[考研类试卷]考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷12及答案与解析.doc
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1、考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 1:x 2+y2+z2R2,z0; 2:x 2+y2+z2R2,且 x0,y0,z0,则有( )2 设 等于 ( )3 两个半径为 R 的直交圆柱体所围成立体的表面积 S 等于 ( )4 设 为 x2+y2+z21,则三重积分 等于 ( )(A)0(B) (C)(D)25 设 m 和 n 为正整数,a0,且为常数,则下列说法不正确的是 ( )6 ,其中D=(x,y) x 2+y21),则 ( )(A)cb a(B) abc(C) bac(D)cab二、填空题7 设 f(
2、x)为连续函数,a 与 m 是常数且 a0,将二次积分化为定积分,则 I=_8 设 f(u)为连续函数,D 是由 y=1,x 2-y2=1 及 y=0 所围成的平面闭域,则=_9 设是球面 x2+y2+z2=a2(a0)的外侧,则 xy2dydz+yz2dzdx+zx2dxdy=_10 已知曲线积分 Lexcosy+yf(x)dx+(x3-exsin y)dy 与路径无关且 f(x)有连续的导数,则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 变换下列二次积分的积分次序:12 求二重积分 ,直线 y=2,y=x 所围成的平面区域13 计算 ,其中 a,b014 计算 D
3、ln(1+x4+y4)dxdy,其中 D:x 2+y2115 计算 D=r(x2+y2)出 dy,其中 D 由 y=-x,x 2+y2=4,y= 所围成16 计算17 设 计算 D(x,y)dxdy,其中 D 为正方形域0x1,0y118 设函数 f(x),g(x) 在a,b上连续且单调增,证明:19 设 f(x,y)是(x ,y) x 2+y21)上的二阶连续可微函数,满足 ,计算积分20 设 D 为 xOy 平面上由摆线 x=a(t-sint),y=a(1-cost),0t2 ,与 x 轴所围成的区域,求 D 的形心的坐标21 设 =(x,y,z)z ,计算三重积 zdv21 设 (y)为
4、连续函数如果在围绕原点的任意一条逐段光滑的正向简单封闭曲线l 上,曲线积分 其值与具体 l 无关,为同一常数 k22 证明:对于任意一条逐段光滑的简单封闭曲线 L,它不围绕原点也不经过原点,则必有 且其逆亦成立,即若式成立,则式 亦成立23 证明:在任意一个不含原点在其内的单连通区域 D0 上,曲线积分与具体的 C 无关而仅与点 A,B 有关24 如果 (y)具有连续的导数,求 (y)的表达式25 设 L 为圆周 x2+y2=4 正向一周,求 I=Ly3dx+3y-x 2dy26 计算三重积分27 计算考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只
5、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 1 关于 yOz 面及 zOx 面对称,当 f(x,y,z) 关于 x 或 y 成奇函数时,f(x,y,z)dv=0 而 f(x,y,z)=z 关于 x 及 yY 都成偶函数,故【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因积分区域的边界曲面含有球面 x2+y2+z2=1,故采用球面坐标系 的边界曲面方程用球面坐标表示为: ,则 为:0r1 ,0,02故【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 所求面积是正交圆柱所围成的曲面面积 S由于对称性 S=16S1,S 1对应是第一卦限中曲面 z= ,在 z
6、Oy 面的投影域 Dxy:0xR,0y因为 故得 S=16S 1=【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 n 关于 xOy 面对称,被积函数 关于变量 z 成奇函数,故 I=0【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 令 则(1)当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时,(-1) m(-1)n=-1,从而积分为零;(2)当 m 和n 均为奇数时, (-1)m(-1)n=1,从而总之,当 m 和n 中至少一个为奇数时, xmyndxdy=0故答案选择 (D)【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x,y)x 2+
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