1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)在(一，+) 内二阶可导，f“(x) 0 =1，则 f(x)在(一，0)内( )（A）单调增加且大于零。（B）单调增加且小于零。（C）单调减少且大于零。（D）单调减少且小于零。2 设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数 f(x)在点x0 处( )（A）取得极大值。（B）取得极小值。（C）某邻域内单调增加。（D）某邻域内单调减少。3 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3(x 一 4)4
2、的拐点是( )（A）(1 ，0)。（B） (2，0) 。（C） (3，0) 。（D）(4 ，0)。4 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值。（B） f(0)是 f(x)的极小值。（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。5 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0， =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值。（B） f(0)是 f(x)的极小值。（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不
3、是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。6 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（A）充分必要条件。（B）充分条件但非必要条件。（C）必要条件但非充分条件。（D）既非充分条件又非必要条件。7 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0 ，F(x)= 0x(x2 一 t2)f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 x3 是同阶无穷小，则 k 等于( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。8 设 f(x)= 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在。
4、（B）极限存在，但不连续。（C）连续，但不可导。（D）可导。9 函数 f(x)=(x2 一 x 一 2)x 3 一 x不可导点的个数是( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）0。10 设 y=f(x)是满足微分方程 y“一 y一 esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在( )（A）x 0 的某个邻域内单调增加。（B） x0 的某个邻域内单调减少。（C） x0 处取得极小值。（D）x 0 处取得极大值。11 设函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（A）f(a)=0 且 f(a)=0。（B） f(a)=0 且 f(a)0。（
5、C） f(a)0 且 f(a)0。（D）f(a)0 且 f(a)0。12 函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则( )（A）当 f(x)=0。（B）当 f(x)=0。（C）当 f(x)=0。（D）当 f(x)=0。二、填空题13 函数 f(x)=4x 3 一 18x2+27在0，2上的最小值是_，最大值是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，且 g(b)=g(a)=1，在(a，b)内 f(x)与 g(x)可导，且 g(x)+g(x)0，f(x)0。证明：存在 ，(a，b)，使得15 设在区间0，2 上，f(x) 1，f“
6、(x) 1。证明：对于任意的 x0，2，有f(x)2。16 求下列极限17 设 f(x)在a，+)上连续， f“(x)在(a，+)内存在且大于零，记 F(x)= (xa)，证明 F(x)在(a，+)内单调增加。18 设 f(x)在 x0 的邻域内有定义，并且 =k，其中 n 为正整数，k0为常数，试讨论当 n 取不同的值时 f(x0)是否为极值。19 求曲线 y= ln(1+e2x)的渐近线。20 已知函数 y= ，试求其单调区间、极值以及函数图形的凹凸区间、拐点和渐近线，并画出函数的图形。21 设当 x0 时，方程 kx+ =1 有且仅有一个解，试求 k 的取值范围。22 设 eab，证明：
7、a 2 b 2。23 证明： 24 已知函数 f(x)= 在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程和法线方程。25 已知两曲线 y=f(x)与 y=0arctanx dt 在点(0 ，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 。26 设方程 y3+sin(xy)一 e2x=0 确定曲线 y=y(x)。求此曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率与曲率半径。考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 =1，得 f(0)=0，f(0)=1，因为 f“(0)0
