1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知事件 A 发生必导致 B 发生，且 0P(B)1，则 P(A| )=（A）0（B） 14（C） 12（D）12 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 P|X|应该（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定3 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（A）X 2（B） XY（C） X+Y（D）(X，Y)4 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布服从 G=(x，y)
2、|x 2+y2r2上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是（A）随机变量 X（B）随机变量 X+Y（C）随机变量 Y（D）Y 关于 X=1 的条件分布5 设二维髓机变量(X，Y)满足 E(XY)=EXEY，则 X 与 Y（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立6 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1 ，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得7 设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X1，X n 的样本均值，则 是 的矩估计，如果（A）XN(， 2)（B） X 服从参数为 的指数分布（C） PX=m=(1) m1 ，m=1，
3、2，（D）X 服从0，上均匀分布8 假设总体 X 的方差 DX=2 存在( 0)，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其方差为 S2，且 DS0则（A）S 是 的矩估计量（B） S 是 的最大似然估计量（C） S 是 的无偏估计量（D）S 是 的相合(一致)估计量二、填空题9 设随机事件 A，B 及 AB 的概率分别为 04，03 和 06，则 P(A )=_10 假设 X 是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1X已知PX029=075，则满足 PYk=025 的常数 k=_11 将长度为 L 的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为 _12 假设总体 X 服从标准正态
4、分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y1= 都服从 _分布，其分布参数分别为_和_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 将长为 L 的棒随机折成三段，求这三段能构成三角形的概率14 甲盒内有 3 个白球与 2 个黑球，从中任取 3 个球放入空盒乙中，然后从乙盒内任取 2 个球放入空盒丙中，最后从丙盒内再任取 1 个球，试求：()从丙盒内取出的是白球的概率；()若从丙盒内取到白球，当初从甲盒内取到 3 个白球的概率15 袋中装有大小相同的 10 只球，编号为 0，1，2，9从中任取一只，观察其号码，按“ 大于 5”，“等于 5”，“小于 5”
5、三种情况定义一个随机变量 X，并写出X 的分布律和分布函数16 设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数： ()Y 1=eX； ()Y 2=2lnxX ； ( )Y 3=1X； ()Y 4=X217 袋中有大小相同的 10 个球，其中 6 个红球，4 个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 X，Y 如下：试就放回与不放回两种情形，求出(X，Y) 的联合分布律18 设随机变量 X，Y 相互独立，已知 X 在0，1上服从均匀分布，Y 服从参数为1 的指数分布求()随机变量 Z=2X+Y 的密度函数；()Cov(Y ， Z)，并判断 X 与 Z 的独立性5设二
6、维随机变量(U，V)N(2 ，2；4，1；12)，记 X=UbY=V19 设随机变量 U 服从二项分布 B(2，12)，随机变量求随机变量 XY 与 X+Y 的方差和X 与 Y 的协方差20 一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500 粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 2的概率21 设 都是来自正态总体 N(， 2)的容量为 n 的两个相互独立的样本均值，试确定 n，使得两个样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为 00121 设总体 X 的概率分布为 ，其中 p(0p1)是未知参数，又设x1，x 2，x n 是总体 X 的一组样本观测值22 试求参数 p 的矩估计量和最大似然估计
7、量；23 验证相应两个估计量的无偏性24 设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= 其中 和 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值05，03，02，06，01，04，05，08，求 的矩估计值和最大似然估计值25 已知总体 X 的密度函数为 其中 ， 为未知参数，X 1，X n 为简单随机样本，求 和 的矩估计量26 某装置的平均工作温度据制造 f 家称低于 190今从一个由 16 台装置构成的随机样本测得工作温度的平均值和标准差分别为 195和 8，根据这些数据能否支持 f 家结论? 设 =005，并假定工作温度近似服从正态分布考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 67 答案与解析一、选
8、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 A ，从而推知 P(A| )=0故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 若 XN(， 2)，(X ) N(0， 1)，因此 P|X|=P|(X)|1=2(1)1 该概率值与 无关，应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由 Y4=X2 知，X 2 不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X+Y与 XY，都不服从均匀分布；由 X，Y 的独立性知，(X，Y) 的联合密度 f(x，y)=因此(X，Y)服从区域 D=(x，y)|0 x1
