1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 124 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列结果中不正确的有( ) （A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 设 a，b 均为非零向量，且满足(a+3b)(7a 5b)，(a4b)(7a2b)，则 a 与 b 的夹角等于( ) 二、填空题3 _4 设 则 f(0)=_5 设 则 F(t)=_6 设曲线弧 L 的方程为 其周长为 a，则曲线积分 I= (2xy+3x2+4y2)ds=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求极限8 求极限9 设 01tt xdt，求 f(x)10 设函数
2、y=y(x)由方程组11 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可微，且 试证：存在点(0， 1)，使得 f()=0 12 设 f(x)0， f(x)0，对13 设f(x)在 x=0 处连续，且 f(0)=0， 求 01(t)dt14 设 f(x)可导，且有 f(x)+xf(x 一 1)=4，又 01f(xt)dt+0xf(t 一 1)dt=x3+x2+2x，求f(x)15 设 f(x)在a，b上有连续的二阶导数，并且 f(a)=f(b)=0，当 x(a，b)时，f(x)0，试证：16 设 f(x)为连续的奇函数，且当 x1 1f(xt)dt+0xtf(t2 一 x2)dt，讨论 (x)
3、在(一，+)内的凹凸性17 设有面密度为 的均匀圆环形薄板，内半径为 r1，外半径为 r2，一质量为 m 的质点 P 位于过圆环中心的垂线上，且与中心的距离为 a，求圆环对质点的引力18 求过直线 的平面 的方程19 试证：以 为参数的平面曲线族 是相互正交的(当相交时)20 计算二重积分 其中积分区域 D=(x，y)y=x 3， y=1，x=一 1)21 计算二重积分 其中 D=(x，y)0x1，0y122 求曲线积分 I=Lexsiny 一 b(x+y)dx+(excosyax)dy，其中 a、b 均为常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 到点 O (0，0)的一段弧23 设 C 是圆周
4、(x 一 a)2+(ya)2=r2，取逆时针方向，f(x)是连续的正值函数，证明：24 计算曲面积分 其中是曲面 z=1 一 x2一 y2(z0)的上侧25 判定级数 的敛散性，其中 和 为常数25 设数列a n)满足条件： a 0=3，a 1=1，a (n2) 一 n(n 一 1)an=0(n2)，s(x)是幂级数的和函数26 证明 s(x)一 S(x)=0；27 求 S(x)的表达式28 求解微分方程29 求解微分方程 y+(y)2+1=030 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点处的法线段 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲
5、线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行考研数学一（高等数学）模拟试卷 124 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (1)不正确 (2)此积分是一瑕积分，是发散的 (3) 同(2)，不能直接用牛顿莱布尼兹公式 (4)未假定 ba，不等式未必成立故选 D本题主要考查对微积分基本公式的理解设 f(x)在a，b上连续， F(x)是 f(x)在a，b上的原函数，则 abf(x)dx=F(b)一F(a)2 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查向量的数量积的概念、向量的夹角与数量积的关系以及两个向量相互垂直的充要条件根据两个向量垂直
6、的充要条件，由(a+3b)(7a5b)，(a4b)(7a 2b)，得 (a+3b) (7a5b)=0 ， (a 4b) (7a2b)=0即 7 a 2+16ab15b 2=0， 7 a 2 一 30ab+8b 2=0二、填空题3 【正确答案】 应填 2【试题解析】 分子分母同除以 X，须注意 x 为负原式应注意 x 的符号，若改为 x，则此极限不存在4 【正确答案】 应填 0【试题解析】 此题可用定义来求，也可用下列方法求解由于因而 f(x)在 x=0 处连续 又 x0 时，设 f(x)在 x0 的某去心邻域内可导且 f(x)在 x0 处连续，若 则 f (x0)=A5 【正确答案】 应填【试
