1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 113 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 +时，若 lna(1+2x)、 均是比 x 高阶的无穷小，则 a 的取值范围是( )（A）(2 ，+) （B） (1，2) （C）（D）2 设 f(x0)存在，则下列极限中等于 f(x0)的是( )3 已知 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充分必要条件是( )4 设 f(x)在点 x0 的某一邻域内可导，且 (A 是大于零的常数)，则( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C）在点 x0 的某一邻域内 f(x
2、)单调增加（D）在点 x0 的某一邻域内 f(x)单调减少5 设 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导且 f(x)0，F(x)= ，则F(x)在(a，b)内( )（A）单调增加（B）单调减少（C）是偶函数（D）是奇函数6 设曲线 y=x2 与 y=4 所围成的图形的面积为 S，则下列各式中，错误的是 ( )7 二元函数 f(x，y)= 在点(0，0) 处( )（A）连续、偏导数不存在（B）不连续、偏导数存在（C）偏导数存在、可微（D）偏导数存在、不可微8 设 y=f(x，t)，而 t=t(x，y)由方程 F(x，y，t)=0 确定，其中 f，F 都具有连续偏导数，则 =( )9 设
3、D=(x， y)x2+y2R2， x0，y0 ，f(x)是 D 上的连续函数，且 f(x)0，a，b为常数，则 =( )10 设=(x，y，z)x 2+y2+z2=R2，z0，D xy=(x，y)x 2+y2R2，对于下列三个等式说法正确的是( )（A）只有正确（B）只有 正确（C）只有 正确（D）都不正确11 若幂级数 an(x-1)n 在 x=-2 点处收敛，则此幂级数在 x=3 点处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定12 设 y1，y 2，y 3 是二阶线性非齐次微分方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C 1，C 2 是任意常数，则该
4、微分方程的通解是( )（A）y=C 1y1+C2y2+y3（B） y=C1y1+C2y2-(C1+C2)y3（C） y=C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3（D）y=C 1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3二、填空题13 设 f(x)定义在(0，+)上，f(e x)=1+x，f(x)=1+x+lnx，则 (x)_14 =_.15 设函数 y=y(x)由方程 y=1-xey 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点的切线方程为_16 曲线 y=e-x2 的凸区间是_，凹区间是_17 函数 f(x)= 在点 x0=1 处带佩亚诺型余项的四阶泰勒公式为_18 =_.19 心形线 =a(
5、1+cos)(a 0)的全长为_20 如果 =x2-y2，则 fx(x，y)=_21 二次积分 =_.22 设空间曲线 ：x=acost，y=asint ，z=kt(0t2 ，k 为任意非零常数)，则(x2+y2+z2)ds=_23 设 =_.24 将 f(x)= (0x)展开成正弦级数为_25 微分方程 y+y=x2 的通解为 _考研数学一（高等数学）模拟试卷 113 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 显然，a0，当 x0 -时，ln a(1+2x)(2x) a=2axa，故由题意可得 a1，且 1，即 1a2【知识模块
6、】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 这是一个考查导数定义及其推广形式的问题故应选 D【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 (反例排除法) 取 f(x)=x，则 f(0)=0，f(x) 在点 x=0 处不可导，但排除 A排除 C排除 D故应选 B【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 及极限的局部保号性知，存在 x0 的某一去心邻域，使得在该邻域内 ，列表 2：因为 f(x)在点 x0 处可导，所以 f(x)在点 x0 处连续，故由极值的第一充分条件知，f(x 0)是 f(x)的极小值【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 考虑 F
7、(x)的单调性 由积分中值定理得 于是因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，从而当 ax 时，f()f(x)，因此 F(x)0，即 F(x)在(a，b)内单调增加【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由于定积分的结果与积分变量用什么符号表示无关，故如果 B 错误，则 D 错误；同样如果 D 错误，则 B 错误，排除 B、D 由于平面图形关于 y 轴对称，取 z 为积分变量，则平面图形的面积为 (4-x2)dx故错误的是 C【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个二元分段函数在分段点的连续性、偏导数的存在性以及可微性的判断问题，应用相应定义去判断连续
8、性 因为=f(0，0)(无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量)，所以 f(x，y) 在点(0 ，0)处连续，不选 B 偏导数的存在性 由于 f(x，y)中的自变量 x，y 具有轮换对称性，故类似地有 fy(0，0)=0，不选 A 可微性 因为所以z-dz=o() ，即 Az=dz+o()，其中 故 f(x，y)在点(0，0)处可微；应选 C【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 这是一个关于抽象方程组所确定的函数的求导问题 将方程y=f(x，t) ，F(x ，y，t)=0 两端求全微分，得 dy=f xdx+ftdt，F xdx+Fydy+Ftdt=0，消去 dt，得 (f
