1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1：x 2+y2+z2R2，z0； 2：x 2+y2+z2R2，且 x0，y0，z0，则有( )2 设 等于 ( )3 两个半径为 R 的直交圆柱体所围成立体的表面积 S 等于 ( )4 设 为 x2+y2+z21，则三重积分 等于 ( )（A）0（B） （C）（D）25 设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )6 ，其中D=(x，y) x 2+y21)，则 ( )（A）cb a（B） abc（C） bac（D）cab二、填空题7 设 f(
2、x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分化为定积分，则 I=_8 设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2-y2=1 及 y=0 所围成的平面闭域，则=_9 设是球面 x2+y2+z2=a2(a0)的外侧，则 xy2dydz+yz2dzdx+zx2dxdy=_10 已知曲线积分 Lexcosy+yf(x)dx+(x3-exsin y)dy 与路径无关且 f(x)有连续的导数，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 变换下列二次积分的积分次序：12 求二重积分 ，直线 y=2，y=x 所围成的平面区域13 计算 ，其中 a，b014 计算 D
3、ln(1+x4+y4)dxdy，其中 D：x 2+y2115 计算 D=r(x2+y2)出 dy，其中 D 由 y=-x，x 2+y2=4,y= 所围成16 计算17 设 计算 D(x，y)dxdy，其中 D 为正方形域0x1，0y118 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续且单调增，证明：19 设 f(x，y)是(x ，y) x 2+y21)上的二阶连续可微函数，满足 ，计算积分20 设 D 为 xOy 平面上由摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)，0t2 ，与 x 轴所围成的区域，求 D 的形心的坐标21 设 =(x，y，z)z ，计算三重积 zdv21 设 (y)为
4、连续函数如果在围绕原点的任意一条逐段光滑的正向简单封闭曲线l 上，曲线积分 其值与具体 l 无关，为同一常数 k22 证明：对于任意一条逐段光滑的简单封闭曲线 L，它不围绕原点也不经过原点，则必有 且其逆亦成立，即若式成立，则式 亦成立23 证明：在任意一个不含原点在其内的单连通区域 D0 上，曲线积分与具体的 C 无关而仅与点 A，B 有关24 如果 (y)具有连续的导数，求 (y)的表达式25 设 L 为圆周 x2+y2=4 正向一周，求 I=Ly3dx+3y-x 2dy26 计算三重积分27 计算考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只
5、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 1 关于 yOz 面及 zOx 面对称，当 f(x，y，z) 关于 x 或 y 成奇函数时，f(x，y，z)dv=0 而 f(x，y，z)=z 关于 x 及 yY 都成偶函数，故【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因积分区域的边界曲面含有球面 x2+y2+z2=1，故采用球面坐标系 的边界曲面方程用球面坐标表示为： ，则 为：0r1 ，0，02故【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 所求面积是正交圆柱所围成的曲面面积 S由于对称性 S=16S1，S 1对应是第一卦限中曲面 z= ，在 z
6、Oy 面的投影域 Dxy：0xR，0y因为 故得 S=16S 1=【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 n 关于 xOy 面对称，被积函数 关于变量 z 成奇函数，故 I=0【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 令 则(1)当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(-1) m(-1)n=-1，从而积分为零；(2)当 m 和n 均为奇数时， (-1)m(-1)n=1，从而总之，当 m 和n 中至少一个为奇数时， xmyndxdy=0故答案选择 (D)【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x，y)x 2+
7、y21)，所以由 cosx 在 上单调减少可得cos(x2+y2)2cos(x2+y2)cos 0因此有 cba【知识模块】 多元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 0【试题解析】 因积分区域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y2)关于变量 x 是奇函数，故 =0【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 设 为球面 x2+y2+z2=a2 所围闭区域，由高斯公式得【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答