9、，0y1上二维均匀分布，应选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 排除法依题设，由于 X，Y 对称，(A)和(C) 会同时成立，故应排除或利用计算，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为当|x|r 时，显然 fX(x)=0；当|x|r 时，有 fX(x)= +f(x，y)dy 因此，X 和 Y 都不服从均匀分布，即可排除(A)和(C) 而由熟知的事实知两均匀分布随机变量之和也不服从均匀分布，可见(B)也不成立，故应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因 E(XY)=EXEY，故 Cov(X，Y)=E(XY)EXEY=0， X
10、Y=0，X 与 Y 不相关，应选(B)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知 EXi=0，i=1，n记 根据切比雪夫不等式，有 故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 若 XN(， 2)，则 EX=， 的矩估计为 ，应选(A)若 X服从参数为 的指数分布，则 EX=1，=1EX ， 的矩估计 对于选项(C)，X 服从参数为 的几何分布，EX=1 ，=1EX ， 的矩估计 对选项(D)，EX=2，=2EX，于是 的矩估计【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 由各选项中概念的定义及 知，正确选项是(D)，
11、这是因为( 2=DX 的矩估计量 因而 S 不是 的矩估计量，(A)不成立；题中未对 X 的分布做出假设，因此 的最大似然估计量是否存在不知，(B)不成立如果 S2 是 2 的最大似然估计量，根据最大似然估计的不变性，可以断言 S 是 的最大似然估计量，选项(B)成立，否则选项 (B)不成立如果 S 是 的无偏估计即 ES=，由此得(ES) 2=2，又 ES2=2，所以 DS=ES2(ES) 2=0，与假设矛盾，所以(C) 不成立，因此选 (D)事实上，由大数定律及依概率收敛性质知所以 S2EX2(EX) 2=2故 S ，即 S 是 的相合估计量【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正
12、确答案】 0.3【试题解析】 由于 A =AAB而 AB A，根据减法公式，可得 P(A )=P(AAB)=P(A) P(AB)根据加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)，可得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=04+0 306=01，所以 P(A )=P(A)P(AB)=0 4 01=03【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 0.71【试题解析】 由于 PYk=P1Xk=PX1 k=1 PX1k=025，可见 PX1k=1025=075由 PX029=075，得 1k=0 29，k=071【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 14L【试题解析】 设
13、X 为折点到左端点的距离，Y 为较短段的长，则 XU(0 ，L)，且于是 E(Y)=Eg(X)= +g(x)f(x)dx=14L【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 t；2；n1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 相互独立同服从分布N(0，1)，所以 X1X 2 与 X32+X42 相互独立，X 1 与 Xi2 也相互独立，且有X1X 2N(0，2) ， N(0 ，1)，X 32+X42 2(2)， Xi2 2(n，1)，即 Y1 与 Y2 都服从t 分布，分布参数分别为 2 和 n1【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
14、算步骤。13 【正确答案】 设事件 A 表示“三段构成三角形”，且第一、二段的长分别为 x 与y，则第三段的长为 Lxy，且 =(x，y)|0 x，y，x+yL欲使三段构成三角形，则任意两段之和必须大于第三段，即x+yLxy，x+Lxyy，y+Lxyx，亦即x+yL2，yL2，x L2，故 A 为 A=(x，y)|0y，xL 2；L 2x+yL 为等腰直角三角形，直角边长为 L，A 为图12 阴影部分，由几何概率定义得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 依题意，有 P(A1)=C31C22C 53=310，P(A 2)=C32C21C 53=610P(A 3)=C33C 53=1
15、10；P(B 0|A1)=C22C 32=13，P(B 0|A2)=P(B0|A3)=0， P(B1|A1)=C21C 32=23，P(B 1|A2)=C22C 32=23，P(B 1|A3)=0，P(B 2|A1)=0，P(B 2|A2)=1C 32=13，P(B 2|A3)=1应用全概率公式 P(B0)= P(Ai)P(B0|Ai)=P(A1)P(B0|A1)=110，P(B 1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)P(B2)=1P(B 0)P(B 1)=3 10，或 P(B2)=P(A2)P(B2|A2)+P(A3)P(B2|A3) P(C|B0)=0，P(C|B 1
