1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (94 年 )二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)存在是f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件2 (96 年 )已知 为某函数的全微分，则 a 等于（A）一 1（B） 0（C） 1（D）23 (97 年 )二元函数 f(x，y)= 在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）
2、不连续，偏导数不存在4 (01 年 )设函数 f(x，y)在点 (0，0)附近有定义，且 fx(0，0)=3，f y(0，0)=1，则（A）dz| (0,0)=3dx+dy（B）曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0) 的法向量为 31，1（C）曲线 在点(0，0，f(0，0) 的切向量为1 ，0，3（D）曲线 在点(0，0，f(0，0) 的切向量为3，0，1 5 (02 年 )考虑二元函数的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x0，y 0)处的
3、两个偏导数存在若用 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有6 (03 年 )已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 则（A）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点（B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点7 (05 年 )设函数 u(x，y)=(x+y)+(x-y)+ x-yx+y(t)dt，其中函数 具有二阶导数，具有一阶导数，则必有8 (05 年 )设有三元方程 xyzlny+exx=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程
4、（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z) 和 y=y(x，z) 9 (06 年 )若 f(x，y)与 (x， y)均为可微函数，且 y(x，y)0。已知(x 0，y 0)是f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C
5、）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)010 (08 年) 函数 f(x，y)= 在点(0，1)处的梯度等于（A）i（B）一 i（C） j（D）一 j二、填空题11 (94 年) 曲面 zez+2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为_12 (94 年) 设 u= 处的值为_13 (96 年) 函数 u= 在点 A(1，0，1)处沿点 A 指向点 B(3，一 2，2)方向的方向导数为_14 (98 年) 设 z= f(xy)+y(x+y)，f， 具有二阶连续导数，则15 (00 年) 曲面 x2+2y2+3z2
6、=21 在点(1，一 2，2)处的法线方程为_16 (03 年) 曲面 z=x2+y2 与平面 2x+4yz=0 平行的切平面方程是_17 (05 年) 设函数 u(x，y，z)= 单位向量 n=_18 (07 年) 设 f(u，v)为二元可微函数， z=f(xy，y x)，则 =_19 (09 年) 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数， z=f(x，xy)，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (95 年) 设 u=f(x，y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且21 (96 年) 设变换 ，求常数 a22 (97
7、 年) 设直线 l： 在平面 上，而平面 与曲面 z=x2+y2 相切于点(1 ，一 2，5) ，求 a，b 之值23 (99 年) 设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求24 (00 年) 设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求25 (01 年) 设函数 z=f(x，y)在点(1，1) 处可微，且 f(1，1)=1 ，(x)=f(x，f(x，x)求26 (02 年) 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，
8、y)|x 2+y2 一 xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x2 一 y2+xy (1)设M(x0，y 0)为区域 D 上的一个点，问 h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 g(x0，y 0)，试写出 g(x0，y 0)的表达式 (2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D 的边界曲线 x2+y2 一 xy=75 上找出使(1)中的 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置27 (04 年) 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0 确定
9、的函数，求z=z(x，y) 的极值点和极值28 (06 年) 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式(I)验证 ()若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式29 (07 年) 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 在区域 D=(x，y)|x 2+y24，y0上的最大值和最小值30 (08 年) 已知曲线 C： 求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近的点考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直
10、接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”所以 D【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 令 由于 Pdx+Qdy 为某个函数的全微分，则 即 (a 一 2)x-ay=一 2y， (a 一 2)x=(a 一 2)y 仅当 a=2 时，上式恒成立【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 令 y=kx，则 当 k 不同时，不存在，因而 f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知 同理可得 fy(0，0)=0 由此可见，在点(0，0) 处 f(x，y)的偏导数存在【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 则该曲线在(0
11、，0， f(0，0) 的切向量为 1，0，f x(0，0)=1，0，3【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x，y) 在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续是 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微的充分条件，而 f(x，y)在点(x 0，y 0)可微是 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续的充分条件，故 A【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x，y)在点(0 ，0)的连续性及 知 f(0 ，0)=0 则 f(x，y)一 xy+(x2+y2)2+(x2+y2)2 令y=x，得 f(x，x)=x 2+4x4+4x4=x2+o(x2)
