1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下 4 个结论：(1)教室中有 r 个学生，则他们的生日都不相同的概率是 (2)教室中有 4 个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 (3)将C，C，E ，E，I，N，S 共 7 个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 (4)袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，则 3 个球的最小号码为 5 的概率为 正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 0P(B)1，P(A 1)P(A2)0 且 P(
2、A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)，则下列等式成立的是 ( )（A）（B） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1A2)=P(A1B)+P(A 2B)（D）P(B)=P(A 1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)3 设 P(B)0，A 1，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（A）P(A 1A2B)=0（B） P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)（C）（D）4 设 X1，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（A）F 1(x)+F2(x)（B） F1
3、(x)-F2(x)（C） F1(x)F2(x)（D）F 1(x)F 2(x)5 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的密度函数，f 2(x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知 F(0)=，则 ( )二、填空题6 将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为_7 已知每次试验“ 成功” 的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功 ”不止一次的概率为 _8 设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 =_
4、9 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 则 A，B 的值依次为_10 设随机变量 X 服从泊松分布，且 PX1)=4PX=2)，则 PX=3)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 盒子中有 n 个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1 号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1 号球的概率12 甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1 分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 a，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2 分为止，多 2 分者最终获胜求甲、乙
5、最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去?13 向半径为 r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X 的分布函数 F(x)，并求14 随机地取两个正数 x 和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x 与 y 之和不超过 1，积不小于 009 的概率15 一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 ，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布16 一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率(i=1，2，3)，以 X 表示三个零件中
6、合格品的个数，求 X 的分布律16 设随机变量 X 的分布函数为F(x)=A+Barctanx，-x+ 求：17 系数 A 与 B；18 P-1X1；19 X 的概率密度20 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数20 设电子管寿命 X 的概率密度为 若一台收音机上装有三个这种电子管，求：21 使用的最初 150 小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；22 在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数 Y 的分布律；23 Y 的分布函数24 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 的指数分布若等待时间超过 10 分钟，他就离开设他一个月内要来银行 5 次，以 Y 表
7、示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 y 的分布律及 PY125 假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1-e-X的概率密度函数 fy(y)26 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= F(x)是 X 的分布函数，求随机变量 Y=F(X)的分布函数27 设随机变量 X 在0， 上服从均匀分布，求 Y=sinX 的密度函数考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 对于 4 个结论分别分析如下：(1)这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在 365 天中任
8、何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有 365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将 r 个球随机放人不同的 r 个盒子中的概率”设 A1=他们的生日都不相同，则 (2)设A2=至少有两个人的生日在同一个月，则考虑对立事件，(3)设 A3=恰好排成 SCJENCE，将 7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母 C 在 7 个位置中占两个位置，共有 种占法，字母 E 在余下的 5 个位置中占两个位置，共有 种占法，字母 I，N，S 剩下的 3 个位置上全排列的方法共 31 种，故基本事件总数为，而 A3 中的基本事件只有一个，故(4)设 A4=最小号码为 5，则 P(A4)
9、= ，正确 综上所述，有 3 个结论正确，选择(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)-P(A 1A2B)=P(A 1B)+P(A2B)可得 P(A1A2B)=0，即 P(A1A2B)=0， P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)，故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1A2= ，得 P(A1A2)=0，于是 P(A1A2B)= =0，(A)正确；P(A 1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)-P(A 1A2B)
