1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (92 年 )当 x1 时，函数 的极限（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在但不为2 (94 年 )设 ，其中 a2+c20，则必有（A）b=4d（B） b=一 4d（C） a=4c（D）a= 一 4c3 (03 年 )设a n，b n，(c n均为非负数列，且 ，则必有（A）a nb n 对任意 n 成立（B） bnc n 对任意 n 成立（C）极限 不存在（D）极限 不存在4 (07 年 )当 x0 +时，与 等价的无穷小量是5 (08 年 )求极限6
2、(08 年 )设函数 f(x)在( 一，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛7 (09 年 )当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则8 (10 年 )极限（A）1（B） e（C） ea-b（D）e b-a9 (13 年 )已知极限 其中 k，c 为常数，且 c0，则二、填空题10 (90 年) 设函数 f(x)= 则 ff(x)=_11 (90 年) 设 a 是非零常数，则12 (
3、91 年) 已知当 x0 时， 与 cosx 一 1 是等价无穷小，则常数a=_13 (95 年)14 (96 年)15 (97 年)16 (03 年)17 (06 年)18 (15 年)19 (16 年)20 (87 年) 当 x=_时，函数 y=x2a 取得极小值三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (88 年) 设 f(x)= ，f(x)=1 一 x 且 (x)0，求 (x)及其定义域22 (91 年) 求23 (93 年) 求极限24 (96 年) 设 x1=10， (n=1，2，)，试证数列x n极限存在。并求此极限25 (00 年) 求26 (06 年) 设数列
4、xn满足 0x 1，x n+1=sinxn(n=1，2，)(I) 证明 存在，并求该极限；() 计算27 (11 年)()证明：对任意的正整数 n，都有 成立( )设 an= (n=1，2，)，证明数列a n收敛28 (11 年) 求极限29 (14 年) 求极限30 (15 年) 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k 的值考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 而则 x1 时，
5、函数 的极限不存在，但不是【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 从而 a=一 4c【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 即极限不存在故(D) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在( 一，+) 上单调有界，若 xn单调，则f(x n)是单调有界数列，故f(x n)收敛?事实上 (A)(C)(D)都是错误的若令即x n收敛，令显然 f(x)在( 一，+)上单调有界，但f(x n)不收敛由于 不存在，故(A)不正
6、确若令 xn=n，f(x)=arctanx 显然f(x n)收敛且单调，但 xn=n 不收敛，故(C)和(D)不正确【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 x0 时，f(x)=xsinax 与 y(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则 故(A)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 由原式=ea-b。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题10 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)= 知，对一切的 x 有|f(x)|1，则 ff(x)=1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 e 2a【试
7、题解析】 当a=0 时， 则对一切的 a，有【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 e 6【试题解析】 由于【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 ln2【试题解析】 又由 e 3a=8 知 a=ln2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 32【试题解析】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时，ln(1+x)x，1 一 cosx 则【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】
8、【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 y=2 x+x2xln2=2x(1+xln2)令 y=0 得 ，y0；当 时，y0，则在 x= 取极小值【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 由 f(x)= 知，f(x)= =1 一 x，又 (x)0，则 (x)=,x0【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 先用数学归纳法证明数列x n单调减由 x1=10，x 2=知 x1x 2即 n=1 时，有 x nx n+1设 n=k 时，不等式xnx n+1
9、，成立由 xk+1= 可知，n=k+1 时 xnx n+1也成立，因而对一切的自然数 x【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 (I)用归纳法证明x n单调下降且有下界由 0x 1，得0x 2=sinx1 x1；设 0x n，则 0x n+1=sinxnx n；所以x n单调下降且有下界，故 存在记 a= ，由 xx+1=sinxn 得 a=si【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (I)根据拉格朗日中值定理，存在 (n，n+1)，使得()当 n1 时，由()知=ln(1+n)一 Inn0 ，所以数列a n单调下降且有下界，故 an收敛【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 由于当 x0 时，f(x)kx 3，则【知识模块】 高等数学
