1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 128 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)和 g(x)在( 一，+)内可导，且 f(x)g(x)，则必有( )2 函数 f(x)=(x2 一 2x 一 3)x 2 一 3xsinx不可导点的个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 若反常积 收敛，则( )（A）a1（B） a1 且 b1（C） a1（D）a1 且 a+b14 设 S 是 xO y 平面上的圆域,x 2+y21，则二重积分 (x2+y2+z2)dS 等于( )（A）（B）（C）（D）05 设 L 为圆周 x2+y2=2 的逆时针方向
2、，则曲线积 ( )（A）（B） 2（C）（D）0二、填空题6 设 f(x)=x3 一 3x+q，其中常数 q(一 2，2)，则 f(x)的零点的个数为_7 曲面 z=x2+y2 与平面 2x+4yz=0 平行的切平面方程是_8 设 an0，且 则 P 的取值范围为_9 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求极限11 设 f(1)=0，f (1)=a，求极限12 设 f(x)在 x=a 处连续，讨论 (x)=f(x)arctan(xa)在 x=a 处的连续性与可导性13 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)非负，试证：至少存在一点 (0，1)，使得 f()= 1
3、 f(x)dx14 设 f(x)在 a，a 上具有三阶连续导数，且满足 f(x)=x2+0xtf(xt)dt，f(x)=0，证明：存在一点 a，a ，使得 a4f()=12 a af(x) dx15 计算16 求17 已知 f(x)连续，且 x02xf(t)dt+2x0tf(2t)dt=2x3(x1)，求 f(x)在0，2上的最大值和最小值18 设 a、b、 c 为三个不共线的平面向量，证明：它们首尾相接恰好构成一个三角形的充分必要条件是： ab=bcca19 设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e xcosy)满足若 f(0)=0，f(0)=0， 求 f(u)的表达式20 设 u=
4、f(x， y)为可微函数 (1)若 u=f(x，y)满足方程 试证：f(x，y)在极坐标系中只是 的函数，而与 r 无关 (2)若 u=f(x，y)满足方程试证：f(x，y)在极坐标系中只是 r 的函数，而与 无关21 计算二重积分 其中积分区域 D=(x，y)x 2+y21)22 计算三重积分 其中积分区域 为 x2+y2+z2122 设函数 f(x)在(一，+)内具有一阶连续的导数，L 是上半平面(y0) 内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b) ，终点为(c，d)记23 证明：曲线积分 I 与路径无关24 当 ab=cd 时，求曲线积分 I 的值25 计算曲线积分 一种 是曲线从 z 轴
5、正向往 z 轴看 的方向是顺时针的25 设数列a n)，b n满足收敛26 证明：27 证明：28 设函数 将函数 f(x)展开成 x 的幂级数，并求级数的“ 和数” 29 求解微分方程30 求解微分方程 3xy一 3xy4lnxy=031 设函数 f(x)具有连续的二阶导数，并满足方程且 f(0)=0，求函数 f(x)的表达式考研数学一（高等数学）模拟试卷 128 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)、g(x)可导知，f(x)、g(x)连续于是有：又 f(x0)0)，所以有 故选 C本题也可用排除法取 f(x)
6、=x，g(x)=x+1，则 f(x)g(x)，x (一 ，+) 但A，B，D 不成立，故选 C2 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的不可导点可能是x 2 一 3x=0 或x=0 的点，即 x=0，3，若直接按定义判断较复杂利用如下结论：若 存在，则 f(x)=g(x) xx0在 xx0 处可导的充要条件是 f(x)=(x2 一 2x 一 3)x 一3sinxx而 (x2 一 2x 一 3)x 一 3 sinx=0，所以，f(x)在 x=0 处可导同理 f(x)=(x 2 一 2x 一 3)xsin xx 一 3， (x2 一 2x 一3)x sin x=0，所以，f(x)在 x=3 处可
