1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 182 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0x dt，g(x)= 0xsin2(xt)dt，则当 x0 时，g(x) 是 f(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价的无穷小（D）等价无穷小2 设曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=xy3 一 1 在点(1，1)处切线相同，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=1（C） a=2，b=1（D）a= 2， b=13 下列命题正确的是( ) （A）若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续（B）若 f(x)
2、在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续（C）若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续（D）若 f(a+h)一 f(ah)=0 ，则 f(x)在 x=a 处连续二、填空题4 11x2ln(x )(x 2 1) dx=_5 设 z=ln( )，则 =_6 设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0则 =_7 两异面直线 之间的距离为_8 设连续函数 f(x)，f(0)=0，F(t)= z2+f(x2+y2)dxdydz，：x 2+y2t2，0z1，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 设 f(x)= ，求 f(x
3、)的间断点，并判断其类型11 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得12 求 13 求 cos2xdx13 设 f(x)连续，且 F(x)=0x(x 一 2t)f(t)dt，证明：14 若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数；15 若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减16 求摆线 L： (a0)的第一拱绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积17 求函数 f(x，y)=(x 2+2x+y)ey 的极值18 设 f(x)在 x=0 处连续，求极限 f(x2+y2z 2)dr，其中 ： z 19 计算 xdydzydzdx+z
4、dxdy，其中是 z=x2+4y2(0z4)的上侧20 设 f(x)= ，S 0=02f(x)ex dx，S 1=24f(x2)e xdx，S n=2n2n2 f(x2n)ex dx，求 S N21 将 f(x)= arctanxx 展开成 x 的幂级数22 求满足初始条件 y+2x(y)2=0，y(0)=1，y (0)=1 的特解23 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 =A求 (x)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性24 设 a1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，C a1，a n且 f(a1)=f(a2)=f(an)=0证明：存在 (a1，a
5、 n)，使得 25 设 f(x)连续，且 0xtf(2xt)dt= arctanx2，f(1)=1，求 12f(x)dx26 设 S：x 2+y2+z2=a2，计算 (x2+4y2+9z2)dS27 将函数 f(x)=x1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数27 飞机以匀速 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 00)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为228 求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；29 导弹运行方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 182 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
6、目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由 y=x2ax+b 得 y=2x+a，2y=xy 3 一 1 两边对 x 求导得2y=y3+3xy2y，解得 y= ，因为两曲线在点(1，一 1)处切线相同，所以 ，应选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 7【试题解析】 s 1=4，一 3，1，s 2=一 2
7、，9，2，n= 4，一 3，1 一2，9，2=一 15，一 10，30，过直线 L2 且与 L1 平行的平面方程为 ：一15x10(y+7)+30(z 一 2)=0，即 ：3x+2y 一 6z+26=0，d= =7【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)
8、，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，而 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)，所以 【试题解析】 这是含端点和 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得 ，整理得 f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)=0，还原得 f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)=0，辅助函数为 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
9、【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 设 f(一 x)=f(x)，因为 F(x)= 0x (一 x 一 2t)f(t)dt 0x(一 x+2)f(-)(一 d)= 0x(x 一 2)f()d=F(x)，所以 F(x)为偶函数【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 F(x)= 0x(x2t)f(t)dt=x 0xf(t)dt 一 20xtf(t)dt， F (x)=0xf(t)dtxf(x)=xf()一 f(x)，其中 介于 0 与 x 之间， 当 x0 时，x0，因为 f(x)单调不增，所以 F(x)0， 当 x0 时， 0x，因为 f(x)单调不增，所以 F(x)0， 从而 F(x)单
10、调不减【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 V= 02af2f(x)dx=02ay2dx=02a3(1 一 cost)3=802a3( )3dt =32a30sin6 =32a3I6=32a3 =52a3【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 补充曲面 0：z=4(x 2+4y24)，取该曲面的下侧， 所以原式=一 12+8=一 4【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 S 0=02f(x)ex dx=01xex dx 12(2 一 x)ex dx=(1 一 )2，令 t=x一 2，则 S1=e2 02
11、f(t)et dt=e2 S0，令 t=x 一 2n,则 Sn=e2n 02f(t)et dt=e2n S0，S=【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 y=P，则 ，由 y(0)=1 得 C1=1，于是y= ，y=arctanx+C 2，再由 y(0)=1 得 C2=1，所以 y=arctanx+1【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 当 c=ai(i=1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设 c为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1ca 2a n令 k= ，构造辅助函数
12、(x)=f(x)一 k(x-a1)(xa2)(x 一 an)，显然 (x)在a 1，a n上 n 阶可导，且 (a1)=(c)=(a2)=(a n)=0，由罗尔定理，存在 1(1)(a1，c)， 2(1)(c，a 2)， n(1)(an1 ，a n)，使得 (1(1)=(1(1)= (n(1)=0， (x)在(a 1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n1) (x)在(a 1，a n)内至少有两个不同零点，设为c1，c 2(a1，a n)，使得 (n1) (c1)=(c2)=0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2)(a1，a n)，使得 (n)()=0而 (n)(x)=
13、f(n)(x)一 n！k，所以 f(n)()=n！k，从而有f(c)= f(n)()【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 0xtf(2x-t)dt 2xx(2x-)f()(一 d)=x2x(2x 一 )f()d=2xx2xf()d 一 x2xf()d 得 2xx2xf()dx2xf()d= arctanx2，等式两边对 x 求导得2x2xf()d2x2f(2x)一 f(x)一 4xf(2x)+xf(x)= ，整理得【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
