1、考研数学一（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2003 年) 设 an，b n，c n均为非负数列，且则必有( )（A）a nb n 对任意 n 成立（B） bnc n 对任意 n 成立（C）极限 不存在（D）极限 不存在2 (2007 年) 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是 ( )（A）若 u1u 2，则(u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散
2、3 (2008 年) 设函数 f(x)在(，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是( )（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若(f(x n)单调，则x n收敛4 (2004 年) 把 x0 +时的无穷小量 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A），（B） ，（C） ， （D）， 5 2007 年) 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( ) 6 (2009 年) 当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则( ) 7 (2
3、013 年) 已知极限 其中 k，c 为常数，且 c0，则( )（A）k=2，（B） k=2，（C） k=3，（D）k=3，8 (2010 年) 极限（A）1（B） e（C） ea-b（D）e b-a9 10 (2016 年) 已知函数 则 f(x)的一个原函数是( ) 11 (2016 年) 已知函数 则( )（A）x=0 是 f(x)的第一类间断点（B） x=0 是 f(x)的第二类间断点（C） f(x)在 x=0 处连续但不可导（D）f(x)在 x=0 处可导12 (2017 年) 若函数 在 x=0 处连续，则( )（A）（B）（C） ab=0（D）ab=2二、填空题13 (1998
4、年)14 (2006 年)15 (2015 年)16 (2016 年)17 (1999 年)18 (2003 年)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (2002 年)设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)在 h0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a，b 的值。20 (2015 年) 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3，若 f(x)与 g(x)在 x0 是等价无穷小，求 a，b，k 的值。21 (2008 年) 求极限22 (2000 年) 求23 (
5、2014 年) 求极限24 (2011 年) 求极限25 (1998 年) 求26 (2017 年) 求27 (2006 年) 设数列 xn)满足 01n+1=sinxn(n=1，2，)。 (I)证明 存在，并求该极限； ( )计算28 (2011 年)(I) 证明：对任意的正整数 n，都有 成立； () 设证明数列a n收敛。考研数学一（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 则由极限的保号性可知，存在 N0，使得当nN 时，a nb n，但不是对任意的 n 都成立。例如 bn=1
6、，n=1，2 时不满足 an bn，所以选项 A 错误。 类似地，选项 B 也是错误的。例如bn=1， n=1，2 时不满足 bnc n。 由于 因此 是0型的未定式，有可能收敛也有可能发散，所以选项 C 是错误的。例如极限 证明 发散，可采用反证法。假设 是收敛的，由于 可知 也是收敛的，与已知条件矛盾，假设不成立，也即 是发散的。由此唯一正确的选项是 D。【知识模块】 函数、极限与连续2 【正确答案】 D【试题解析】 方法一：设 f(x)=x2，则 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，u 1u 2，但u n=n2发散，排除 C； 设 则 f(x)在(0，+)上具有二阶导数
7、，且 f“(x)0，u 1u 2，但 收敛排除 B； 设 f(x)=一 lnx，则f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，u 1 u2，但u n=一 lnn发散，排除A。故应选 D。 方法二：由拉格朗日中值定理，有 u n+1 一 un=f(n+1)一 f(n)=f(n)(n+1n)=f(n)，其中 n nn+1(n=1，2，)。 由 f“(x)0 知，f(x)单调增加，故 f( 1)f( 2)f( n)，所以 于是当 u2 一 u10 时，有 故选 D。【知识模块】 函数、极限与连续3 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)有界可得f(x n)也有界，由 f(x)单调且x
8、n也单调可得f(x n)单调，此时f(x n)单调有界，故选 B。 实际上也可以举特例判断： 如果令 xn=n，则f(xn)单调，由单调有界收敛定理可知，f(x n)是收敛的，但此时 xn是发散的，排除 C 和 D。 本题容易引起混淆的是选项 A，x n收敛时，假设 此时要得到 也存在，必须有 f(x)在 x=a 处连续的条件。但题目中的条件并不能保证f(x)在 x=a 处连续，所以 A 不正确。例如：【知识模块】 函数、极限与连续4 【正确答案】 B【试题解析】 方法一： 可排除 C，D选项。 又 可见 是比 低阶的无穷小量，故应选 B。 方法二：利用同阶无穷小的定义。 由是 x 的一阶无穷