7、导故选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 利用反常积分的比较判别法4 【正确答案】 C【试题解析】 因为在 S 上 z=0，所以故选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B二、填空题6 【正确答案】 应填 3【试题解析】 当 x(一 ，一 1时，f(x)单调上升 且 f(一 1)=2+q0， f(x)在(一，一 1)有一个零点 当x(一 1，1)时，f(x)单调下降， 且 f(一 1)=2+q0，f(1)= 一 2+q f(x)在(1， +)有一个零点 综上所述，f(x)的零点个数为 3求 f(x)的零点的个数，须考查其单调区间及区间端点处函数值的符号若为无穷区间，计算 在一个单调区间
8、内，最多只有一个零点7 【正确答案】 应填 2x+4yz=5【试题解析】 本题考查曲面的法向量、两向量平行、平面的点法式方程等基础知识关键是求出切点的坐标设切点的坐标为 P0(x0，y 0，z 0)，则曲面在 P0 点处的法向量为一 2x0，2y 0，1)，应与已知平面的法向量 n=(2，4，一 1)平行，所以从而 x0=1，y 0=2，z 0=x02+y02=5于是，所求切平面的方程是： 2(x 一 1)+4(y 一 2)=(z 一 5)一 0，即 2x 十 4yz=5若两平面平行，则它们的法向量的投影成比例，而并不一定相等8 【正确答案】 应填 P2【试题解析】 9 【正确答案】 应填【试
9、题解析】 本题主要考查伯努利方程的解法令 z=y1 ，则 代入原方程得 解此线性方程的通解三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 令 原式【试题解析】 作变量代换 再用洛必塔法则在用常见方法(如四则运算，重要极限，等价无穷小量替换等)不能求解极限时，变量替换是一种行之有效的方法在本题中，作恰当的变量替换 从而该极限的计算便可迎刃而解，值得注意的是，倒代换是很重要的方法11 【正确答案】 原式【试题解析】 由 f(1)=0， f(1)=a 可知， 当x0 时，lncosx=ln1+(cosx1)cosx 一 1 x212 【正确答案】 因为 所以 (x)在 x=a
10、处连续又 所以，当f(a)=0 时，(x)在 x=a 处可导，且 (a)=0；当 f(a)0 时，(x)在 x=a 处不可导【试题解析】 这是讨论分段函数在分段点处的连续性与可导性问题分别计算在点 a 处的左、右极限和左、右导数13 【正确答案】 令 F(x)=x1xf(t)dt，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=1 11f(t)dt=0由洛尔定理，存在点 (0，1)，使得 F()=0，即 1f(t)dt+f()=0，故 f()一 1f(x)dx=0【试题解析】 欲证 f()=1f(x)dx=xf(x)=x1f(t)dt，如作辅助函数 F(x)=xf(x)一
11、x1f(t)dt，则 F(0)=0f(0)一 01f(t)dt 出0，F(1)=1f(1) 11f(t)dt=f(1)0，难以验证F(x)在0，1上有 F(0)0于是，可作辅助函数 F(x)，使得 F(x)=xf(x)一 x1f(t)dt， 即 F(x)=x 1xf(t)dt， 即 F(x)=x 1xf(t)dt， 再用洛尔定理证明 用辅助函数法证明存在点 ，使得 F()=0，若将待证结论中的 换为 x 不能作为辅助函数时，可考虑用其原函数作为辅助函数14 【正确答案】 由 f(x)=x2+0xtf(x 一 t)dt x2+x0xf(u)du 一 0xuf(u)du 知 f(0)=0，f(x)
12、=2x+ 0xf(u)du，f(0)=0 根据台劳公式，有其中 介于 0 与 x 之间，x一 a， a于是，这里 m，M 为f(x)在一 a，a 上的最小值、最大值故存在点 ea,a，使得【试题解析】 只要证 由于f(x)在一 a，a上连续，可对 f(x)在 一 a，a上用介值定理为证明 介于f(x)在一a，a上的最小值和最大值之间对 f(x)用麦克劳林公式15 【正确答案】 令 则 x=tan2t，dx=2tantsec 2tdt于是16 【正确答案】 【试题解析】 关于 cosnx，sin nx 的定积分，尽可能经变量替换将其转化为在的定积分，然后可用下面的公式简化定积分的计算17 【正确
13、答案】 对已知等式两边求导： 左边=(x 02xf(t)dt+2x0tf(2t)dt)=02xf(t)dt+2xf(2x)一 2xf(2x) =02xf(t)dt， 右边=2x 3(x 一 1)=8x3 一 6x2，由题设有 02xf(t)dt=8x3 一 6x2 两边再对 x 求导 2f(2x)=24x2 一 12x,即 f(2x)=6x(2x 一 1)=32x(2x一 1)令 u=2x，得 f(u)=3u(u 一 1)，即 f(x)=3x(x 一 1) 再求 f(x)在0，2上的最值最大值和最小值【试题解析】 对变限积分求导，可得 f(x)的解析式，然后求最值18 【正确答案】 向量 a，
