1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x，y)在点 0(0，0)处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可微（D）可微2 二元函数 其中 m，n 为正整数，函数在(0，0)处不连续，但偏导数存在，则 m，n 需满足 ( )（A）m2，n2（B） m2， n2（C） m2，n2（D）m2，n23 函数 z=f(x，y)= 在(0 ，0)点 ( )（A）连续，但偏导数不存在（B）偏导数存在，但不可微（C）可微（D）偏导数存在且连续4 函数 z=x3+y3-3z2-3y2 的极小值
2、点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)5 函数 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在6 zx(x0，y 0)=0 和 zy(x0，y 0)=0 是函数 z=z(x，y)在点 (x0，y 0)处取得极值的( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充分条件7 函数 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集8 极限 ( )（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在，但不等于 也不等于 09 设 u=(r)，而 =
3、( )二、填空题10 函数 f(c，y)=ln(x 2+y2-1)的连续区域是_11 设 =_12 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c 在点(-2 ，3)处取得极小值-3，则常数 a、b、c 之积 abc=_13 曲面 z=eyz+xsin(x+y)在 处的法线方程为_14 设 =_15 设 f(x，y)= 则 fx(0，1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 f(x)可导，F(x，y)= (1)求17 试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的充分条件还是必要条件17 设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 其中
4、a，b，c 为常数18 讨论 f(x， y)在点(0，0)处是否可微，若可微则求出 df(x，y) (0,0)；19 讨论 f(x， y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由20 设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0 ，f x(0，0)=a ，f y(0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，t 2)，求 (0)21 设22 设23 设 ，其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求24 设函数 z=f(u)，方程 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1求25 设26 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)
5、分别由方程 exy-y=0 和 ez-xz=0 所确定，求26 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且27 验证28 若 f(1)=0，f(1)=1 ，求函数 f(u)的表达式29 已知函数 u=u(x，y)满足方程 试选择参数 a，b，利用变换 u(x，y)v(x ，y)e ax+by 将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项30 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值与最小值考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正
6、确答案】 C【试题解析】 f(x，y)-0= 所以 f(x，y)=0， f(x，y) 在点 O(0，0)处连续，排除(A)，(B)下面考查(C)所以 fx(0，0)=0， fy(0，0)=0若在点 O(0 0)处可微，则应有但是上式并不成立，事实上，【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 当(x，y) 沿 y=kx(k0 趋向点(0，0)时) ，k 取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续又因为同理可得 fy(0，0)=0 ，故偏导数存在当 n2 时，有 n=1，因而，函数 f(x，y)在(0，0)处连续 同理，当 m2 时，函数 f(x，
7、y)在(0，0)处连续综上应选(B) 【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和函数是否可微入手当(x，y)沿 y=x 趋于(0，0)点时， ，即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在(0，0) 点不可微，故选 (B)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 ，可以得到 4 个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2) 和(2，0)在(0，2)点和(2，0)点，均有 AC-B20，因此这两个点不是极值点；在(0，0)点，AC-B 2=360，且 A=-60，所以点(0，0) 是极大值点；在(2，2) 点，AC-B 2=360，
8、且 A-120，所以点(2，2)是极小值点，故选 (B)【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时， x+y，当(x，y)(0， 0)时，由夹逼准则，可得极限值为 0【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 若 z=z(x，y)= ，则点(0 ， 0)为其极小值点，但 zx(0，0)，zy(0，0)均不存在【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，f(x，y)为二元连续函数，而当所以，(0，y 0)为 f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点为空集【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】
9、 当取 y=kx 时， 与 k 有关，故极限不存在【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 属基本计算，考研计算中常考这个表达式【知识模块】 多元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 x 2+y21【试题解析】 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 0【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(-2，3)处，z x=0，z y=0，从而可分别求出a、b、C 之值【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 -sin【试题解析】