10、=P(A 1B)+P(A 2B)，(B)正确； ，(D)正确故选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法 因为 F1(x)，F 2(x)都是分布函数，所以故(A)不正确故(B)不正确对于(D)，由于 型未定式极限，因此，不能保证 ，故(D)不正确【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由 ，知四个选项均满足这个条件，所以，再通过 F(0)= 确定正确选项由于【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，设 X=掷五次硬币，正面出现的次数，则X ，而 Y=5-X 为 5 次中反面出现的
11、次数记 A=正面、反面都至少出现两次，则 P(A)=P2X5，2Y5=P2X5 ，25-X5=P2X5，0X3=PX=2X-3=【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，记 A=成功，则 P(A)=p，X=n 次试验中A 发生的次数 ，则 XB(n，p)，“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”的概率为【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 记 A=X2)，Y=对 X 作三次独立重复观察 A 发生的次数 ，YB(3，p)，p=PX 2= ，由题意【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 1，0【试题解析】 由 F(x)右连续
12、的性质得 ，即 A+B=1又于是，B=0，A=1【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 PX1=PX=0+PX=1=e -+e-，PX=2)= ，由 PX1=4PX=2)知 e-+e-=22e-，即 22-1=0，解得 =1，故【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设 A=第一次取到 1 号球 ，B=第二次取到 k 号球 ，C=第一次取到 k 号球，则有 P(A)= (1)当 k=1 时，因为 所以(2)当 k1 时，因为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 设 A=甲最终获胜 ，B= 乙最终获胜
13、 在前两次比赛中，若“ 甲连胜两个回合” ，记为 C1，则 P(AC 1)=1；若“ 乙连胜两个回合”，记为 C2，则P(AC 2)=0；若 “甲、乙各胜一个回合”，记为 C3，则前两个回合打平，从第三回合起，比赛相当于从头开始一样，所以 P(AC 3)=P(A)显然 P(C 1)=2，P(C 2)=2，P(C 3)=2，由全概率公式 P(A)=P(AC 1)P(C1)+P(AC 2)P(C2)+P(AC 3)P(C3) =2+0+2P(A)得 P(A)= 同理有 P(B)=P(BC 1)P(C1)+P(BC 2)P(C2)+P(BC 3)P(C3) =0+2+2P(B)，可得 P(B)= 因
14、所以以概率为 1 地相信：比赛不会无限地一直进行下去，或甲最终获胜，或乙最终获胜【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 如图 3-5 所示，F(x)=PXx= ，0xr，所以【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 如图 3-6 所示，有=04-0181n 302【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 P(X=0=P(第一个路口即为红灯= P=X1)=P第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯= 以此类推，得 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设 Ai=第 i 个零件是合格品，i=1，2，3，则则 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计
15、【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由分布函数的性质【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 P-1X1)=F(1)-F(-1)=【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 X 的概率密度为 f(x)=F(x)=【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 f(x)的图形如图 3-7 所示，则 X 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 Y 为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数， YB(3，p)，其中 所求概率为 PY2)=PY=2+PY=3【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 Y 的分布列
16、为 PY=k= ，k=0，1，2，3，即【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由题意 YB(5，p)，其中于是 Y 的分布为 PY=k= (e-2)k(1-e-2)5-k(k=0，1，2，3 ，4，5)，PY1=1-PY=0=1-(1-e -2)505167【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 方法一(分布函数法) 由题设条件知，X 的密度函数与分布函数分别为 所以当 y0 时，F Y(y)=PYy=P1-Xy=0，f Y(y)=0； 当 0y1 时， F Y(y)=Pyy)=P(1-e-Xy=fY(y)
17、=1；当y1 时，F Y(y)=PYy)=P(1-e-Xy)=1，f Y(y)=0从而可得即随机变量 Y=1-e-X服从区间(0，1)上的均匀分布 方法二(公式法 )y=1-e-x是(0，+)上的单调函数，且其反函数为在区间(0，1)上，即随机变量 Y=1-e-X服从区间(0 ，1) 上的均匀分布【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 对 X 的密度函数积分得 X 的分布函数设 G(y)是 Y=F(X)的分布函数 当 y0 时，G(y)=PYy)=PF(X)y)=0； 当 y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y=1； 当 0y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y= =PX(y+1
18、)3=F(y+1)3=y，或于是，Y=F(X)的分布函数为 即 Y=F(X)服从区间0，1上的均匀分布【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 方法一(公式法) 由题设条件 函数y=sinx 在 上单调减少，其反函数分别为 x=arcsiny，0y1； x=-arcsiny ，0y1所以，当 0y1 时， f Y(y)=fx(arcsiny). (arcsiny)+f X(-arcsiny).(-arcsiny)方法二(分布函数法)当 y0 时，F Y(y)=PYy=0，f Y(y)=0；当 y1 时，F Y(y)=PYy=1，f Y(y)=0；当0y1 时， F Y(y)=PYy=PsinXy =PXarcsiny)X-arcsiny【知识模块】 概率论与数理统计
