1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (10 年 )设函数 z=z(x，y) 由方程 确定，其中 F 为可微函数，且F20，则（A）x（B） z（C）一 x（D）一 z2 (11 年 )设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x) 0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0， 0)处取得极小值的一个充分条件是（A）f(0)1，f“(0)0（B） f(0)1 ，f“(0)0（C） f(0)1 ，f“(0)0（D）f(0)1，f“(0)03 (12 年 )如果 f(x，y)在(0，0)处连续，那
2、么下列命题正确的是（A）若极限 存在，则 f(x，y)在(0 ，0)处可微（B）若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微（C）若 f(x，y) 在(0，0)处可微，则极限（D）若 f(x， y)在(0，0)处可微，则极限4 (13 年 )曲面 x2+cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，一 1)处的切平面方程为（A）xy+z=一 2（B） x+y+z=0（C） x 一 2y+z=一 3（D）xyz=05 (88 年 )设有空间区域 1：x 2+y2+z2R2，z0；及2：x 2+y2+z2R2，x0，y0 ，z0 ，则6 (91 年 )设 D 是 xOy 平面上以(1，1) ，(
3、一 1，1)和 (一 1，一 1)为顶点的三角形区域，D1 是 D 在第一象限的部分，则 (xy+cosxsiny)dxdy 等于二、填空题7 (11 年 )设函数 F(x，y)=8 (12 年 )9 (14 年 )曲面 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1， 0，1)处的切平面方程为_10 (15 年) 若函数 z=z(x， y)由方程 ez+xyz+z+cosx=2 确定，则 dz|(0,1)=_11 (16 年) 设函数 f(u，v)可微， z=z(x，y)由方程(x+1)z-y 2=x2f(x-z，y)确定，则dz|(0,1)=_，12 (87 年) 设 L
4、为取正向的圆周 x2+y2=9，则曲线积分 (2xy 一 2y)dx+(x2 一 4x)dy的值是_.13 (89 年) 向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+xln(1+x2)k 在点 P(1，1，0)处的散度divu=_14 (89 年) 设平面曲线 L 为下半圆周 则曲线积分 L(x2+y2)ds=_15 (90 年) 积分 02dxx2 的值等于_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (09 年) 求二元函数 f(x， y)=x2(2+y2)+ylny 的极值17 (11 年) 设函数 z=f(xy，yg(x) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(
5、x)可导且在 x=1 处取得极值 g(1)=1求18 (12 年) 求函数 f(x，y)= 的极值19 (13 年) 求函数 f(x，y)= 的极值20 (14 年) 设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e xcosy)满足若 f(0)=0，f(0)=0，求 f(u)的表达式21 (15 年) 已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2+y2+xy=3，求 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数22 (87 年) 计算曲面积分 其中 S 是由曲线 (1y3)绕 y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于23 (88 年) 设 S 为曲面 x2+y2
6、+z2=1 的外侧，计算曲面积分24 (88 年) 设位于点 (0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (k0 为常数，r 为质点 A 与 M 之间的距离)，质点 M 沿曲线 自 B(2，0) 运动到 O(0，0)，求在此运动过程中质点 A 对质点 M 的引力所作的功25 (89 年) 设曲线积分 cxy2dx+y(x)dy 与路径无关，其中 (x)具有连续导数，且(0)=0计算 (0,0)(1,1)xy2dx+y(x)dy 的值26 (89 年) 计算三重积分 ，其中 是由曲面所围成的区域27 (89 年) 设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问当 R
7、 取何值时，球面在定球面内部的哪部分面积最大?28 (90 年) 求曲面积分 其中 S 是球面 x2+y2+z2=4 外侧在 z0的部分29 (90 年) 质点 P 沿着以 AB 为直径的圆周，从点 A(1，2)运动到点 B(3，4)的过程中受变力 F 作用 (见图 27)，F 的大小等于点 P 到原点 O 之间的距离，其方向垂直于线段 Op 且与 y 轴正向的夹角小于 ，求变力 F 对质点 p 所作的功30 (91 年) 求 (x2+y2+z)dv，其中 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z=4 所围成的立体考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 19 答案与解析一、选择题下列每
8、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数求导公式得【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 则ACB20,故(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+cos(xy)+yz+x，则 n=2xysin(xy)+1 ，一 xsin(xy)+x， y)|(0,1,-1)=1，一 1，1 则所求切平面方程为 x 一(y 一 1)+(z+1)=0 即 xy+2=一2【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 由于(C) 选项中的被积函数 f(
