y2fuu+2xyuv+x2fvv+fv =xfuu*y-fv-yfvu*x-fvv*y=x2fuu-xyfuv-fv-xyfuv+y2fvv =x2fuu-2xyfuv+y2fvv-fv，因此=y2fuu+2xyfuv+x2fvv+fv+x2fuu-2xyfuv+y2fvv+)-fv=(x2+y2)(ffuu+fvv)=x2+y217 【正确答案】 本题为“1 ”型未定式，除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外，由于已知数列的表达式，也可将 n 换为 x 转化为函数极限进行计算一般地
12、，若 因为18 【正确答案】 (1)设 f(x)，g(x)在(a，b) 内某点 c(a，b)同时取得最大值， 则 f(c)=g(c)，此时的 c 就是所求点 ，使得 f()=g()， 若两个函数取得最大值的点不同，则可没 f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)， 故有 f(c)-g(c)0，f(d)-g(d)0， 由介值定理，在(c ，d)内(或 (d，c) 内) 肯定存在 ，使得 f()=g() ()由罗尔定理在区间(a，)、(，b)内分别存在一点 1， 2， 使得 f(1)=g(1)，f (2)=g(2)在区间( 1， 2)内再用罗尔定理， 即存在 (a，b)，使得 f()=g
13、()19 【正确答案】 () 如图，旋转体体积()如图， 设切点为(a ，e -a)，因 y=(e-x)=-e-x，所以切线方程为 y-e-a=-e-a(x-a)，令 x=0，得 y=(1+a)e-a，令 y=0，得 x=1+a，于是切线与坐标轴所夹面积 s=1/2(1+a)2e-a， 令 S=0，得a1=1，a 2=-1，其中 a2=-1 应舍去 当 a1 时，S =1/2(1-a)e-a0，当 n1 时，S=1/2(1-a2)e-a0， 故当 a=1 时面积最大，所求切点为 (1，e -1)，最大面积S=1/2(1+1)2e-1=2e-1。20 【正确答案】 由题没，f(x)=x(x 2-
14、4)，x 0，2 当 x-2，0)时，x+20，2)，则由 f(x)=kf(x+2)知 f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2-4 =k(x+2)(x2+4x)=kx(x+2)(x+4)，x-2，0) 南导数定义及 f(0)=0，有 f(0+)=令 f(0)=f(0-)，则 k=-(1/2)，所以当 k=-(1/2)时，f(x)在 x=0 处可导21 【正确答案】 根据题意，先求 f(x，y)的表达式 由已知有 dz=dx2-dy2=d(x2-y2)z=x2-y2+C 又为 f(1，1)=2，所以 C=2，从面 z=f(x，y)=x 2-y2+2然后求出f(x，y)在 D 内驻点
15、及相应函数值，解 得(x，y)=(0，0)，即 f(x，y)在D 内有唯一驻点(0，0) ，且 f(0，0)=2接着求 f(x，y)在 D 的边界 y2=(1-x2)上的最大值和最小值将 y2=(1-x2)(x1)代入 x=x2-y2+2 得 z(x)=x2-(1-x2)+2=5x2-2显然，z(x)在-1，1上的最大值为 3，最小值为-2，综上，z=f(x，y)在 D 上的最大值是 max2，3，-2=3，最小值是 min2，3，-2=-222 【正确答案】 (1)解：PQ ()证：PQ=A 2(b-aTA-1A)，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0，即 aTA-1b23 【正确答案】 向量
16、能否由 a1，a 2，a 3 线性表示实质上等价于下述方程组有解或无解的问题：Ax=，其中 A=(a1，a 2，a 3)，x= 从而 A= ，相应的增广矩阵为 B= 利用初等行变换将 B 化为阶梯形为：(I)当 b2 时，r(A)r(B)，此时方程组 Ax= 无解，即 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示；()当 b=2，a1 时，r(A)=r(B)且 r(A)=3，此时方程组Ax= 有唯一解，且相应的行简化阶梯形为 ，因此该唯一解为 x=因此， 可由 a1，a 2，a 3 唯一表示为 =-a1+2a2；当 b=2，a=1 时，r(A)=r(B)且 r(A)=23，此时方程组 Ax= 有无穷解，相应的行简化阶梯形为其导出组的基础解系为(-3，3，1) T，原方程组特解为(-1，2，0)T，则通解为 C(-3，3，1) T+(-1，2，0) T，其中 C 为任意常数，此时 可由a1，a 2，a 3 表示为 =-(3C+1)a1+(3C+2)a2+Ca3