8、，所以 f(x)单调减少，在(一， 0)内 f(x)f(0)=10，故 f(x)在(一，0)内为单调增函数，又 f(0)=0，故在(一，0)内 f(x)(0)=0，选 B。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x0)=0 知 x=x0 是函数 y=f(x)的驻点。将 x=x0 代入方程，得 y“(x0)一 2y(x0)+4y(x0)=0。 由于 y(x 0)=f(x0)=0，y“(x 0)=f“(x0)，y(x 0)=f(x0)0， 则有 f“(x 0)=一 4f(x0)0， 由极值的第二充分条件知，f(x) 在点 x0 处取得极大值，故选 A。【知识模块】 一
9、元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 根据凹凸性的定义，在区间1，2上，从而 f(x)在区间1，2上是凹的；同理在 2，3 上 0，即 f(x)在区间2，3上也是凹的；在 3，4 上 0，故 f(x)在区间3，4上是凸的。由拐点的定义知，(3，0) 为曲线的拐点。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 令等式 f“(x)+f(x)2=x 中 x=0，得 f“(0)=0 一f(0) 2=0，无法利用极值的第二充分条件进行判定。 对 f“(x)求导数 f“(x)=(x 一f(x) 2)=12f(x)f“(x)，将 f(0)=0 代入，有 f“(0)=1，所以由导数定义
10、 从而存在 x=0 的去心邻域，在此去心邻域内，f“(x)与 x 同号，且当 x0 时，f“(x)f“(0)=0，故曲线 y=f(x)是凸的，当 x0 时，f“(x)f“(0)=0，故曲线 y=f(x)是凹的，因此点(0，f(0)是曲线y=f(x)的拐点，故选 C。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)有二阶连续导数，且 =10，所以由函数极限的局部保号性可知，在 x=0 的去心邻域内有 0，即 f“(x)0，所以 f(x)在 x=0的去心邻域内单调递增。 又因 f(0)=0，故 f(x)在 x=0 处左右两侧取值由负变正，根据极值的第一充分条件，f(0)
11、是 f(x)的极小值。应选 B。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)在 x=0 可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等，于是有 由此可知 f(0)=0 是F(x)在 x=0 处可导的充要条件，故选 A。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 F(x)=(x20xf(t)dt 一 0xt2f(t)dt)=2x0xf(t)dt，所以满足同阶无穷小的条件，故选 C。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 已知 g(x)为有界函数，因此则f+(0)=0，故 f-(0)=f+(0)，从而 f(0)存在，且 f(0)=
12、0，应选 D。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 对原函数进行恒等变形，即f(x)=(x+1)(x 一 2)(x2)xx+1x 一 1。从而可知，f(x)的不可导点为 x=一 1，x=0，x=1。因为连续函数与绝对值函数相乘时，即 f(x)=g(x)x时，当 g(x)=0 时，f(x) 可导。根据此结论，设 f(x)=g(x)xx+1 x 一 1，由于 g(一 1)=0，g(0)= 一20，g(1)=一 20，因此 f(x)在 x=一 1 处可导，而在 x=0 和 x=1 处不可导，故应选B。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 由已知方程可
13、得 f“(x)一 f(x)=esinx，从而 f“(x0)一 f(x0)= ，又f(x0)=0，则有 f“(x0)= 0，根据极值的第二充分条件，f(x) 在 x0 处取极小值，因此选 C。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处必连续。 当 f(a)0 时，则在 x=a 的某个邻域内有 f(x)0，此时f(x) =f(x) ，f(x) 在 x=a 处可导，故选项(C)不正确。 同理，当 f(x)0 时，f(x)=一 f(x)，f(x)在 x=a 处也可导，故排除(D)。 当 f(a)=0 时，设 (x)=f(
14、x) ，则有若 (x)在 x=a 处可导，则需一f(a)=f(a)，即 f(a)=0。反之，当 (x)不可导时，必有 f(a)0，应选 B。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知条件，取 f(x)=不存在，排除 A； 取f(x)=sinx，则 =1，排除(C)和(D)； 对于选项(B)，假设 f(x)=k0，设 k0，则存在 M 0，当 xM 时，有 f(x) 。与 f(x)在(0，+)内有界矛盾。 因此 k=0，即 f(x)=0。故选 B。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 0，27【试题解析】 设 (x)=4x3 一 18x2+27，
15、则因此 (x)在0，2 上单调下降，且 (0)=27，(2)=一 13，因此存在唯一一点 x2(0，2)，使得 (x2)=0，由于 f(x)=(x)，可得 f(0)=27，f(x 0)=0，f(2)=13。 因此， f(x)在0，2的最小值为 0，最大值为 27。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 作辅助函数 (x)=exg(x)，则 (x)=exg(x)+g(x)。于是 f(x)和 (x)在a ，b上满足柯西中值定理，故存在一点 (a， b)，使得再作辅助函数 (x)=ex，则 (x)=ex，故有 f(x)，(x)在a，b上满足柯
