1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (15 年 )设 D 是第一象限中由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 y=x， 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，见 =2 (87 年 )设常数 k0，则级数（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛或者发散与 k 的取值有关3 (88 年 )若 在 x=一 1 处收敛，则此级数在 x=2 处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定4 (89 年 )设函数 f(x)=x2，0x1，而 其中 b b=201f(x)sinnxdx，
2、n=1 ，2，3，则 为5 (90 年 )设 为常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 取值有关6 (91 年 )已知级数 等于（A）3（B） 7（C） 8（D）97 (92 年 )级数 (常数 0)（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关8 (94 年 )设常数 0，且级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关9 (95 年 )设 则级数10 (96 年) 设 an0(n=1，2，)且 收敛，常数 （A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 有关二、填空题11 (15 年) 设 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标平面
3、所围成的空间区域，则(x+2y+3z)dxdydz=_12 (16 年) 向量场 A(x，y ，z)=(x+y+z)i+xyj+zk 的旋度 rotA=_.13 (88 年) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间 (一 1，1 上的定义为 f(x)=则 f(x)的傅里叶(Fourier)级数在 x=1 处收敛于_14 (92 年) 设 f(x)= 则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x=处收敛于_15 (93 年) 设函数 f(x)=x+x2 (一 x) 的傅里叶级数展开式为(ancosnx+bnsinnx)，则其中系数 b3 的值为_16 (95 年) 幂级数 的收敛半径 R=_三
4、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (15 年) 已知曲线 L 的方程为 ，起点为 A 终点为 B计算曲线积分 I=L(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+x2y2dz.18 (16 年) 已知平面区域 D=(r，)|2r2(1+cos)， ，计算二重积分19 (16 年) 设函数 f(x，y)满足 =(2x+1)e2x-y，且 f(0，y)=y+1，L t 是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线计算曲线积分 I(t)= 并求 I(t)的最小值20 (16 年) 设有界区域 由平面 2x+y+2z=2 与三个坐标平面围成，为 整个表面的外侧，计算曲面积分21 (87 年)
5、 求幂级数 的收敛域，并求其和函数22 (88 年) 求幂级数 的收敛域23 (89 年) 将函数 f(x)= 展为 x 的幂级数24 (90 年) 求幂级数 的收敛域，并求其和函数25 (91 年) 将函数 f(x)=2+|x|(一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 的和26 (93 年) 求级数 的和27 (94 年) 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数28 (94 年) 设 f(x)在点 x=0 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 证明级数 绝对收敛29 (95 年) 将函数 f(x)=x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数30 (96 年) 求级数
6、的和考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知积分域 D 如右图所示，曲线 2xy=1，4xy=1 在极坐标下方程分别为 2r2cossin=1， 4r2cossin=1故(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 故原级数条件收敛【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 在 x=一 1 处收敛，则当|x 一 1|-1-1|=2 时，原幂级数绝对收敛，而|2-1|=12，则原幂级数在 x=2 处绝对收敛【知识模块】 高等数学4 【正确答案】
7、 B【试题解析】 由 S(x)= 和 bn=201f(x)sinnxdx 可知，S(x) 是由 f(x)作奇延拓后展开的，则 所以(B)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 发散，则级数【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 由不等式 可知【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 由原题设知正项级数 收敛，则其偶数项构成的级数 也收敛，故原级数绝对收敛【知识模块】 高等数学二、填空题11
8、 【正确答案】 【试题解析】 由变量的对称性知【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 j+(y 一 1)k【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 由傅里叶级数的收敛定理知，在 x=1 处收敛于【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 由傅里叶级数的收敛定理可知，在 x= 处收敛于【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 由于该幂级数缺偶次项，则收敛半径【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 曲线 L： 的参数方程为则 I= L(
9、y+z)dx+(z2 一 x2+y)dy+x2y2dz【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 将f(0，y)=y+1 代入上式，得 C(y)=y+1所以 f(x，y)=xe 2x-y+y+1从而I(t)=一 e2-t+1令I(t)=0 得 t=2由于当 t2 时，I(t) 0，I(t)单调减少；当 t2 时，I(t) 0，I(t)单调增加，所以 I(2)=3 是 I(t)在(一，+) 上的最小值【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 根据高斯公式得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由于 ，则收敛半径 R=2，该幂级数在(一 2，2)内处处收
10、敛则原级数的收敛域为一 2， 2)【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 则 R=3，原幂级数在|x-3|3 即 0x6 处收敛 故原幂级数收敛域为0，6) 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由于 则 R=1，而当 x=1 时，原级数显然发散，则原幂级数收敛域为(一 1，1)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由于 f(x)=2+|x|是偶函数 a0=201(2+x)dx=5bn=0， n=1，2，由于所给函数在一 1，1 上满足收敛定理条件，则【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 且 f(0)=0,故f(x)=f(x)一 f(0)=0xf(t)dt【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由泰勒公式可知 再由题设可知 f“(x)在包含原点的某个闭区间一 ，( 0)上连续，则存在 M0，使|f“(x)|M，于是【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
