1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =-1，则在 x=a 处（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0（B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值（D）f(x)的导数不存在2 设 f(x)可导且 f(x0)= ，则 x0 时，f(x)在 x0 点处的微分 dy 是（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小（C）比 x 低价的无穷小（D）比x 高阶的无穷小3 设 y=f(x)是方程 f“一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数 f(x)在点x0 处（A）取得极大
2、值（B）取得极小值（C）某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少4 当 x0 时，曲线 y=（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线5 已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)为（A）n!f(x) n+1（B） nf(x)n+1（C） f(x)2n（D）n!f(x) 2n6 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0 =2，则在点 x=0处 f(x)（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）取得极大值（D）取
3、得极小值 7 曲线（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线又有铅直渐近线8 设 f(x)=3x3+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为（A）0（B） 1（C） 2（D）39 设在0 ，1上 f“(x)0，则 f(0)，f(1) ，f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是（A）f(1)f(0)f(1)一 f(0)（B） f(1)f(1)一 f(0)f(0)（C） f(1)一 f(0)f(1) f(0)（D）f(1)f(0)一 f(1)f(0) 10 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x
4、)在 x=0 处可导的（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件11 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0， =1，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点 12 函数 f(x)=(x2 一 x 一 2)x 3 一 x不可导点的个数是（A）3（B） 2（C） 1（D）013 设 f(x)、g(x) 是恒大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0，则当 a
5、xb时，有（A）f(x)g(b) f(b)g(x) （B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)g(b)f(b) （D）f(x)g(x) f(a)g(a) 14 设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图 21 所示，则导函数 y=f(x)的图形为(见图 22) 15 设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为二、填空题16 当 x=_时，函数 y=x2x 取得极小值17 若 f(t)= ，则 f(t)=_18 已知 f(3)=2，则 =_19 设 ，则 =_。20 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 =_.21
6、 =_22 对数螺线 P=e在点(，)= 处的切线的直角坐标方程为_23 =_24 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，对于0，1上的每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0 ，1) 内，且 f(x)1，证明：在(0，1)区间内有且仅有一个 x，使得 f(x)=x26 设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间a ，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)证明在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()027 求28 设 f“(x)0，f(0)=0 ，证明对任何 x10，x 20，有 f(x1+x2)f(x 1)+f(
7、x2)29 设在0 ，+) 上函数 f(x)有连续导数，且 f(x)k0，f(0)0，证明 f(x)在(0，+) 内有且仅有一个零点30 设 ba e，证明 abb a30 假设函数 f(x)和 g(x)在 a，b上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：31 在开区间(a，b)内 g(x)0；32 在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使 33 设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x) a ，f“(z) b，其中a，b 都是非负常数， c 是 (0，1)内任一点，证明 f(c)2a+ 34 试证：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(
8、x 一 1)234 设 y=f(x)在(一 1，1)内具有二阶连续导数且 f“(x)0，试证：35 对于(一 1，1) 内的任一 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x)成立；36 考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 =一 10由极限的保号性可知，存在 a 点的某去心邻域，在此去心邻域内 ，又(x 一 a)20，则 f(x)一 f(a)0，即 f(x)f(a)，由极值定义可知 f(x)在 x=a 取极大值【知识模块】 高等数学2 【正确答案】
9、 B【试题解析】 由于 f(x)在 x0 点的微分 dy=f(x0)dx=f(x0)x= ，则，则当x0 时，dy 与x 为同阶无穷小【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由原题可知 f“(x)一 2f(x)+4f(x)0，令 x=x0，则 f“(x0)一 2f(x0)+4f(x0)=0，又 f(x0)=0，f(x 0)0，则 f“(x0)=一 4f(x0)0，由此可知 f(x)在 x0 取极大值【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由于 ，而 ，则曲线 y=xsin 在(0，+)有且仅有水平渐近线【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 由
10、f(x)=f(x)2 知，f“(x)=2f(x)f(x)=2f(x) 3，f(x)=23f 2(x)f(x)=123f4(x)=3!f(x)4，f (n)(x)=n!?f(x)n+1【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，由极限的保号性可知存在 x=0 的某个去心邻域，在此去心邻域内 ，又 1 一 cosx0 则 f(x)0，又 f(0)=0，则f(x)f(0)，由极值定义可知 f(x)在 x=0 处取得极小值【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 由 及 可知，曲线 有一条水平渐近线 y=1 和一条垂直渐近线 x=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案
