1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 216 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0x dt，g(x)= 0xsin2(x 一 t)dt，则当 x0 时，g(x) 是 f(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价的无穷小（D）等价无穷小2 下列结论正确的是( ) 二、填空题3 设 f(x)= 可导，则 a=_，b=_4 设 为 f(x)的一个原函数，则f (2x 一 1)dx=_5 0x dx=_6 设 z=f(x，y)= =_7 =_8 =_9 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)一 y(x)，且
2、y= x+，其中 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 f(x)= ，求 f(x)及其间断点，并判断其类型11 设 an= 12 确定常数 a，b，c 的值，使得当 x0 时，e x(1+bx+cx2)=1+ax+o(x3)13 设 y=ln(2+3x )，求 dy x=014 求极限 15 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，证明：存在 (1，2) ，使得 f()一f()=f(2)一 2f(1)16 求 17 求 18 求 0 dx18 设 f(a)=f(b)=0， abf2(x)dx=1，f (x)Ca，b19 求
3、 abxf(x)f(x)dx；20 证明： abf2(x)dxabx2f2(x)dx 21 设曲线 =1(0a 4)与 x 轴、y 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所得立体体积为 V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为何值时，V 1(a)+V2(a)最大，并求最大值22 设 a，b 为非零向量，且b=1 ， 23 设 z=fxg(y)，x 一 y，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 24 计算 zdxdydz，其中 是由 x2+y2+z2=4 与 x2+y2=3z 围成的几何体25 设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L2xydx+Q(x，
4、y)dy 与路径无关，且对任意的 t 有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (1，t) 2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)26 求幂级数 的收敛域27 设 y=ex 为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 216 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 故 g(x)是 f(x)的高阶无穷小，应选 (A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 (A) 正确，因为 0(0+n)22(n2+n2
5、)，而 收敛，所以由正项级数的比较审敛法得 (0+n)2 收敛；【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 a=3，b=一 2；【试题解析】 f(10)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为 f(x)在 x=1 处连续，所以a+b=1；f (1)= =a，f (1)=3，因为 f(x)在 x=1 处可导，所以 a=3，故a=3，b=一 2【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= ，则f (2x 一 1)dx= f(2x 一 1)+C=+C【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
6、高等数学7 【正确答案】 sin1【试题解析】 改变积分次序得01dy ycosx2dx+12dy 1cosx2dx=01dxx2xcosx2dy=01xcosx2dx= 01cosx2d(x2)= sinx2 01= sin1【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 6【试题解析】 令 S(x)= n2xn(一 1x1)，则【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 由y= =0，解得 y=，再由 y(0)=2，得 C=2，所以 y= 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 当 x1 时，f(x)=1；当 x=1 时，f(1)= ；
7、当 x1 时，f(x)= ，即 f(x)= 因为 f(1 一 0)=1f(1+0)= ，所以 x=1 为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 由 ex=1+x+ (x 3)，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 得 sinxsin(sinx) x3，于是【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 (x)= ，则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)一 f(1)由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()=0，而 (x)= ，故 f()一 f()=f(
8、2)一 2f(1)【试题解析】 由 xf(x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)得 =0，从而 =0，辅助函数为 (x)= 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 abxf(x)f(x)dx=【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 abxf(x)f(x)dx= abf2(x)dxabx2f2(x)dx【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4一 a，曲线可化为 y=
9、，对任意的x，x+dx 0，a，dV2=2xydx=2x dx 于是V2=20Ax a2b，根据对称性，有 V1= ab2于是 V(a)=V1(a)+V2(a)= a(4 一 a)令 V(a)= a=2，又 V(2)0，所以a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 V(2)= 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 =g(y)f1f 2， =g(y)f1+g(y)xg(y)f11一 f12+xg(y)f21一f22=g(y)f1+xg(y)g(y)f11+xg(y)一 g(y)f12一 f22【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 得 z=1，故
10、 在 xOy 平面上的投影区域为D：x 2+y23，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以 =2x，于是Q(x，y)=x 2+(y)，由 (0，0) (1，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (1，t) 2xydxQ(x，y)dy，得t2+01(y)dy=t+0t(y)dy，两边对 t 求导数得 1+(t)=2t，(t)=2t 一 1，所以 Q(x，y)=x2+2y1【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 =3 得收敛半径为 R= 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 把 y=ex 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xex 一 x，原方程化为 y+(ex 一 1)y=1，则 y= +ex，将y(ln2)=0 代入 y= e x【知识模块】 高等数学
