1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 106 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设a n，b n，c n均为非负数列，且 则必有( )（A）a nb n 对任意 n 成立（B） bnc n 对任意 n 成立（C）极限 不存在（D）极限 不存在2 要使 f(x)= 在(-， +)内为连续函数，则( )（A）a=，b=0（B） a=，b=1 （C） a= ，b=1（D）a= ， b=03 设 f(0)=0，且 (常数)，则 f(x)在点 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导且 f(0)=A4 设函数 y=2sinx
2、+ sin3x，则在点 x= 处( )（A）y 取得最小值（B） y 取得极小值（C） y 取得极大值（D）y 不取极值5 设f(x)dx=arccosx+C ，则 等于( )6 设 f(x)可导且 f(0)0，又存在有界函数 (x)0(x0)满足 ，则 等于( )（A）0（B）（C） 1（D）27 设 a，b，c 均为非零向量，则与 a 不垂直的向量是( )（A）(a.c)b-(a.b)c （B）（C） ab（D）a+(ab)a 8 设函数 x=z(x，y)由方程 z+x=yf(x2-z2)确定，其中 f(u)可导，则 =( )（A）y（B） x（C） yf(x2-y2)（D）z9 设 I=
3、 xy2d，其中 D=(x，y)x 2+y21，x0，y0，则 I 等于( )10 在从点 O(0，0) 到点 A(，0)的曲线族 L：y=asin x(a0)中，使曲线积分 L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小的 a 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）411 设有无穷级数 ，则( )12 微分方程 =(x-y)(x+y)， =cosy+x，y 2dx-(y2+2xy-y)dy=0 中，一阶线性微分方程是( )（A）（B） （C） （D）、均不是13 差分方程 yt+1-yt=3t2+1 具有的特解形式为( )（A）y t*=At2+B（B） yt*=At3+Bt+Ct（C
4、） yt*=At2+Bt2（D）y t*=At2+Bt+C二、填空题14 =_.15 已知 f(x)由方程 cos(xy)+lny-x=1 确定，则 =_16 设 f(t)= ，则 f(t)=_17 曲线 y=(x-5) 的拐点坐标为_18 设 f(x)在0，+)内连续，且=_19 位于曲线 y=xe-x(0x+) 下方，x 轴上方的无界图形的面积为 _20 设 f(x，y)在点(a，b)处的偏导数存在，则 =_.21 设 n 是曲面 z=x2+y2 在点 M(1，1，2)处指向下侧的法向量，则函数 u=x2+yz 在点 M 处沿方向 n 的方向导数为_22 设平面区域 D 由直线 y=x，圆
5、 x2+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分 =_.23 向量 A=xi+yj+zk 通过闭区域 =(x，y，z) 0x1，0y1，0z1的边界曲面流向外侧的通量为_24 设函数 f(x)= anxn(-x)，f(0)=0 ，且满足 (n+1)an+1+anxn=ex，则 f(x)的表达式为_25 设函数 f(x)在2，+)上可导且 f(2)=1，如果 f(x)的反函数 g(x)满足=x2f(x)+x，则 f(4)=_考研数学一（高等数学）模拟试卷 106 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (特例排除法)取 an= (
6、n=1，2，)，则选项A、B、C 均可排除【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 由于初等函数在其有定义的区间上是连续函数，要使 f(x)在(-，+)内连续，只需 f(x)在 x=0 点连续，即成立，因为 不存在，所以b=0，从而【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 (常数)，所以故 f(x)在点 x=0 处连续进一步，所以 f(x)在点 x=0 处可导且 f(0)=A故应选 D【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 y=2cosx+cos3x，y=-2sinx-3sin3x，得所以 是驻点，由极值的第二充分条件知，在点 处 y 取得
7、极大值【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 等式f(x)dx=arccosx+C 两端对 x 求导，得 f(x)= ，所以【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知条件 f(0)0，将已知等式改写成 f(t)-f(0)dt=xf(x)-f(0)，将上式两端乘以 ，得【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 利用两个非零向量垂直(正交) 这两个向量的内积等于零由向量的运算法则有 A 项 a.(a.c)b-(a.b)c=(a.c)(a.b)-(a.b)(a.c)=0，B 项 a.(a.a)=a.b-a.b=0，C 项 a.(ab)=0，D 项
8、a.a+(ab)a=a.a= a 20故与 a 不垂直的向量是 a+(ab)a，应选 D【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 这是一个三元方程所确定的二元隐函数求偏导问题，本题采用方程两边求全微分，再利用全微分形式不变性得到 方程 z+x=yf(x2-z2)两边求全微分，得 dz+dz=fdy+yf(2xdx-2zdz)，所以 由全微分形式不变性，得【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 4 个选项中只有先对 y 后对 x 的二次积分与极坐标下的二次积分，因此只需要将积分区域 D 写成直角坐标下的 X 型区域与极坐标下的区域，并考虑被积表达式的变化即可在