12、令 y=一 x,得 f(x，一 x)=一 x2+4x4+4x4=一x2+o(x2)从而 f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又 f(0，0)=0，由极值定义可知 f(x，y)在(0，0)点没有极值，故 (A)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 令 (x)=x2，(x)0 ，则 u(x，y)=(x+y) 2+(xy)2=2x2+2y2 从而则(A)(C)(D)均不正确，故(B)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x，y， z)=xyzlny+exz 一 1 显然，F(x，y，z) 在点(0 ，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且 F(0
13、，1，1)=0，F x(0，1，1)=20，F y(0,1，1)=一10，由隐函数存在定理知方程 xyzlny+exz=1 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=(x，z)，故(D)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日乘数法知，若(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的极值点，则必有 若 fx(x0，y 0)0，由式知，0，加之原题设 y(x，y)0，由 式知， y(x0，y 0)0，从而必有fy(x0，y 0)0，故 (D)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x，y)=arctan 知则
14、 fx(0，1)=1 ，f y(0，1)=0，所以gradf(0，1)=i【知识模块】 高等数学二、填空题11 【正确答案】 2x+y 一 4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=zez+2xy 一 3 则 F x=2y，F z=1 一 ez，F y=2x 曲面zez+2xy=3 在点(1，2，0)处的法向量为 n=4 ，2，0 故所求切平面方程为 4(x 一1)+2(y 一 2)=0 即 2x+y 一 4=0【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 yf“(xy)+(x+y)+
15、y“(x+y)【试题解析】 由复合函数求导法知 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+2y2+3z2 一 21 则 F x(1，一 2，2)=1，F y(1，一2，2)=一 4，F z(1，一 2，2)=6 故所求法线方程为【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 2x+4yz=5【试题解析】 曲面 z=x2+y2 在点(x 0，y 0，z 0)处切平面的法向量为 n 1=2x0，2y 0，一1而平面 2x+4y 一 z=0 的法向量为 n2=2，4，一 1由题设知 n1n 2，则从而有 x 0=1，y 0=2，代入 z=x2+y2 得 z0=5
16、，n 1=2，4，一 1则所求切平面方程为 2(x1)+4(y 一 2)一(z 一 5)=0 即 2x+4yz=5【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 yx y-1f1+yxlnyf2【试题解析】 由复合函数求导法知【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 f 2+xf12“+xyf22“【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 将上述结果代入原方程并整理得 由题设知 6+a一 a2=0， 10+5a0 解得 a=3【知识模块】
17、高等数学22 【正确答案】 曲面 z=x2+y2 在点(1，一 2，5)处的法向量为 n=2，一 4，一 1 于是切平面方程为 2(x 一 1)一 4(y+2)一(z 一 5)=0 2x 一 4yz 一 5=0 (*) 由 *689 得 y=一 x 一 b z=x 一 3+a(一 x 一 b) 代入(*)式得 2x+4x+4b 一 x+3+ax+ab 一 50 因而有 5+a=0， 4b+ab-2=0 由此解得 a=一 5，b=一 2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 等式 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 两端对 x 求导得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块
18、】 高等数学25 【正确答案】 (1)=f(1 ，f(1，1)=f(1，1)=1=32(x)f1(x，f(x，x)+f 2(x，f(x，x)(f 1(x,x)+f2(x，x)| x=0=312+3(2+3)=51【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 (1)由梯度的几何意义知，h(x，y)在点 M(x0，y 0)处沿梯度方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以(2)令 f(x，y)=g2(x，y)=5x 2+5y2 一 8xy 由题意，只需求 f(x，y)在约束条件 75 一 x2 一 y2+xy=0 下的最大值点令 L(x，y,)=5x 2+5y2【知识模块】 高等数学27
19、【正确答案】 因为 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0将上式代入 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0，可得故 ACB2= 从而点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为z(9， 3)=3 类似地，由 可知 ACB2= 所以点( 一 9，一 3)是 z(x，y)的极大值点，极大值为 z(一 9，一 3)【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 所以根据题设条件可得 即 ()由(I)及 f(1)=1，得 f(u)=,所以 f(u)=lnu+C由 f(1)=0，得 C=0，因此 f(u)=lnu【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 (1)求 f(x，y)
20、在 D 内的驻点，由 得 f(x，y)在 D 内的驻点为 (2)考察边界 y=0(一 2x2)f(x，0)=x 2 一2x2 最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0(3)考察边界 x2+y2=4，y0 由 x2+y2=4知，y 2=4 一 x2f(x，y)=x 2+2y2 一 x【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 点(x，y，z) 到 xOy 面的距离为|z|，故求 C 上距离 xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数 H=z2 在条件 x2+y2 一 2z2=0 与 x+y+3z=5 下的最大值点和最小值点令 L(x，y，z ， ，)=z 2+(x2+y2 一 2z2)+(x+y+3z 一 5)由根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所【知识模块】 高等数学