9、小； 由是 x 的三阶无穷小； 由是 x 的二阶无穷小。 因此选 B。【知识模块】 函数、极限与连续5 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 +时，有故应选 B。【知识模块】 函数、极限与连续6 【正确答案】 A【试题解析】 由常见的等价无穷小替换公式以及常见函数的麦克劳林展开式可知：当 x0 时， g(x)=x 2ln(1 一 bx)一 bx3， 要使得f(x)和 g(x)等价，则必有 1 一 a=0， 即 a=1， 故选 A。【知识模块】 函数、极限与连续7 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，有 则代入可知 k=3， 故选 D。【知识模块】 函数、极限与连续8 【正确答案】 C
10、【试题解析】 本题属于 1型未定式求极限，故有 【知识模块】 函数、极限与连续9 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限与连续10 【正确答案】 D【试题解析】 先检验各函数在每个区间上的导数，易知，对选项 B 和 C 来说，当x1 时，都有 F(x)=lnx+2f(x)，可知它们必定不是 f(x)的原函数。 对选项 A 和D，检验 F(x)在 x=1 处的连续性。易知，对选项 A 中的 F(x)， 因此该函数在 x=1处不连续，从而它不是 f(x)的原函数。 综上所述，排除 A、B 和 C。选 D。【知识模块】 函数、极限与连续11 【正确答案】 D【试题解析】 由函数连续以
11、及可导的定义可知， 【知识模块】 函数、极限与连续12 【正确答案】 A【试题解析】 由函数连续的定义可知， 因为 【知识模块】 函数、极限与连续二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 方法一：采用洛必达法则。 方法二：将分子按带佩亚诺余项的泰勒公式展开至 x2 项。 【知识模块】 函数、极限与连续14 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限与连续15 【正确答案】 【试题解析】 方法一：利用洛必达法则。 方法二：利用等价无穷小替换。 【知识模块】 函数、极限与连续16 【正确答案】 【试题解析】 由等价无穷小量和洛必达法则可得 【知识模块】 函数、极限与连续17 【正确答
12、案】 【试题解析】 方法一： 方法二： 由泰勒公式可知，当x0 时， 代入可得 【知识模块】 函数、极限与连续18 【正确答案】 【试题解析】 方法一： 而 故原式= 方法二：因为所以原式=【知识模块】 函数、极限与连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 方法一：由题设条件知 由于 f(0)0，所以 a+b 一 1=0。又由洛必达法则， 由于 af(h)+bf(2h)一 f(0)在 h0 时是比 h 高阶的无穷小，由高阶无穷小的定义知上式等于 0，又由f(0)0，得 a+2b=0。 解方程组 得 a=2，b=一 1。 方法二：分别将f(h)，f(2h)按带佩亚
13、诺余项的泰勒公式展开到 o(h)，有 f(h)=f(0)+f(0)h+o(h)，f(2h)=f(0)+2f(0)h+o(h)，从而 af(h)+bf(2h)一 f(0)=(a+b 一 1)f(0)+(a+2b)f(0)h+o(h)。 由题设条件知，a+b 一 1=0，a+2b=0 ，所以 a=2，b=一 1。 方法三：由题设条件，有 由于 f(0)0，所以 a+b 一 1=0。再将 a=1 一 b 代入 凑成导数定义形式，有 从而a=2，b=1。【知识模块】 函数、极限与连续20 【正确答案】 使用泰勒公式有 【知识模块】 函数、极限与连续21 【正确答案】 方法一： 方法二： 【知识模块】
14、函数、极限与连续22 【正确答案】 左、右极限相等，所以 【知识模块】 函数、极限与连续23 【正确答案】 当 x+ 时， 由等价无穷小替换和洛必达法则可得 对最后一个极限式有两种方法计算。 方法一：令 则当 x+ 时， t0 +，于是 方法二：利用泰勒展开式。 当 x+时，所以 【知识模块】 函数、极限与连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限与连续25 【正确答案】 由于 i=1，2，n，于是， 由于 根据夹逼定理知 【知识模块】 函数、极限与连续26 【正确答案】 由定积分的定义式可得 再由分部积分法可得 【知识模块】 函数、极限与连续27 【正确答案】 (I)先证明 0x n
15、，n=1，2，3，： 当 n=1 时，结论显然成立；假设当 n=k 时，结论成立，也即 0x k ，此时有 xk+1=sinxkO，同时也有sinxk1 ，因此，0x k+1。由数学归纳法可知，0x n，n=1，2，3，。 再证明x n单调： 由于 xn0，可知 xn+1=sinxnx n，从而x n是单调递减的。 由单调有界收敛定理可知，极限 存在。令 在等式 xn+1=sinxn 两端同时令n可得 a=sina，解得 a=0，也即 因此，这是一个1型的极限，运用重要极限计算可得 【知识模块】 函数、极限与连续28 【正确答案】 (I)方法一：将式中的 看成 x，不等式就变成了令 f(x)=x 一 ln(1+x)，由于 x0 时，可知 f(x)在0 ，+)上单调递增。又由于 f(0)=0，可知 x0时，f(x)0，也即 xln(1+x)。 再令 由于 x0 时可知 g(x)在0，+)上单调递增。又由于 g(0)=0，可知 x0 时，g(x) 0，也即 方法二：设 f(x)=ln(1+x)，显然 f(x)在 上满足拉格朗日中值定理的条件， 结论得证。 () 设 先证数列a n)单调递减。 利用(I)的结论可以得到故 an+1n，即数列a n单调递减。 再证数列a n有下界。 得到数列an有下界。利用单调递减且有下界数列必收敛得到a n收敛。【知识模块】 函数、极限与连续