7、题解析】 6 【正确答案】 应填 12a【试题解析】 先将方程代入化简，再利用被积函数 f(x，y)=xy 关于 x、y 分别为奇函数，计算曲线积分本题中的曲线弧 L 关于 x=0 或 y=0 对称三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 +时， xx=exl,arctanxx，洛必塔法则是求 型未定式的重要工具，为了避免复杂的计算，减少错误，在使用该工具之前，应尽可能综合运用四则运算、连续性、恒等变形、等价无穷小替换和变量代换等方法进行简化在本题中我们分离出极限为 1 的因子 xx，使函数中 更为突出，并利用恒等变形，简化了后面的计算否则，如
8、果直接用洛必塔法则，就会很麻烦8 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，则 f(x)在 上满足拉格朗日中值定理的条件，即存在一个点 使得 【试题解析】 求形如 的极限，可用拉格朗日中值定理转化为 I= 其中 介于 yn 与 zn 之间9 【正确答案】 当 x0 时， 01ttxdt= 01t(tx)dt= 当 0x1 时，01ttxdt= 0xt(xt)dt+ x1t(xt)dt= 当 x1 时，01ttxdt= 01t(xt)dt=【试题解析】 这是含有绝对值和参数的积分，去掉绝对值符号转化为分段函数再积分，然后求导(1)由初等函数 g(x)和 (x)构成的分段函数若满足 g(x0)=
9、(x0)，g (x 0)=+(x0)且则f(x)在 x=x0 处可导，且 f(x0)=g(x 0)=+(x0) (2)在计算含参变量的积分时，将参数视为常数可直接提至积分10 【正确答案】 将两式分别求微分，得【试题解析】 这是参数方程所确定的函数求导问题，可直接用公式计算参数方程所确定的函数求导问题，是一元函数微分学的重要内容之一，本题将参数方程与由变限积分所确定的隐函数求导相结合，要求能将求导方法综合使用11 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，由积分中值定理，存在点 c 使得 又 f(x)在0，c上连续，在(0，c)内可导，且 f(0)=f(c)由洛尔定理，存在点 (0，c)
10、(0，1)，使得 f()=0【试题解析】 待证结论含有导数，所以用洛尔定理证明证明的关键是在0，1内构造辅助区间0，c，使得 f(0)=f(c)点 c 可由已知条件和积分中值定理得到本题中的条件 可换为一般形式：只需 f(x)为连续函数，便可由积分中值定理找到使 f(a)=f(c)的辅助区间 a，c a，b12 【正确答案】 f(x)在 ta，b上的一阶台劳公式为 介于 x 与 t 之间 因为 f(s)0，所以 f()0于是，有 f(x)f(t)+f(t)(x 一 t) 不等式两边在 a，b 上对 t 积分，得 (b一 a)f(x)abf(t)dt+abf(t)(xt)dt =abf(t)dt
11、+(xt)f(t) ab+abf(t)dt = 2abf(t)dt+(x 一 b)f(b)一(x 一 a)f(a)所以， 2 abf(t)dt(b 一 a)f(x)+(b 一 x)f(b)+(x 一 a)f(a) 又 f(x)0，f(a)0，f(b)0，xa0 ，bx0 所以，2 abf(t)dt(ba)f(x)，即【试题解析】 因 f(x)二阶可导，可由台劳公式写出 f(x)的表达式，并进行放缩，再利用定积分的性质证明已知 f(x)具有二阶或二阶以上导数，且已知最高阶导数的符号和上界(或下界)的不等式证明问题，一般可先写出 f(x)的台劳公式，再进行放缩13 【正确答案】 14 【正确答案】
12、 因为 由题设有 0xf(u)du+x0xf(t 一 1)dt=x4+x3+2x2 两边对 x 求导得 f(x)+0xf(t 一 1)dt+xf(x 一 1)=4x3+3x2+4x两边对 x求导得 f(x)+f(x 一 1)+f(x 一 1)+xf(x 一 1)=12x2+6x+4 由 f(x)+xf(x 一 1)=4，得f(x 一 1)=6x2+3x所以， f(x)=6(x+1) 2+3(x+1)=6x2+15x+915 【正确答案】 当广义积分 发散时，不等式自然成立 现假设广义积分收敛此时，由 可知，只要证由拉格朗日中值定理 f(x0)f(a)=(x 0a)f (1),1(a, x0),
13、f(b) f(x 0)=(b x 0) f (2),2(x0,b) 于是【试题解析】 这是广义积分不等式的证明问题，要分广义积分发散和收敛两种情况证明16 【正确答案】 用二阶导数的符号判定 由 f(x)为连续的奇函数可知， a af(x)dx=0又 所以(x)=f(x x)2x xf(x x) 由 f(x)为奇函数，且 f(x)2)2)0因此，有 (x)0，x(一，+)，故 (x)是(一 ，+)上的下凸函数17 【正确答案】 建立如图 154 所示的坐标系，对应的圆环对质点 P 的引力微分为：18 【正确答案】 由题意知，平面 过直线 L1，则平面 过直线 L1 上的点(1，2， 3) 又因
