1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有 ( )2 设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，为使得 F(x)aF 1(x)bF 2(x)为某一随机变量的分布函数，则有( )3 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是 ( )（A）F(x 2)（B） F(一 x)（C） 1 一 F(x)（D）F(2x1)4 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布
2、，则随机变量 ymin(X ，2)的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数5 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Zmin(X，Y)的分布函数为( ) （A）F Z(z)maxF X(z)， FY(z)（B） FZ(z) minFX(z)，F Y(z)（C） FZ(z) 1 一1 一 FX(z)lFY(z)（D）F Z(z)F Y(z)6 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则ZmaxX，Y的分布函数为 ( )（A）F Z(z)maxF X(z)， FY(z)（B）
3、 FZ(z) FX(z)FY(z)（C） FZ(z) maxFX(z)， FY(z)（D）F Z(z)F Y(z)7 设随机变量 X 与 y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（A）XY（B） XY（C） max(X，Y)（D）min(X ，Y)8 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）XY 一定服从正态分布（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立（D）若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布9 若(X，Y) 服从二维正态分布，则 X，Y 一定相互独立；若 XY0，则X，
4、Y 一定相互独立；X 和 Y 都服从一维正态分布； X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布，上述几种说法中正确的是( )（A）（B） （C） （D）10 设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（A）X，Y 一定相互独立（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X，Y 不一定相互独立（D）XY 服从一维正态分布11 设随机变量 X，Y 相互独立，且 ，则与 ZYX 同分布的随机变量是( ) （A）XY（B） Xy（C） X2Y（D）Y2X二、填空题12 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 ，则 P(X2Y4)_13 设(X，Y)的联合分布
5、函数为 ，则Pmax(X，Y)1)_14 设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Zmin(X ，Y)，则P(0Z1) _。15 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 ，令 UXY，则 U 的分布函数为_16 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 ，则 P(X5Y3)_.17 设 X，Y 为两个随机变量，且，则 Pmax(X，Y)0)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律18 设一设备在时间长
6、度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) 19 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；20 求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率21 设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数21 设随机变量 X 满足X1，且 ，在一1X1) 发生的情况下，X 在(一 1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比22 求 X 的分布函数； 23 求 P(X0)24 设 X 的密度函数为 ，求 的密度fY(y)25 设随机变量 X 的概率密度为 ，求 Y
7、e X 的概率密度 fY(y)26 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明： Y1 一 e2x 在区间(0，1)上服从均匀分布27 设 ，求矩阵 A 可对角化的概率28 设随机变量 XE()，令 ，求 P(XY 0)及 FY(y)29 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，且 (i1，2，3，4)，求 X 的概率分布29 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 设随机变量UmaxX，Y)，VminX ，Y)30 求二维随机变量(U，V)的联合分布；31 求 ZUV 的分布；32 判断 U，V 是否相互独立? 33 求 P(UV)34 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表