10、 由 x=rcos，y=rsin ，得 u=【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 本题形式上的研究对象是多元函数，事实上，问题的主体知识是一元函数的极限、导数问题，需要考生在计算的全过程中把握住“谁是变量” 【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 结论(1)(5) 中每一个分别都是 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的必要条件，而非充分条件结论(7)是 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的充分非必要条件；而结论(6)是其既非充分又非必要
11、条件因 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微，故 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续，即 =f(x0，y 0)，则极限f(x，y)必存在，于是 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)某邻域有界 结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x，y 0)在 x0 处连续，G(y)=f(x 0，y)在 y0 处连续，它是二元函数z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续的必要条件，而非充分条件而 z=f(x，y) 在点P0(x0，y 0)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件 只要在 z=f(x，y) 在P0(x0，y 0)的全微分定义z=Ax+B y+o()，= 中
12、取特殊情况，分别令y=0 与位 x0 即证得结论(4) 因为由函数 z=f(x，y)在(x 0，y 0)处可微知，fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，故曲面 f(x，y)=z=0 在(x 0，y 0，f(x 0，y 0)处法向量n=fx(x0，y 0)i+fy(x0，y 0)j-k 不是零向量于是结论(5)成立结论(6)的fx(x，y 0)-fx(x0，y 0)=0 表示偏导函数 fx(x，y)在 y=y0 时的一元函数 fx(x，y 0)在 x0 处连续，它仅是二元偏导函数 fx(x0，y 0)在 P0(x0，y 0)处连续的一个必要条件，对 fy(x0，y)-f y(x0，
13、y 0)=0 有类似的结果而 z=f(x，y)在 P0(x0，y 0)处可微又是fx(x，y)，f y(x，y)在 P0(x0，y 0)处连续的另一个必要条件，所以结论(6)既不是充分条件又不是必要条件结论(7)的等价形式是 x=f(x，y)-f(x 0，y 0)=o()，=，它是相应全微分定义中 A=0，B=0 的情形，则结论(7)是其可微的充分非必要条件【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 当(x，y)(0，0) 时，ln(1+x 2+y2)x 2+y2，由由 f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得 f(0，0)= 再由极限与无穷小的关系可知， (o
14、(1)为当(x，y)(0， 0)时的无穷小量 )即 f(x，y)-f(0 ，0)-bx-cy=x 2+y2+(x2+y2)o(1)=o()，即 f(x，y)-f(0，0)=bx+cy+0()(0) 由可微性概念可知f(x，y)在点(0，0)处可微且 df(x，y) (0,0)=bdx+cdy【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 由 df(x，y) (0,0)= 于是当b，c 不同时为零时 f(x，y)在点(0，0)处不取极值当 b=c=0 时，由于又由极限保号性，即 ，即 f(x，y)f(0 ，0) ，因此 f(x，y)在点(0，0) 处取极小值【知识模块】 多元函数微分学20 【正
15、确答案】 在 (t)=ft，f(t，t 2)中令 u=t，v=f(t，t 2)，得 (t)=f(u，v)，=f1(u，v).1+f 2(u，v).f 1(t，t 2).1+f2(t，t 2).2t =f1t，f(t，t 2)+f2t，f(t，t 2).f1(t，t 2)+f2(t，t 2).2t，所以 (0)=f 1(0，0)+f2(0，0).f 1(0，0)+f 2(0，0).2.0 =a+b(a+0)=a(1+b)【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 令 u=xy，v=x+y ，则 z= f(u)+y(v)由于 f 及 二阶可微，而u=xy， v=x+y 均为初等函数，故满足 这
16、里先求 较为简便一些由复合函数的求导法则，得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 方法一 设 z=f(u，v)+g(w)，u=xy，v= ，则方法二 由链式法则直接求导得【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 由 z=f(u)，可得 在方程 u=(u)+两边分别对 x，y 求偏导数，得【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 方程 exy-y=0 两边关于 x 求导，有方程 ez-xz=0 两边关于 x 求导，有【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学27 【
17、正确答案】 求二元复合函数中必然包含 f(u)及 f(u)，将中，就能找出 f(u)与 f(u)的关系式【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解在方程 f(u)+ =0 中，令 f(u)=g(u)，则 f(u)=g(u)，方程变为 g(u)+ =0，这是可分离变量微分方程，解得 g(u)= ，由初值条件 f(1)=1 得 C1=1，所以，两边积分得 f(u)=lnu+C 2由初值条件 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(u)=lnu【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 等式 u(x，y)=v(x，y) ax+by 均两边同时求偏导数，由
18、题意可知，应令 2a+k=0，-2b+k=0，解得 a= ，原方程变为【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 由方程组 得x=0(0y6)及点(4，0)，(2，1)而点(4，0)及线段 x=0(0y6)在 D 的边界上，只有点(2 ，1) 在 D 内部，可能是极值点， fxx=8y-6xy-2y2，f xy=8x-3x2-4xy，f yy=-2x2，在点(2 ，1) 处，A=，且 A0，因此点(2，1) 是 z=f(x，y)的极大值点，极大值 f(2，1)=4 在 D 的边界x=0(0y6)及 y=0(0x6)上，f(x，y)=0在边界 x+y=6 上，y=6-x 代入 f(x，y)中得，z=x3-12x2(0x6) 由 z=6x2-24x=0 得 x=0，x=4 在边界 x+y=6 上对应x=0，4 ，6 处 z 的值分别为： 因此知 z=f(x，y)在边界上的最大值为 0，最小值为f(4，2)=-64 将边界上最大值和最小值与驻点(2，1)处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域 D 上的最大值为 f(2， 1)=4，最小值为 f(4，2)=-64【知识模块】 多元函数微分学
