1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 186 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=01cosx sint2dt，g(x)= ，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小二、填空题2 设 f(x)在 x=a 处可导，则 =_3 设 f(x)= dt，则 01 dx=_4 设 y=y(x)由 x =_5 计算 01dx dy=_6 设 L： =1，且 L 的长度为 l，则 (9x2+72xy+4y2)ds=_7 设函数 ()可导且 (0)=1，二元函数 z=(xy)e xy
2、 满足 =0，则 ()=_8 设 0yetdt+0xcostdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 =_9 设 f(lnx)= ，则f(x)dx=_10 设直线 ，在平面 x+y+z=0 上的投影为直线 L，则点(1 ，2，1)到直线 L 的距离等于_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设当 x0 时，f(x)= 0x2ln(1+t)dtg(x)=x a(ebx 一 1)，求 a，b 的值12 求下列函数的导数：13 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 ， (a，b)，使得f()= f()14 求 15 计算下列列积分：15 设 L：y=s
3、inx(0x )，由 x=0,L 及 y=sint 围成的区域面积为 S1(t)；由L、y=sint 及 x= 围成的区域面积为 S2(t)，其中 0t 16 求 S(t)=S1(t)+S2(t)17 t 取何值时，S(t)取最小值?t 取何值时，S(t)取最大值 ?18 设曲线 y= ，过原点作切线，求此曲线、切线及 x 轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所成的旋转体的表面积19 计算 位于平面 z=1 及 z=2 之间部分的外侧20 判断级数 的敛散性21 用变量代换 x=sint 将方程 (1 一 x2) 一 4y=0 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解22 设 f(x)可导
4、且 f(0)=6，且 23 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)= f(x)dx，证明：存在 (0，2)，使得 f()f ()=024 设 f(lnx)= ，求 f(x)25 设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F(0)26 设空间曲线 C 由立体 0x1，0y1 ，0z1 的表面与平面 x+y+z= 所截而成，计算 (z2y 2)dx+(x2z 2)dy+(y2x 2）dz27 求幂级数 xn 的和函数28 设 a0=1，a 1=2， (n2)证明：当x1 时，幂级数 anxn 收敛，并求其和函数
5、S(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 186 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 10f(a)f (a)【试题解析】 因为 f(x)在 xa 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续， =2f(a)5f(a)=10f(a)f(a)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 e -1-1【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 e 一 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 1 一 sin1【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学6 【正确答
6、案】 36l【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 令 x+y=，则 =()exy+y()exy， =()exy+x()exy， =2()exy+()exy，【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 0yetdt+0xcostdt=xy 两边对 x 求导得 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 过直线 的平面束为(x+2yz 一 2)+k(2xy+z 一 3)=0，即(12k)x+(2 一 k)y+(k 一 1)z 一 23k=0，由1+2k，2 一 k，k 一1 1，1，1=0，得
7、 k=一 1，则投影直线为 L： ，s= 1，1，11， 3，2= 5，1，4，对称式方程为 L： ，令 M0，M 1 的坐标分别为(一 1，0，1) ，(1，2，1) ， 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 S 1(t)=0t(sint-sinx)dx=tsintcost1，【知识模块】 高等数学17 【正确
8、答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 1：z=1(x 2+y21)取下侧， 2：z=2(x 2+y24)取上侧，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 故原方程的通解为 y=C1e2arcsinx C 2e2arcsinx【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由 =0 得 f(0)=0，f (0)=0，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由 =0，得 F(1)=一 1，又 ，所以 f(1)=0由积分中值定理得 ，由罗尔定理，存在 x0(c，2) (1，2)，使得 f(x0)=0令 (x)
9、=exf(x)，则 (1)=(x0)=0，由罗尔定理，存在 (1，x 0) (0，2)，使得 ()=0，而 (x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以 f()+f()=0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 lnx=t，则 f(t)= ，当 t0 时，f(t)=t+C 1；当 t0 时，f(t)=et+C2，显然 F(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C1=1C 2，故 f(x)=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 F(t)=02d0trf(r2)dr=20trf(r2)dr=0t2f()d，得 F(t)=2tf(t2)，F(0)=0，F (0)= =2f(0)=2【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 取平面 x+y+z= 上被折线 C 所围的上侧部分为 S，其法向量的方向余弦为 cos=cos=cos= ，设 Dxy 表示曲面 S 在平面 xOy 上的投影区域，其面积为 A= ，由斯托克斯公式得【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 =0，得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(， +)【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