8、列出二维随机变量(X，Y) 的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处34 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为35 求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；36 判断随机变量 X，Y 是否相互独立；37 求随机变量 ZX2Y 的分布函数和密度函数37 设随机变量(X，Y) 的联合密度函数为38 求 P(X2Y)； 39 设 ZX Y，求 Z 的概率密度函数40 设随机变量 XN(， 2)，YU ，且 X，Y 相互独立，令 ZXY ，求 fZ(z)40 设随机变量 XU(0，1)，在 Xx(0 x1)下，yU(0 ，x)41 求 X，Y 的联合密度函数
9、；42 求 Y 的边缘密度函数43 设随机变量 X，Y 相互独立，且 ，又设向量组1， 2， 3 线性无关，求 1 2， 2X 3，Y 1 线性相关的概率44 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，Y P(2)，求 Pmax(X，Y)0)及Pmin(X，Y)0) 45 设随机变量 X，Y 相互独立，且 ，YE(4) ，令 UX 2Y，求U 的概率密度考研数学一（概率统计）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分2 【正确答案】 D【试题解析】 根据性质 F()1，得正确答案为(D)
10、【知识模块】 概率统计部分3 【正确答案】 D【试题解析】 函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是：(1)0(x)1；(2)(x)单调不减；(3)(x)右连续；(4)(一 )0，()1显然只有 F(2x 一 1)满足条件，选 (D)【知识模块】 概率统计部分4 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)P(Yy)Pmin(X ，2)y)1Pmin(X ，2)y)1P(Xy ，2y)1P(X y)P(2y) 当 y2 时，F Y(y)1；当 y2 时，FY(y)1P(Xy) P(Xy)F X(y)，【知识模块】 概率统计部分5 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)P(Zz
11、)Pmin(X ，Y)z1 一 Pmin(X，y)z1 一P(Xz，Yz)1 一 P(Xz)P(Yz)1 一1 一 P(Xz)1 一 P(Yz)1 一1 一FX(z)1 一 FY(z)，选(C)【知识模块】 概率统计部分6 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)P(Zz)Pmax(X，Y)z)P(Xz，Yz)P(Xz)P(Yz)F X(z)FY(z)，选(B)【知识模块】 概率统计部分7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分8 【正确答案】 D【试题解析】 若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选(D) 【知识模块】 概率统计部分9
12、 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aXbY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选(B)【知识模块】 概率统计部分10 【正确答案】 C【试题解析】 只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对；若X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 XY 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C) 【知识模块】 概率统计部分11 【正
13、确答案】 B【试题解析】 ZYXN(1，1)，因为 XYN( 1，1)，X Y N(1，1)，所以选(B)【知识模块】 概率统计部分二、填空题12 【正确答案】 046587【试题解析】 P(X 2Y4) P(Y 1)P(X42YY1)P(Y2)P(X42YY2) P(Y 3)P(X42YY3)【知识模块】 概率统计部分13 【正确答案】 e 2 e 3 一 e5【试题解析】 由 ，得 XE(2)，同理 YE(3)，且 X，Y 独立Pmax(X，Y)1)P(X1 或 Y1)1 一 P(X1，Y1) 1 一P(X1)P(Y1)1 一 FX(1)FY(1)1 一(1 一 e2 )(1 一 e3 )
14、e 2 e 3 一 e5【知识模块】 概率统计部分14 【正确答案】 【试题解析】 由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得因为 X，Y 相互独立，所以 FZ(z)P(Zz)1 一 P(Zz)1 一 Pmin(X，Y) z1 一 P(Xz，Y z)1 一P(Xz)P(Yz)1 一1 一 P(Xz)1 一 P(Yz)1 一1 一 FX(z)1 一 FY(z)于是P(0Z1) FZ(1)一 FZ(0)【知识模块】 概率统计部分15 【正确答案】 【试题解析】 F U(u)P(Uu)P(XYu)，当 u0 时，F U(u)0；当 0u1 时，FU(u) P(Uu)P(XYu)P(X0，Yu)P(X0
15、)P(Yu)当 1U2 时，F U(u)P(X0，Yu)P(X1，Yu 一 1)当 u2 时，F U(u)1所以【知识模块】 概率统计部分16 【正确答案】 【试题解析】 P(X 5Y3) 【知识模块】 概率统计部分17 【正确答案】 【试题解析】 令X0) A，Y0) B，则有 ，故Pmax(X，Y)0)1 一 Pmax(X，Y)0)1 一 P(X0，Y 0)1P(A B)P(A)P(B)一 P(AB)【知识模块】 概率统计部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 设 A从甲袋中取出黑球 ，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X iB i(i0，1，2，3)，