9、x，y，z)=z 既是 x 的偶函数，也是 y 的偶函数，而积分域 1 既关于 yOz 坐标面前后对称，又关于 xOz 坐标面左右对称，则【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 如图 28，OAB 所围区域记为 D2，OBC 所围区域记为 D3由于 xy 关于 x 是奇函数，积分域 D2 关于 y 轴对称，则又 cosxsiny 是 y 的奇函数，D 3 关于x 轴对称，则 又 cosxsiny 是 x 的偶函数，D 2 关于 y 轴对称，则 从而有【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (1，1，1)【试题解析
10、】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 2xyz=1【试题解析】 由 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)得 z x=2x(1 一 siny)一y2cosx， zx(1，0)=2 z y=一 x2cosy+2y(1 一 sinx)，z y(1，0)= 一 1 所以，曲面 z=x2(1一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1 ，0，1)处的法向量为*738=(2，一 1，一 1)，该点处切平面方程为 2(x 一 1)一 y 一(z 一 1)=0,即 2xyz=1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 一 dx【试题解析】 将 x=0，y=1 代入 ez+xyz+x
11、+cosx=2 中得 ez+1=2，则 z=0 方程ez+xyz+x+cosx=2 两端微分得 e zdz+yzdx+xzdy+xydz+dxsinxdx=0 将x=0，y=1，z=0 代入上式得 dx+dz=0 则 dz| (0,1)=一 dx【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 一 dx+2dy【试题解析】 由原方程知，当 x=0，y=1 时，z=1 方程(x+1)zy 2=x2f(xz，y)两边求全微分 zdx+(x+1)dz 一 2ydy=2xf(xz，y)dx+x 2f1.(dxdz)+f2dy 将x=0，y=1，z=1 代入上式得 dz| (0,1)=一 dx+2dy【知识模块
12、】 高等数学12 【正确答案】 一 18【试题解析】 由格林公式可知【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 2【试题解析】 由散度计算公式 其中 u=Pi+Qj+Rk 得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 由于下半圆周上的点(x，y)也满足 x2+y2=1，则【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 交换累次积分次序得【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 显然，ACB 20，而 A0，故二元函数 f(x，y)有极小值【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由题意 g(1)=0因为 =yf1+yg(x)f
13、2， =f1+yxf11“+g(x)f12“+g(x)f2+yg(x)xf21“+g(x)f22“，所以 =f1(1，1)+f 11“(1，1)+f 12“(1，1)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为 f(x，y)= 所以【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 excosy=u，则f“(u)=4f(u)+u 即 f“(u)一 4f(u)=u 以上方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 4=0，特征根为r=2，齐次方程的通解为 f(u)=C1e2u+C2e-2u【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为函数在每一点沿梯度方向的方向
14、导数最大，且最大值等于该点梯度向量的模，而 grad f(x，y)=(1+x，1+y)令 F(x，y，)=(1+x) 2+(1+y)2+(x2+y2+xy 一 3)，由 式(2)减式(1)得 (yx)(2+)=0 若y=x，代入式(3) 得 若 =一 2，代入式(1)和式(2) 得 x+y=1，将此代入式(3)得 将以上四组值代入 grad f(x，y)=(1【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 补平面 S1： 其法线方向与 y 轴正向相同设 S1 和 S所围成的区域为 ，由高斯公式得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由高斯公式知【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块
15、】 高等数学25 【正确答案】 由线积分 与路径无关可知即 2xy=y(x)(x)=2x， (x)=x 2+C 由 (0)=0 知 C=0，代回原积分得 (0,0)(1,1)xy2dx+y(x)dy=(0,0)(1,1)xy2dx+x2ydy=【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 利用球坐标进行计算【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 设的方程为 x2+y2+(za)2=R2 则两球面交线在 xOy 平面上的投影曲线方程为 从而，球面在定球面内的部分面积为【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 补 xOy 面上的平面 S1： 其法线方向与 z 轴负向相同，S 与 S1 围成的区域记为 则【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由原题设可知 F=一 yi+xj，圆弧 的参数方程是【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 利用柱坐标变换 x=rcos，y=rsin，z=z，dv=rdrddz，则【知识模块】 高等数学