8、案】 3x 2【试题解析】 设 P=excosy+yf(x)，Q=x 3-exsiny由 LPdx+Qdy 与路径无关，有，即 -e xsiny+f(x)=3x2-exsiny，于是 f(x)=3x2【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 (1)如图 16-5 所示， 则(2)如图 16-6 所示， 则(3)如图 16-7 所示，D=D 1+D2，其中故(4)如图 16-8 所示，【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 原积分【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 【知识模
9、块】 多元函数积分学15 【正确答案】 由 y= 可得(x-1) 2+y2=1，其中 y0y=-x 与 x2+y2=4 的交点为 的交点为(0，0)x 2+y2=4 与 y= 的交点为(2，0) ，如图 16-9 所示【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 设 其中Daxb，ayb因为 D 关于 y=x 对称，所以 I= f(y)g(y)-g(x)dxdy，故 2I= f(x)-f(y).g(x)-g(y)dxdy由 f(x)，g(x)在a ，b上单调递增，得 2I0，即I0，故【知识模块】
10、 多元函数积分学19 【正确答案】 采用极坐标 x=rcos，y=rsin ，则【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 由对称性知 摆线的纵坐标记为 y(x)，于是其中 y=y(x)由摆线的参数式确定的 y 为 x 的函数作变量变换，令 x=a(t-sint)，于是【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 方法一 用球面坐标 x=sincos，y=sinsin，z=cos，dv= 2sinddd在球面坐标下，方法二 用直角坐标先(x，y)后 z，即先将 投影到 z 轴，得区间0，4 对于z0，4，作平面 z=z 截 得环域 Dz=(x，y) ，于是方法三 用柱面坐标先(r，)后
11、z，其中(r，)在 Dz 上进行，D z=(r，)zr ，02，方法四 仍用柱面坐标，不过先 z 后(r ，)为此，将 投影到 xOy 平面，投影域记为 D=(x， y)x 2+y2 =48但仔细分析， D 由两部分组成： D1=(x，y) x 2+y242=16)， D 2=(x，y)16x 2+y248)，D=D 1D2方法五 D 1 与 D2 如方法四，【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 设 L 是一条不围绕原点也不经过原点的逐段光滑的简单封闭曲线，如图 16-10 所示，L 为 ，使构成两条简单封闭曲线弧它们均将原点 O 包围在它们的内部，由题中
12、式 知，以下证其逆亦成立即设式成立，设 l1 与 l2 分别为两条各自围绕原点 O 的逐段光滑的简单封闭曲线，且有相同转向如图 16-11 所示，不妨设 l1 与 l2 不相交，作一线段 ，沟通 l1 与 l2下述 为一条不围绕原点 O 的简单的封闭曲线由假定 而另一方面，【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 设 cAB 与 cAB 为 D0 内连接点 A 与点 B 的任意两条逐段光滑的曲线，由 cABcBA 构成了一条逐段光滑的封闭曲线由即积分与路径无关【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 既然在不含原点在其内的单连通域 D0 上积分式 与路径无关且由得 (y)=-2y，
13、解得 (y)=-y2+C1，代入得 C1=0所以 (y)=-y2【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 记 I=Ly3dx，I= L3y-x 2dy 对于 I1 直接用格林公式记D=(x，y) x 2+y24)，有求 I2 有两个方法方法一 用参数式(如图16-12)记D1=(x，y) x 2+y24，y1)，D 2=(x，y)x 2+y24，y1)由格林公式及对称性，于是知 I2=0所以 I=I1+I2=-12【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 原式= 这里A(z)为截面椭圆 Dx= 的面积，所以【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 先交换 y，z 的积分次序将 I 理解成由三重积分先对 y，z 作二重积分，再对 x 作定积分得到，二重积分的积分区域为 Dyz：0yx(x 视为0，1上的某个常数)，0zy将 Dyz 表示为 Dyz：0zx，zyz于是要计算这个二重积分，仍需要交换积分次序，换序后得【知识模块】 多元函数积分学