16、西中值定理，于是必存在一点 (a，b) ，使得【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 对任意的 x0，2 ，将函数按(y 一 x)的幂展开成二次泰勒多项式为 f(y)=f(x)+f(x)(yx)+ (yx)2。 令 y=0 和 y=2，得 f(0)=f(x)一 f(x)x+x2，x 1x。 f(2)=f(x)+f(x)(2 一 x)+ (2 一 x)2，x 22。上面两式相减，得 f(2)一 f(0)=2f(x)+ f“(2)(2 一 x)2 一 f“(1)x2，即 f(x)=f“(2)(2 一 x)2 一 f“(1)x2。 由题设条件，f(x)1，且f“(x)1，则 f(x) f“(
17、 2)“(2 一 x)2+f“( 1)x 2 1+ (2 一 x)2+x22。 命题得证。【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由已知有 F(x)= f(x)(x 一 a)一 f(x)+f(a)，令 (x)=f(x)(xa)f(x)+f(a)，(xa) ，则 (x)=f“(x)(x 一 a)+f(x)f(x)=(x 一 a)f“(x)0(xa)，由此知 (x)在(a，+)上单调递增，于是 (x)(a)=0故 F(x)= 0，所以 F(x)在(a，+)内单调增加。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 设 =0，则有 f(x) f
18、(x0)=k(x 一 x0)n+(x)(x 一 x0)n。 若 n 为偶数，当x 一 x0 时，其中 为充分小的正数， f(x)f(x0)与 k 同号。当 k0 时，f(x 0)为极小值；当 k0 时，f(x 0)为极大值。 若 n 为正奇数，当x 一x0 时，其中 为充分小的正数，f(x)f(x 0)在 x0 两侧异号，所以 f(x0)不是极值。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因 x一，e 2x0；x+时，e 2x+ ，故因而 y=0 是曲线的一条水平渐近线。 x=一 1 是函数的间断点，且 故 x=一 1 是曲线的垂直渐近线。故 y=一 2x 是曲线的一条斜渐近线。【知识模
19、块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由已知，函数的定义域为(一，1)(1，+)。且由上表可知，函数的单调递减区间为(一，0)和(1，+)，单调递增区间为(0，1)；函数在 x=0 处取得极小值 y x=0=0曲线的凸区间为(一，一，1)和(1，+)；拐点为(一 )。 由 =2，可知 y=2 为该曲线的一条水平渐近线，由 =+，可知 x=1 是曲线的垂直渐近线。 综上可知，函数图形如右图 25 所示。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 f(x)=kx+ 。 (1)看 k0，则f(x)0，f(x)在(0 ，+)上单调递减，并且 f(x)=+，则当 k0 时，f(x)=一 1。因
20、此，当 k0 时，原方程在(0，+)内有且仅有一个解。 (2)若 k0，令 f(x)=k 一 上 f(x)0，所以 f(x)单调递减，在( ，+)上 f(x)0，所以 f(x)单调递增，又因为f(x)=+，要求 k0 时原方程有且仅有一个解，即=0，亦即 综上所述，当 k0 或 k= 时原方程有且仅有一个解。【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 要证明 b 2，只要证明 alnablnb。 令 f(x)=xlnx(xe)，则f(x)=lnx+1 0(xe)，因而 f(x)单调递增(xe) ，又因为 ba，所以 f(b)f(a)，即alnablnb。 要证明 a2 。 令 (x)=0(
21、xe) ，因此可知 (x)单调递减(xe)，已知ab，因此 (a)(b)，即 。 综上所述，当 ea b 时，a2 b2。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 则曲线 y=f(x)在 时，f(x)0。故【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为 f(x)在 x=1 处可导，所以 f(x)在 x=1 处连续，因此有=e=f(1)=a+b，即 a+b=e。由于切点为(1，e)，f(1)=一 e，则切线斜率为一 e，故所求切线方程为 ye=一 e(x一 1)，即 ex+y 一 2e=0。法线斜率为一 ，所以法线方程为 ye= (x一 1)，即 x 一 ey+e2 一 1=0。【知
22、识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因此，过点(0 ，0) 的切线方程为 y=x。由于两曲线有相同的切线方程，因此 f(0)=0，f(0)=1。故有【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 在隐函数方程两端同时对 x 求导得 3y 2y+(y+xy)cos(xy)一2e2x=0。 将点(0 ，1)代入上式得 3y(0)+12=0，即 y(0)= 。 在等式 3y2y+(y+xy)cos(xy)一 2e2x=0 的两端对 x 再次求导得 6y(y) 2+3y2y“+(2y+xy“)cos(xy)一(y+xy)2sin(xy)一 4e2x=0，将点(0，1)与 y(0)= 代入上式，即得由曲率公式，可知所求曲率为【知识模块】 一元函数微分学