9、tFy+Ft)dy=(fxFt-ftFx)dx，于是【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 由于被积函数是抽象函数表达式，所以不能直接计算由积分区域与被积函数的特点考虑用轮换对称性【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查两类曲面积分的计算方法第一类曲面积分是利用“一代二换三投影”将其转化为二重积分进行计算，第二类曲面积分是利用“一代二投三定向”将其转化为二重积分进行计算由于可以写成 ，所以由于没有指明曲面的侧，所以故三个等式都不正确，应选 D【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查阿贝尔定理的条件与结论因为幂级数 an(x
10、-1)n 在x=-2 点处收敛，由阿贝尔定理，该幂级数在适合 x-1-2-1=3 的范围内，即 x(-2，4) 时绝对收敛，而 3(-2，4) ，所以此幂级数在 x=3 点处绝对收敛故应选 B【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查二阶线性非齐次微分方程解的性质与结构二阶线性非齐次微分方程的通解等于二阶线性齐次微分方程的通解加上二阶线性非齐次微分方程的一个特解 A 因为 C1y1+C2y2 不是二阶线性齐次微分方程的通解，排除 A B y=C1y1+C2y2=(C1+C2)y3= C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，而 y1-y3，y 2-y3 是二阶线性齐次
11、微分方程的两个线性无关解(如果其线性相关，则 y1-y2=k(y2-y3)，y 1=ky2+(1-k)y3，从而 y1，y 2，y 3 线性相关，与 y1，y 2，y 3 线性无关矛盾)，因此 B 是二阶线性齐次微分方程的通解，而不是二阶线性非齐次微分方程的通解，排除 B C y=C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3= C1(y1+y2)+C2(y2+y3)-y3，而 y1+y3，y 2+y3 一般来说不是二阶线性齐次微分方程的解，排除 C 故只有选 D事实上 D 可以写成 y=C 1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3， 其中 C1(y1-y3)+C2(y2-y3)是二阶线性齐次微
12、分方程的通解，y 3 是二阶线性非齐次微分方程的一个特解所以 y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3 是二阶线性非齐次微分方程的通解【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 xe x【试题解析】 这是一个函数记号灵活表示的问题 令 ex=t，则 x=lnt，由 f(ex)=1+x，得 f(t)=1+lnt从而 f(x)=1+ln(x)=1+x+lnx ， 所以 ln(x)=x+lnx， (x)=xex【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 -1【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 y=1-ex【试题解析】 当 x=0 时，由 y=1-xey，得 y=1，
13、所以 x=0 对应曲线 y=y(x)上点的坐标为(0 ，1) 方程 y=1-xey 两边对 x 求导，得所以切线斜率为 故所求切线方程为 y-1=-e(x-0)，即 y=1-ex【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 y=e -x2.(-2x)， y=e -x2.(-2x)2+e-x2.(-2)=2e-x2(2x2-1)，令 y=0，得 x1=列表 8：故函数曲线的凸区间是【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 1+(x-1) 2+(x-1)4+o(x-1)4【试题解析】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 8a【
14、试题解析】 心形线关于极轴对称(如图 40 所示)，根据极坐标方程下的弧长公式，心形线的全长为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 这是一个二元函数记号的灵活表示与偏导数计算的综合问题，先求出 f(x，y)的表达式，再求 fx(x，y)令 x+y=u， ，所以【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 3-2sin1-2cos1【试题解析】 虽然 理论上存在原函数，但由于其原函数不能用初等函数表示，故根据所给积分次序画出积分区域图，交换积分次序进行计算 由已知二次积分知，积分区域由直线 y=0，y=1，x=y 及曲线 围成，如图 45 所示，交换积分次序，得【知识模块】 高等数
15、学22 【正确答案】 【试题解析】 本题考查空间曲线的第一类曲线积分的计算，方法是将其转化为定积分计算【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 a-b- 0【试题解析】 因为 (un-un-1)=b，由级数收敛的定义知，其部分和 sn=(u1-u0)+2(u2-u1)+n(un-un-1) =-u0-u1-u2-un-1+nun=-u0- +(n+1)un 的极限为由已知条件 ，知故级数 的和为un-u2-b=a-b-u0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【试题解析】 先将 f(x)延拓成-，上的奇函数，然后再延拓成周期为 2 的周期函数，则由傅里叶系数公式，有 a n=0(n=0，1
16、，2， )，由于将f(x)延拓成周期为 2 的奇函数，x=0 是间断点，x= 是连续点，且 f(x)的正弦级数在 x=0 及 x= 处收敛于 0，故在(0， 上，收敛于 f(x)于是 f(x)的正弦级数为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 y=C 1cosx+C2sinx+x2-2【试题解析】 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题 首先求y+y=0 的通解y+y=0 的特征方程为 r2+1=0，特征根为 r=i，所以其通解为 Y=C1cosx+C2sinx 其次求 y+y=x2 的一个特解设其一个特解为 y*=Ax2+Bx+C，则 y*=2Ax+B，y *=2A，将其代入到 y+y=x2 并化简，得 Ax2+Bx+2A+C=x2， 比较等式两边 x 同次幂的系数，得 A=1， B=0， 2A+C=0， 所以 A=1，B=0，C=-2，故 y*=x2-2 最后写出 y+y=x2 的通解，为 y=Y+y=C 1cosx+C2sinx+x2-2【知识模块】 高等数学
