1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 174 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则在 x=1 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但不是连续可导（D）连续可导2 下列说法正确的是( ) 3 设当 x0 时，有 ax3+bx2+cx 0ln(12x) sintdt，则( )4 设 f(x)在a ，+)上二阶可导， f(a)0，f (a)=0，且 f(x)k(k0)，则 f(x)在(a， +)内的零点个数为( )（A）0 个 （B） 1 个 （C） 2 个 （D）3 个5 设 A=x 3+2y，y 3+2z， z3+2x，
2、曲面 S：x 2+y2+z2=2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为( ) （A）32（B）一 32（C）（D）二、填空题6 若 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_7 =_8 设 z=f(x+y， y+z，z+x) ，其中 f 连续可偏导，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 设 an= ，证明：a n收敛，并求 an11 设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x2 一 1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性12 求 13 求 14 求曲线 y=cosx( )与 x 轴围成的区域绕 x 轴、 y 轴
3、形成的几何体体积15 设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明：16 计算 sinx2cosy2dxdy，其中 D：x 2+y2a2(x0，y0)17 设 F()连续可导，计算 I= 3=dzdx+zdxdy，其中曲面为由 y=x2+z2+6 与 y=8一 x2 一 z2 所围成立体的外侧18 求幂级数 xn1 的收敛域，并求其和函数19 求微分方程(xy 2+y 一 1)dx+(x2y+x2)dy=0 的通解20 设 f(x)在a，+)上连续，且 f(x)存在证明：f(x)在a，+)上有界21 设 f(x)二阶连续可导且 f
4、(0)=f(0)=0，f (x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 ，求 22 设 f(x)=1x ，求 01x2f(x)dx23 证明： 24 设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0) 处的某邻域内连续证明：函数 f(x，y)在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 24 设 n，c n为正项数列，证明：25 若对一切正整数 n 满足 cnn 一 cn1 n1 0，且 也发散；26 若对一切正整数 n 满足 cn 一 cn1 a(a0)，且 也收敛27 求函数 f(x)=ln(1 一 x 一
5、2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域28 早晨开始下雪，整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?考研数学一（高等数学）模拟试卷 174 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 x0 时，ax 3+bx2+cx 0ln(12x) sintdt， 得 a=0，b=2 ，选(D)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B
6、【试题解析】 因为 f(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)=f(a)+f(a)(x 一 a)+ =+，故 =+，再由 f(a)0 得 f(x)在(a，+)内至少有一个零点，又因为f(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)0(xa) ，即 f(x)在a，+)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证
7、明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 显然a n单调增加，现证明：a n3，当 n=1 时，a 1= 3，设n=k 时， ak3，当 n=k1 时，a k1 = =3，【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 因为 f (0)f (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数
8、学17 【正确答案】 设 是 所围成的区域，它在 xOz 平面上的投影区域为x2+z21，由高斯公式得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 P(x，y)=xy 2+y 一 1，Q(x，y)=x 2y+x+2，因为 =2xy+1，所以原方程为全微分方程，令 (x，y)= (0，0) (x，y) (xy2+y 一 1)dx+(x2y+x+2)dy=0x(一 1)dx+0y(x2y+x+2)dy=一 x+ +xy+2y 则原方程的通解为 +xy+2yx=C【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 设 =A，取 0=1，根据极限的定义，存在 X00，当
9、 xX 0 时，f(x)一 A1，从而有 f(x)A+1，又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在 k0，当 xa，X 0，有f(x)k，取M=maxA+1，k，对一切的 xa，+) ，有f(x)M【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)，f y(0，0) 存在【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 f(x)=ln(1 一 x 一 2x2)=ln(x+1)(12x)=ln(1+x)+ln(12x)，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(tT)，又 bH(t)s=ct，【知识模块】 高等数学