9、直角坐标下，在极坐标下， D=(x ，y)0 ，0r1，于是 故应选C【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 本题是第二类曲线积分的计算与一元函数最值计算的综合问题在计算第二类曲线积分时，类似于上题，也有两种方法，这里用直接计算法 记 I(a)=L(1+y2)dx+(2x+y)dy令I(a)=-4+4a2=4(a2-1)=0，得 a=1(a=-1 舍去)，I(a)=8a，I(1)=80，故 I(a)在 a=1处取得极小值，也是最小值故应选 A【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 (推理法) 若 中至少有一个不成立，由级数收敛的必要条件知， 中至少有一个发散
10、故应选 B【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 C【试题解析】 可直接观察出方程、 不是一阶线性微分方程对于方程 ，将其变形为 将 x 看成未知函数，y 为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程故应选 C【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 B【试题解析】 因为 a=1，且一阶线性差分方程 yt+1-yt=3t2+1 的非齐次项 f(t)=3t2+1是二次多项式，所以其具有的特解形式为 y t*=t(At2+Bt+C)=At3+Bt2+Ct【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 1【试题解析】 由于 ，所以【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 2【试题解析】 这是一个关于
11、导数定义与隐函数求导的综合问题其方法是先将所求极限凑成 f(x)在点 x=0 处的导数定义的推广形式，然后利用隐函数求导求出f(x)进一步求出 f(0)在已知等式中，取 x=0 得 y-1，即 f(0)=1因为，将方程 cos(xy)+lny-x=1 两边对 x 求导，得将 x=0，y=1 代入上式，得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 4(1+t)e 2t【试题解析】 因为 f(t)= =te2t，所以 f(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t，f(t)=2e 2t+2(1+2t)e2t=4(1+t)e2t【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (-1，-6)【试题解析】 令
12、 y=0，得 x=-1；当 x=0 时 y不存在，列表 10：故曲线的拐点坐标为(-1，-6) 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 1【试题解析】 这是一个 型未定式的极限，用洛必达法则时，只要考虑到积分上限的导数即可【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 1【试题解析】 这是一个无界区域的面积问题，可用无穷限的反常积分计算所求面积为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 2f x(a，b)【试题解析】 由于所求极限与偏导数的定义形式非常接近，故考虑利用偏导数的定义求极限由 f(x，y)在点(a ，b) 处的偏导数存在，可知=fx(a，b)+f x(a，b)=2fx(a，b)【知识模
13、块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+y2-z，则曲面 z=x2+y2 在点 M 处指向下侧的法向量 n=(Fx，F y，F z) M=(2x，2y，-1) (1,1,2)=(2，2，-1)，将其单位化，得，n 0=，则 n 的方向余弦为 由方向导数计算公式，u 在点 M 处沿方向 n 的方向导数为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 在直角坐标下，无论是用 X 型区域还是用 Y 型区域，计算都比较烦琐，可考虑用极坐标计算在极坐标下，积分区域D=(r，) ，0r2sin，如图 52 所示，则【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 3【
14、试题解析】 本题考查第二类曲面积分的物理意义及计算一般地，Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 表示向量场 A(x，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x， y，z)七通过曲面 向着指定侧的通量(或流量 )，其中函数 P，Q，R 均具有一阶连续偏导数 设 的边界为 ，则所求通量为【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (ex-e-x)【试题解析】 因为 f(x)= ，则 (n+1)an+1+anxn=ex，上式可化为 f(x)+f(x)=e x，等式两边乘以 ex，得 f(x)e x=e2x，两边积分，得 f(x)ex= e2x+C，由 f(0)=0，得 C=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【试题解析】 当 x2 时，将已知方程两边对 x 求导得 gf(x)f(x)=2xf(x)+x 2f(x)+1，因为 g(x)是 f(x)的反函数，所以 gf(x)=x，于是，上式可写成 xf(x)=2xf(x)+x2f(x)+1，即 (x 2-x)f(x)+2xf(x)=-1， 这是一个一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的通解公式，有由 f(2)=1，得 C=3-ln2，所以 于是【知识模块】 高等数学