11、】 C【试题解析】 由于 3x3 任意阶可导，则只需考查 x2x令 (x)=x2x，则 即 “(x)=6 x由于 x在 x=0 处不可导，则 f(n)(0)存在的最高阶数是 2【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 由 f“(x)0，则 f(x)在0，1上单调增，又由拉格朗日中值定理得f(1)一 f(0)=f(c)(0c1)则 f(1)f(c) f(0) ，即 f(1)f(1)一 f(0)f(0)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 由于 F(x)=f(x)+f(x)sinx，而 f(x)可导，则 F(x)在 x=0 点的可导性与 f(x)sinx相同令 (
12、x)=f(x)sinx，由导数定义知(x)在 x=0 可导的充要条件是 f(0)=一 f(0)，即 f(0)=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 ，由极限的保号性知，存在 x=0 的去心邻域，在此去心邻域内 ，即 f“(x)0，则在 x=0 左半邻域 f(x)单增又 f(0)=0，则在 x=0 左半邻域 f(x)0，同理可知在 x=0 右半邻域 f(x)0、由极值第一充分条件知 f(x)在 x=0 取极小值【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 B【试题解析】 由导数定义知x在 x=0 不可导，而 xx在 x=0 可导，f(x)=(x 2一 x 一 2)x 3
13、一 x=(x 一 2)(x+1)xx 一 1x+1 ，则 f(x)在 x=0 和 x=1不可导，故应选(B).【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)严格单调增，则当 x0 时，f(x)0，因此 (A)，(C)肯定不正确，只能在(B)和(D)中选又由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)由增变减再变增，因此在 x0 处，f(x)应由正变负再变正，由f(x)的圈形可看出应选(D)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 B【试题解析】 若 存在，则【知识模块】 高等
14、数学二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 y=2 x+x2xln22x(1+xln2)令 y=0 得 x= ，且当 x 时，y0；当 x 时，y0，则在 x= 取极小值【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (1+2t)e 2t【试题解析】 由于 f(t)= =te2t，则 f(t)=e2t(1+2t)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 一 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 代入上式得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 方程 ex+y+cos(xy)=0 两边对 x 求导得 e x+y(1+y)一 sin(xy)(y+xy
15、)=0 解得 y=【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 原式=【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 对数螺线 =e的参数方程为 切线斜率为时， ，x=0，所求切线方程为：【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x由原题设可知 F(x)在0，1 上连续，又 F(0)=f(0)0，F(1)=f(1)一 10，由连续函数介值定理可知， x(0，1)，使 F(x)=0，即 f(x)=x 以下证明唯一性：用反
16、证法，假设使得 f(x)=x 的 x 不唯一，则至少应有两个，不妨设为 x1 和 x2，(不妨设 x1x 2)由罗尔定理可知 (x1，x 2)，使 F()=0，即f()=1，这与原题设 f(x)1 矛盾【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 因为 f(a)=f(b)且 f(x)在a，b上不恒为常数，则 c(a，b)，使 f(c)f(a) 若 f(c)f(a)，在a，c 上应用拉格朗日中值定理，则 (a，c)，使 若 f(c)f(a) ，在c ，b 上应用拉格朗日中值定理，则 ，使 原题得证【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由洛必达法则知， 原式=【知识模块】 高等数学28 【正确答案
17、】 由拉格朗日中值定理知 f(x 1)一 f(0)=x1f(1)，(0 1x 1) f(x1+x2)一 f(x2)=x1f(2)，(x 2 2 x1+x2) 不妨设 x1x2，从而有 1 2，由于 f“(x)0，则f(x)单调减，故 f( 2)f( 1)，而 x10，所以 f(x 1+x2)一 f(x2)f(x 1)一 f(0) 又 f(0)=0，则 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 在0，+)上，由 f(x)k，得 即 f(x)kx+f(0)取 x1 0，有 f(x1) =0因 f(x1)0，由题设f(0)0，则 x0(0，x 1)使 f(x0
18、)=0 又 f(x)k0，故 f(x)严格单调增，所以 f(x)在(0，+) 内有且仅有一个零点【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 要证 ab ba，只须证 blnaalnb 令 f(x)=xlnaalnx (xa)所以 f(x)在 xa 时单调增加于是ba 时，有 f(b)f(a)=0【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 反证法若 c(a，b)，使 g(c)=0，则由罗尔定理知 1(a，c) ，2(c， b)，使 g(1)=g(2)=0，从而 (1， 2)使 g“()=0，这与题设 g“(x)0 矛盾【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 令 (x)=f(x
19、)g(x)一 f(x)g(x) 由 f(a)=f(b)=g(a)一 g(b)=0 知，(a)=(b)=0，由罗尔定理知 (a，b)，使 ()=0，即 f()g“()一 g()f“()=0，【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 f(x)=f(c)+f(c)(xc)+ 其中 =c+(xc)，0 1在上式中分别令 x=0，x=1 得两式相减得于是 由于 c(0，1)，(1 一 c)2+c21 故 【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 令 (x)=(x2 一 1)lnx 一(x 一 1)2，易知 (1)=0， (x)=2xlnx+x 一一 2(x 一 1)=2xlnxx+2 一 (1)=0 “
20、(x)=21nx+21+ ，“(1)=20 则 (x)在 x=1 取得极小值又 x=1 是 (x)在(0，+)唯一的极值点，则 (x)在 x=1 取得在区间(0 ，+) 上的最小值又 (1)=0，则当 x0 时，(x)0，即 (x 2 一 1)lnx(x 一1)2【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 任给非零 x(一 1，1) ，由拉格朗日中值定理得f(x)=f(0)+xf(x)x) (0(x)1)因为 f“(x)在(一 1，1) 内连续且 f“(x)0，所以 f“(x)在( 一 1，1)内不变号，不妨设f“(x)0，则 f(x)在( 一 1， 1)内严格单增，故 (x)唯一【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 高等数学