14、为平面 过直线 L1 且平行于直线 L2，所以平面 的法向量为1，一 3，1)于是，平面 的点法式方程为 1(x 一 1)一3(y 一 2)+1(z 一 3)=0，即 x 一 3y+z+2=0【试题解析】 本题主要考查直线与平面的相互关系、向量的向量积及平面的点法式方程19 【正确答案】 设曲线族 中的任意两条曲线(= 1 及 =2)相交于点(x 0， y0)，则在交点处两条曲线的法向量分别为所以，这两条曲线在交点(x 0，y 0)处是相互正交的【试题解析】 本题主要考查平面上两条曲线的相互正交的问题两条曲线相互正交的充分必要条件是：两条曲线在同一点处的法向量是相互垂直的，即两条曲线在同一点处
15、的法向量的内积为 0类似地，还可证明以 A 为参数的空间曲线族也是相互正交的(当相交时)20 【正确答案】 设 D1 是由 y=一 x3，y=x 3 和 x=一 1 围成的区域，D 2 是 y=x3，y=一 x3 和 y=1 围成的区域，则 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，所以【试题解析】 补充曲线 y=一 x3，使积分区域 D 分别关于 x 坐标轴、y 坐标轴对称 本题中的被积函数含有抽象的未知函数，则应用二重积分关于坐标轴的对称性将其消掉21 【正确答案】 利用分段函数的积分 设 D1=(x，y)0x1，0yx)，D2=(x，y) 0x1 ，xy1)，则【试题解析】 本题
16、的关键是 maxx2，y 2)的处理，也就是将积分区域 D 按maxx2，y 2)的要求划分22 【正确答案】 利用曲线积分与路径无关的条件因为 I= L e x siny 一 b(x+y)dx+ (e x cosy 一 dx)dy= L e x sinydx+e x cosydy 一 L b(x+y)dx+axdy=I1 一 I2对于第一个积分 I1，因为 所以“曲线积分与路径无关 ”，故 I1=0；对于第二个积分 I2，取 L 得参数方程【试题解析】 本题主要考查曲线积分的常见计算方法通过适当分拆，将原积分分成两部分，使其一个积分与路径无关，从而可以简化积分计算的过程23 【正确答案】 因
17、为是封闭曲线，故由格林公式知其中 D=(x，y)(x 一 a)2+(y 一 a)2r2 由于区域 D 关于直线 y 一 05 是对称的，即具有轮换对称性所以，【试题解析】 2003 年考研数学一的考题中就是此题的一个特例24 【正确答案】 取 1 为 xOy 坐标平面上被圆 x2+y2=1 所围部分的下侧，记 Q 为由与 1 围成的空间闭区域，则由高斯公式知故 I=2一 3=一 【试题解析】 先添加一个曲面使之与原曲面成一封闭曲面，再应用高斯公式求解而在添加的曲面上直接应用投影法求解即可 本题选择 1 时，应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧)，再就是在 1 上直接投影积分时，应注意符号
18、(1 取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号)25 【正确答案】 因为 所以当 a 不是整数时， 发散；当 a 是整数时，有 由交错级数的判别法知，该级数收敛26 【正确答案】 由题设得 故级数收敛区间为(一,+) 因为 故S(x) 一 S(x)=027 【正确答案】 S(x)的微分方程 S(x)一 S(x)=0， 对应的特征方程 2 一 1=0，解得特征根为 1=一 1， 2=1， 所以方程通解为 S(x)=C1ex +C2ex 由 S(0)=a 0=3， 有 C1+C2=3， S(0)=a 1=1， 有 一 C1+C2=1， 易知 C 1=1， C 2=2所以 S(x)的表达式为S(x)=
19、ex +2ex【试题解析】 利用幂级数在收敛区间内的逐项求导性质求解28 【正确答案】 因为 这是可分离变量得微分方程两边积分，arctanu=x+c，即 u=tan(x+c)再将变量即 y=xtan(x+c)，其中 c 为任意常数【试题解析】 本题主要考查凑全微分的形式，可分离变量的微分方程的求解方法本题的关键在于如何凑全微分29 【正确答案】 利用凑微分 N：N(yy)=一 1，两边同时积分，得 yy=一 x+c1，即 其中 c1为任意常数 两边再同时积分，得即 y2=一 x2+2c1x+2c2于是，原微分方程的通解为 y2=一x2+c1x+c2，其中 c1，c 2 为任意常数【试题解析】
20、 本题主要考查二阶微分方程降阶为一阶微分方程的方法形如y=f(y，y) 的微分方程，一般的解题方法是：令 y=p，为一个关于自变量为 y 的一阶线性微分方程30 【正确答案】 设曲线 y=f(x)在点 P(x，y)处的法线方程为它与 x 轴的交点为(X，Y)=(x+yy，0)此点即为点 Q的坐标于是， 由于曲线向上凹，即y0因此，根据题意可得 其初始条件为 y(1)=1，y(1)=0 这是 y=f(y，y) 型的可降阶的微分方程其中 c 为任意常数 由于当 y=1 时， y=0(即 P=0)于是，有 亦即 p2=y21，从而两边积分，得其中 c 为任意常数 将条件 y(1)=1 代入，得【试题解析】 先写出曲线在一点 P(x，y)处的法线方程，两点间的距离公式以及曲率公式，再按题意列出相应的微分方程根据微分方程的类型，用相应的解法解之
