1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 181 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=xsinx e cosx，一x+是( )（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数2 设 f(x)=x3ax 2+bx 在 x=1 处有极小值2，则( )（A）a=1 ，b=2（B） a=1，b=2（C） a=0，b=3（D）a=0 ，b=33 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=sin2x+2ex 的满足初始条件f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， ( )（A）不存在（B）等于 0（C）等于 1（D）其他二、填空
2、题4 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 F(x)=0xf(t)dt+bx 也是以 T 为周期的连续函数，则 b=_5 设 u=f(x，y ，z)=e xyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 (0，1，一 1)=_6 若 f(x)=2nx(1 一 x)n，记 Mn= =_7 点 M(3，一 1，2)到直线 的距离为_8 设 f(x)= =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并判断其类型11 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)一
3、g(b)=0，g (x)0 ，试证明存在 (a，b)使 =011 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 存在，证明：12 存在 (1，2)，使得 13 存在 (1，2)，使得 12f(t)dt=( 一 1)f()ln214 求 15 设 F(x)=0xdy dt，求 F(x)16 曲线 y=x2(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 ，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积17 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值18 设 f(x)在 x=0 处可导，f(0)=0，求极限 f(
4、x2+y2+z2)d，其中： z 19 设 f(x，y， z)是连续函数， 是平面 xy+z1=0 在第四卦限部分的上侧，计算f(x，y，z)+xdydz 2f(x，y，z)+ydzdx+f(x，y，z)+zdxdy20 判别级数 的敛散性，若收敛求其和21 将 f(x)=lnx 展开成 x2 的幂级数22 设 f(x)二阶可导，且 0xf(t)dt+0xtf(xt)dt=x+1，求 f(x)23 求 的最大项24 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得 =a+b25 01x4 26 计算 ，其中
5、S 为圆柱 x2+y2=a2(a0)位于 z=一 a 与 z=a 之间的部分27 将函数 f(x)=2+x( 一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级 的和27 设函数 f(x)满足 xf(x)一 2f(x)=x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：28 曲线 y=f(x)；29 曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积考研数学一（高等数学）模拟试卷 181 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然函数为偶
6、函数，选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 f (x)=3x2+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值一 2，所以 解得a=0，b=一 3，选(C) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 0Tf(t)dt【试题解析】 F(x+T)= 0xT f(t)dt+b(x+T)=0xf(t)dt+bx+xxT f(t)dt+bT=F(x)+xxT f(t)dtbT=F(x)+ 0Tf(t)dtbT，由 F(x+T)=F(x)，得 b= 0Tf(t)dt【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 1【试题解
7、析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)=2n(1 一 x)n 一 2n2x(1 一 x)n1 =0 得 x= ，【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 直线的方向向量为 s=1，1，一 12，一 1，1= 0，一 3，一 3，显然直线经过点 M0(1，一 1，1) ， 的距离为 d= 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 在 D1=(x，y)x+，0y1上，f(y)=y；在D2：0x+y1 上，f(x+y)=xy则在 D0=D1D2=(x，y)yx1 一y，0y1上，f(y)f(x+y)=y(x+y) ，所以 【知识模块】 高等数
8、学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 (x)=f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt，(x)在区间a，b上连续，在区间(a ，b)内可导，且 (x)=f(x)xbg(t)dt 一 f(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)axf(t)dt=f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 ()=0，即f()bg(t)dt+g()af(t)dt=0，由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b
9、)内必有 g(x)0，从而就有 xbg(t)dt0 ，于是有 =0【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 h(x)=lnx，F(x)= 1xf(t)dt，且 F(x)=f(x)0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 由 得 f(1)=0，由拉格朗日中值定理得 f()=f()一 f(1)=f()(一 1)，其中 1，故 12f(t)dt=( 一 1)f()ln2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 F (x)= ，F (x)= 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 设切点坐
10、标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 y 一 a2=2a(x 一 a)，即y=2ax 一 a2，由题意得 S= ，解得 a=1，则切线方程为 y=2x 一 1，旋转体的体积为 V=01x4dx 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 0xtf(xt)dt= x0xf()d 0xf()d=x0xf(t)dt0xtf(t)dt， 0xf(t)dt+0xtf(xt)dt=x1 化为 0x
11、f(t)dt+x0xf(t)dt0xtf(t)dt=x+1，两边求导得 f(x)+0xf(t)dt=1，两边再求导得 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Cex ，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=ex 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 显然函数 f(x)是在 一 1，1上满足收敛定理的偶函数，则a0=201f(x)dx=5，a n=201f(x)cosnxdx= ，b n=0(n=1，2)，又 f(x)C一 1，1 ，所以 2+x = cos(2n1)x(1x1)令 x=0 得【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