16、则【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分19 【正确答案】 T 的概率分布函数为 F(t)P(Tt)， 当 t0 时，F(t)0； 当 t0时，F(t)P(Tt)1 一 P(Tt)1 一 P(N0)1e t ，【知识模块】 概率统计部分20 【正确答案】 所求概率为【知识模块】 概率统计部分21 【正确答案】 设三个元件正常工作的时间为 Ti(i1，2，3)，T 1，T 2，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t 0 时，令 AT 1t)，BT 2t)，CT 3t)，且 A，B，C 独立，则 FT(t)P(Tt)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)一 P(
17、AC)一 P(BC)P(ABC)，P(A)P(B) P(C)1e t ，F T(t)3(1 e t )一 3(1 一 et )2(1e t )3，于是【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分22 【正确答案】 当 x一 1 时，F(x)0；【知识模块】 概率统计部分23 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分25 【正确答案】 F Y(y)P(Yy)P(e Xy)，当 y1 时，X0 ，F Y(y)0；【知识模块】 概率统计部分26 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为，Y 的分布函数为 FY(y)P(
18、Yy)P(1 一 e2x y)，当 y0时，F Y(y)P(X0)0；当 Y1 时，F Y(y)P(一X )1；【知识模块】 概率统计部分27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分28 【正确答案】 P(XY0)P(Y一 X)P( X1)P(X1)P(X一 1)P(X1)1 一 P(X1)1 一 FX(1)e FY(y)P(Yy)P(Yy，X1)P(Yy，X1)P(Xy，X1)P(一 Xy，X 1)P( 一 Xy，X 1)P(Xy，0X1)P(X一 y，X1)当 y一 1 时，F Y(y)P(X一 y)e y；当一 1y0 时，F Y(y)P(X1) e ；当 0y1 时，F Y(y)P(
19、Xy)P(X1)1一 ey e ；当 yl 时，F Y(y)P(0X1)P(X1)1，【知识模块】 概率统计部分29 【正确答案】 X X 1X4 一 X2X3，令 UX 1X4，V X 2X3，且 U，V独立同分布P(U1)P(X 11，X 41)016， P(U0)084，X 的可能取值为一 1，0，1P(X一 1)P(U0，V1)P(U 0)P(V1)0840 1601344，P(X1)P(U1，V0)P(U1)P(V0)0160 8401344，P(X0)120 1344 07312，于是【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分30 【正确答案】 由于 X，Y 相互独立，所
20、以所以(U， V)的联合分布律为【知识模块】 概率统计部分31 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分32 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分33 【正确答案】 P(UV)P(U1，V1)P(U2，V2)P(U3，V 3)【知识模块】 概率统计部分34 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分35 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分36 【正确答案】 因为 f(x，y)f x(x)fy(y)，所以随机变量 X，Y 相互独立【知识模块】 概率统计部分37 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分38 【正确答案】 【知识模块】 概
21、率统计部分39 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分40 【正确答案】 因为 XN(， 2)，YU 一 ，所以 X，Y 的密度函数为又 X，Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分41 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分42 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分43 【正确答案】 令 k1(1 2)k 1(2X 3)k 3Y10，整理得 (k 1Yk 3)1 (k1k 2)2 Xk 230 因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 又1 2， 2X 3，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即即 1 2， 2X
22、3，Y 1 线性相关的充分必要条件是XY0注意到 X，Y 相互独立，所以 1 2， 2X 3，Y 1 线性相关的概率为【知识模块】 概率统计部分44 【正确答案】 Pmax(X，Y)0)1 一 Pmax(X，Y)01 一 P(X0，Y0)1 一 P(X0)P(Y0)1 一 e1 e2 1 一 e3 Pmin(X，Y)01 一Pmin(X，Y)0) ， 令 AX 0) ，B Y0，则min(X，Y)0)AB， 于是 Pmin(X，Y0) P(AB)P(A)P(B)一 P(AB)e 1 e 2 一e1 .e2 e 1 e 2 e 3 ， 故 Pmin(X，Y)01 一 e1 一 e2 e 3 【知识模块】 概率统计部分45 【正确答案】 F U(u)P(Uu)P(X 2Yu)P(X1)P(X2Yu X1)P(X2)P(X2YuX2)【知识模块】 概率统计部分