14、 b，c 首尾相接恰好构成一个三角形的充分必要条件是a+b+c=0因此，只要证明 a+b+c=0ab=bc=ca 必要性：因为 a+b+c=0，两边分别用用向量 b，c 作叉积，得 则 ab=bcca 充分性：因为 ab=bc=ca，根据 a=bc，得(a+c)b=0 ，故 (a+b+c)b=0所以，向量 b 与a+b+c 平行 类似地，根据 ab= ca，bc=ca，亦可得到向量 a 与 a+b+c 平行，向量 c 与 a+b+c 平行 又因为向量 a、b、c 为三个不共线的平面向量，所以a+b+c=0【试题解析】 本题主要考查向量加法的三角形法则、向量运算的概念及其运算律19 【正确答案】
15、 因为f(e x cosy)=4f(e x cosy)+ e x cosy从而函数 f(u)满足方程 f(u)= 4 f(u)+u方程 f(u)= 4 f(u)的通解为 f(u)=c1e2 u + c2e2 u ，方程 f(u)= 4 f(u)+u 的一个特解为 所以方程f(u)= 4 f(u)+u 的通解为 f(u)=c1e2 u + c2e2 u 由 f(0)=0，f (0)=0 得 c1+ c2=0，2 c12c2 =0解得【试题解析】 利用复合函数偏导数的计算方法求出各阶偏导数代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程20 【正确答案】 在极坐标系中，u=f(x，y)的表达式为 u=
16、f(rcos，rsin) (1)要证明函数 u 在极坐标系下与 r 无关，只需证明 u 对 r 的偏导数为 0 即可因为 由此可见，u 只是 的函数，而与 r 无关 (2)同理，由于由此可见，u 只是 r 的函数，而与 无关【试题解析】 要证明一个多元函数与其某一个自变量无关，只需证明该函数对此自变量的偏导数恒为 0 即可21 【正确答案】 设 x=rcos，y=rsin ，则【试题解析】 本题主要考查绝对值函数的二重积分，关键问题在于如何去掉绝对值的符号本题还可以作坐标变换 u=3x+4y，v=一 4x+3y用这种方法，还可以证明22 【正确答案】 利用三重积分的对称性 因为积分区域 为空间
17、中的单位球体，即积分区域关于坐标原点对称，且被积函数关于积分变量 z 是奇函数，故三重积分【试题解析】 因为积分区域 为空间中的单位球体，故采用球坐标计算较直角坐标、柱坐标更为容易当积分区域 的边界曲面为球面、圆锥面，或被积函数为f(x2+y2+z2)时，三重积分应采用球坐标变换的换元公式 此时，应注意确定变量 r、 、 的取值范围23 【正确答案】 由于在上平面内处处成立所以，在上平面内“ 曲线积分 I 与路径无关” 24 【正确答案】 利用上一题的结果，取特殊路径 由于曲线积分 I 与路径无关，故可取积分路径 L 为由点(a ，b)到点(c，b)，再到点(c，d)的折线段所以，当 ab=c
18、d 时，积分 abcdf(t)dt=0由此可得【试题解析】 主要考查曲线积分与路径无关的条件当曲线积分 I 与路径无关时，采用全微分的方法有时比用折线段的方法更容易，前提是要熟悉常见函数的全微分的形式25 【正确答案】 参数法【试题解析】 本题主要考查第一类型曲线积分的求解方法将 转化为参数方程，可使计算简化，要利用公式正确计算出本题的曲线积分，关键是确定 的起点和终点所对应的 值 和 根据题意，=2，=026 【正确答案】 因为 cosan 一 cosb n =an ， 所以0a nb n又因为级数27 【正确答案】 因为【试题解析】 第一题利用夹逼定理，第二题利用正项级数比较判别法的极限形
19、式可得28 【正确答案】 29 【正确答案】 令 这是齐次微分方程再作变量代换 则上述微分方程就化为 将变量分离，得两边积分，得 lnzu= 2arctanz+ lnc将变量代换其中 c 为任意常数【试题解析】 本题是可化为齐次的微分方程，关键在于如何作相应的变量代换30 【正确答案】 将原微分方程改为 这是 n=4 时的伯努利方程 令 z=y3 ，代入到上式中 这是线性微分方程 利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为 其中 c 为任意常数 利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为 代入到线性微分方程中，得于是，线性微分方程的通解为其中 c 为任意常数 最后，再将变量代换 z=y3
20、 代回到原微分方程中去，即得原微分方程的通解为 其中 c 为任意常数另外，y=0 也是原微分方程的解【试题解析】 本题主要考查伯努利方程的求解方法在求解微分方程的通解时，有时有的特解并不在其通解中这时，就需要按原微分方程的结构来判定31 【正确答案】 通过求导，将积分方程化为微分方程，得 f(x)+5f(x)+4f(x)=0，且满足条件 f(0)=1，f(0)=0 ，这是一个二阶常系数齐次线性微分方程 因为特征方程为 2+5+4=(+1)(+4)=0，所以特征值为 1=一 1， 2=一 4，从而微分方程的通解为 f(x)=c 1ex +c2e4x ，其中 c1，c 2 为任意常数 由条件 f(0)=1，f(0)=0 得于是，【试题解析】 本题主要考查将积分方程化为微分方程的方法，并用相应的方法求解条件 f(0)=1 一般由积分方程给出
