1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 152 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是不恒为零的奇函数，且 f(0)存在，则 g(x)= ( )（A）在 x=0 处无极限（B） x=0 为其可去间断点（C） x=0 为其跳跃间断点（D）x=0 为其第二类间断点2 设 f(x，y)=sin ，则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）对 x 可偏导，对 y 不可偏导（B）对 x 不可偏导，对 y 可偏导（C）对 x 可偏导，对 y 也可偏导（D）对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导3 设 L 为由 y2=x+3 及 x=2 围成的区域的边界，取逆时针
2、方向，则 等于( )（A）2（B） 2（C） （D）0二、填空题4 若当 ，则 a=_，b=_5 设 f()可导，y=f(x 2)在 x0=一 1 处取得增量x=005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则 f(1)=_6 e =_7 过点 A(3，2，1) 且平行于直线 L1： 及 L2： 的平面方程为_8 01 =_9 设 f(x)= ，则 f(n)(0)=_10 yy=1+y2 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=0 的解为_11 曲线 y= 的斜渐近线为_12 =_13 已知 f(x)= ，则 f(n)(3)=_14 设 y(x)为微分方程 y一 4y+4y=0 满足初始条件
3、y(0)=1，y (0)=2 的特解，则01y(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，且 =e3，且 f存在，求 f(0)16 设由 ey +x(yx)=1+x 确定 y=y(x)，求 y(0)17 证明：当 x1 时， 18 求 19 求 0 dx19 计算 L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy，其中20 L 从原点沿直线 y=x 到点 (1，1)；21 L 从原点沿抛物线 y=x2 到点(1 ，1)22 判断级数 的敛散性23 求微分方程 x3y+2x2y一 xy+y=0 的通解24 设 25 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)
4、=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得f () f(b)一 f(a)26 设 F(X)在0，1 上连续，F(0)=0， 01f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0f(x)dx=f()27 已知点 P(1，0，一 1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x 一 2y+z=12 上求一点 M，使得PM+ MQ最小28 计算 考研数学一（高等数学）模拟试卷 152 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(0)存在，所以 f(x)在 x=0 处连续，又因为 f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然 x=0 为 g(x
5、)的间断点，因为 f(0)，所以 x=0 为 g(x)的可去间断点，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 取 Cr：x 2+y2=r2(其中 r0，C r 在 L 内，取逆时针)，【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 a= ，b=1【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 由 dy=2xf(x2)x 得 dy x=1 =一 2f(1)005= 一 01f (1)，因为 y的线性部分为 dy，由一 01f (1)=015 得 f(1)= 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】
6、1【试题解析】 e【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 所求平面为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z 一 1)=0，或 ：x 一 2y 一5z+6=0【试题解析】 直线 L1，L 2 的方向向量为 s1=1，一 2，1，s 2=2，1，0，所求平面的法向量为 n=s1s2=一 1，2，5，则所求平面为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z 一 1)=0，或 ：x 一 2y 一 5z+6=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 令 y=P，则 ，解得
7、 ln(1+P2)=lny2+lnC1，则 1+P2=C1y2，由 y(0)=1， y(0)=0 得 y= ，【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 y=2x-4【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 y 4y +4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x，由初始条件 y(0)=1，y (0)=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x，于是 01y(x)dx= 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答
8、案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 x=0 时，y=0 ， e y +x(y-x)=1+x 两边关于 x 求导得一 ey y+yx+x(y一 1)=1，则 y(0)=1； 一 ey y+yx+x(y-1)=1 两边关于 x 求导得 ey (y)2一 ey y+2(y-1)+xy=0， 代入得 y(0)=一 3【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，f(1)=2ln20，因为 f(x)=ln(1+x)+1一 lnx 一 1=ln(1+ )0(x1)，所以 f(x)在1， +)上单调增加，再由 f(1)=2ln2 0 得当 x1 时
9、，f(x)0，即 【试题解析】 当 x1 时， 等价于(1+x)ln(1+x)一 xlnx0【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=01(x3+x)dx+(x3+x)dx=01(2x3+2x)dx= 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=01(x5+x2)dx+(x4+x)2xdx=01(3x53x 2)dx=【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 x=
10、et，则 xy=D，x 2y=D(D 一 1)，x 3y=D(D1)(D 一 2)，即特征方程为 3 21=0，解得特征值为 1=1， 2=3=1，则方程 的通解为 y=C1et (C 2C 3t)et，原方程的通解为 y= (C 2C 3lnx)x【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 (x)= ，因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0 ，1上连续，在(0 ，1)内可导，又 (0)=0，(1)= 01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 =0，而 (x)= ，所以 0f(x)dx=f()【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 把点 P 及点 Q 的坐标代入 x2y+z 一 12 得 1 一 112=一 12 及32+212=9，则点 P 及 Q 位于平面 的同侧，过点 P 且垂直于平面 的直线方程为 ，令 =t，得 x=1+t，y=一 2t，z=t 一 1，把 x=1+t，y=一 2t，z=t 一1 代入平面 得 t=2，所以直线 L1 与平面 的交点坐标为 T(3，一 4，1)令点 P关于平面 的对称点为 P(x0，y 0，z 0)，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