16、)=12，P(C|B 2)=1，P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2) ()P(C|A 3)=1，P(A 3|C)【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设随机变量 Y 表示从 10 个球中任取一只，其球上的号码数，令则有 PY=i=01，i=0 ，1，9，PX=0=0 5，PX=1=01， pX=2=04于是 X 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 依题意，X 的概率密度为 fX(x) ()y=e x 在(0，1)内是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=lny 的定义域为(1，e)，x=h(y)=1y0，用公式即得 y 的概
17、率密度为 ()y=2lnx 在(0，1)内单调可导，其反函数 x=h(y)=ey2 的定义域为(0，+)，h(y)=1 2ey2 0，根据公式，Y 2 的概率密度为 ()y=1 x 在(0，1)内单调可导，其反函数 x=h(y)=1y 的定义域为(1，+) ，当y1 时，其导数 h(y)=1y 20，应用公式，Y 3 的概率密度为()y=x 2 在(0，1)内单调可导，其反函数 x=h(y)= 的定义域亦为(0 ，1)，且 h(y)= 0应用公式(216)，y4 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (X，Y) 是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1
18、)，(1，0)，(1，1)() 有放回抽取，由于 X 与 Y 相互独立，则 PX=i，Y=j=PX=iPY=j，i，j=0 ，1，PX=0，Y=0=PX=0PY=0=04 2=016，PX=0，Y=1=PX=0PY=1= =024，PX=1 ，Y=0=PX=1PY=0= =0 24，PX=1，Y=1=PX=1PY=1=06 2=036( )不放回抽取，PX=i，Y=j=PX=iPY=j|X=i，i，j=0，1，PX=0，Y=0=PX=0PY=0|X=0PX=0，Y=1=PX=0PY=|X=0 PX=1，Y=0=PX=1PY=0|X=1 PX=1，Y=1=PX=1PY=1|X=1由此可见，无论是
19、有放回还是不放回抽取其边缘分布律 X，Y 都相同且都服从参数为 06 的01 分布，且当有放回抽取时 X 与 Y 独立；无放回抽取时 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (X，Y) 的联合密度 f(x，y)=f X(x)fY(y)()应用独立和卷积公式 fZ(z)= +fX(x)fY(z2x)dx当 z0 时，f Z(z)=0；当 0z2 时，z2x0 ，xz 2，f Z(z)=0z2 e(z2x)dx=1 2(1e z )当 z2 时， z2x0，x1，f Z(z)=01e(z2x) dx=ez 2(e 21)于是 Z 的概率密度为 ()由于 X，Y 相互独立
20、，所以 Cov(X，Y)=0Cov(Y，Z)=Cov(Y ，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X，Z)=Cov(X ，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)=1 60 ，所以 X 与 Z 不独立【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的概率分布及 XY 的概率分布即 FX=1=PU0=PU=0=14，PX=1=34，PY= 1=PU 2=1 PU=2=34， PY=1=14，PXY=1=PX=1，Y=1+PX=1，Y=1=0+ =12，PXY=1=1PXY=1=1 2其次计算 EX，EY ，DX，DY 与E(XY)即 EX=PX=1+PX
21、=1 E(XY)=PXY= 1+PXY=1=0最后应用公式可得 Cov(X，Y)=E(XY)EXEY=1 4，D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2，D(XY)=DX 2Cov(X，Y)+DY=1【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 500 粒麦种中发芽粒数为 X，则 X 近似服从二项分布B(500，08)由于 n=500 相当大，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(400，80) ，于是有【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由于 都服从正态分布 N(， 2n)，且 相互独立，则依题意 P| |=001，查标准正态分布表，得=258， n
22、=133因此 n 至少应为 14【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 矩估计 =p，故 p 的矩估计量 最大似然估计：似然函数【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由于 ，要证无偏性只要验证即相应的估计量均为无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由 f(x；，)0 和 +f(x；，)dx=1 ，得到 0，0 且+=1于是 () 求矩估计值 由于 E(X)=1 0xdx+01(1)xdx 而=1 8(05+03020601+04+0508)=18，令 E(X)= =18，解得 的矩估计值 =58() 求最大似然估计值 由
23、于在给定的8 个样本值中，属(1，0)的有 5 个，属0，1) 的有 3 个，故似然函数为 L()= f(xi；)= 5(1) 3，lnL()=5ln+3ln(1)， 令=0，解得 的最大似然估计值 =58(显然这时 L()最大)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 DX=E(XEX) 2 =0+(t1)2et dt= 2于是有 =由于 ， 2，的矩估计分别为 因此 与 的矩估计量分别为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 这是一个正态总体方差未知关于期望值 的假设检验问题H0： 0=190；H 1：190 如果能根据观测数据拒绝 H0，就可以支持“低于 190”的结论选取统计量 当 =0 时 Tt(15)，这是一单边检验，其拒绝域应为 R=Tt (15) 其中P|T|t (15)=2，PTt (15)=，Tt(15) 查表得知 t(15)=t005 (15)=1753 拒绝域为 R=T1753 ，计算统计量 T 的值根据样本观测数据不能拒绝 H0，即不能支持 f 家所称“ 平均工作温度低于 190”的结论【知识模块】 概率论与数理统计
