1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 236 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f() ，g() 01-costantdt 和 h()tansin 当 0 时都是无穷小量，若按照它们关于 的阶数从低到高的顺序排列起来，则是（A）f()，g() ，h()（B） h()，f()，g()（C） f()，h()，g()（D）h()，g()，f()2 f() (2cos)在 (，)上是（A）有界的偶函数（B）无界的偶函数（C）有界的奇函数（D）无界的奇函数3 设函数 f() ，则函数 f()有（A）两个第一类间断点（B）三个第一类间断点（C）两个第一类间断点与
2、一个第二类间断点（D）一个第一类间断点与一个第二类间断点二、填空题4 _5 _6 _7 若 存在，则常数 a_8 设 0，则 _9 已知 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求下列极限：11 求下列极限： () ()，其中常数 a012 求下列极限：13 求极限14 确定常数 a 与 b 的值，使得15 已知常数 a0，bc0，使得 c，求 a，b，c16 确定常数 a 和 b0 的值，使函数 f() ，在( ，)上连续17 设 f()在 1 处连续， 3证明：f()在 1 处可导，并求 f(1)18 设 f()是周期为 3 的连续函数，f() 在点 1 处可导，且满足恒
3、等式f(1tan)4f(13tan)26g() ，其中 g()当 0 时是比 高阶的无穷小量求曲线 yf()在点(4，f(4)处的切线方程19 设直角坐标(，y)与极坐标(r，)满足 rcos ，yrsin 若曲线 的极坐标方程是 r 32sin0，求 上对应于 处的切线与法线的直角坐标方程20 设函数 f()在0 ，)上具有二阶连续导数，且 f(0)f(0)0，f()0若对任意的 0，用函数 u()表示曲线在切点(，f()处的切线在 轴上的截距，如图41 ()写出函数 u()的表达式，并求 u()与 u()； ()求21 设 y 求 y22 设函数 f 具有二阶导数，且 f1求由方程 2ey
4、e f(y)，确定的隐函数 yy()的一、二阶导数23 设 yy()是由方程 2 y 确定的隐函数，求 y24 求摆线 的曲率半径25 求下列函数的 n 阶导数： ()yln(6 273)，(n1)； ()ysin 2(2)，(n1)；()y26 已知当 1时函数 f()满足 f()af() 2g()，且 f(0)0，其中常数a0，函数 g()在1 可导且 g(0)0，g(0) 0试问 f(0)是不是函数的极值，点(0， f(0)是不是曲线 y f()的拐点?27 设 k 为参数，试确定方程 24 ke 的根的个数以及每个根所在的区间28 如图 62，设曲线段 L 是抛物线 y62 2 在第一
5、象限内的部分在 L 上求一点 M，使过 M 点 L 的切线 AB 与两坐标轴和 L 所围图形的面积为最小29 设函数 f()在0 ，)有连续导数且满足 f(0)0，f()0 在(0，)成立，求证：对任何 1 20 有 1f(2) 2f(1)考研数学一（高等数学）模拟试卷 236 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用当 0 时的等价无穷小关系：tan，1cos 和ln(1 )，不难得出当 0 时， f()g() 01-costantdtln(cost) 01-coslncos(1 cos) 1cos(1cos) (1cos
6、)2 ， h()tansin(1cos)tan 由此可知当 0 时，f()是关于 的二阶无穷小，g()是关于 的四阶无穷小，而 h()是关予 的三阶无穷小故应选 C【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 在(，) 上， 是奇函数， (2cos)是偶函数，于是它们的乘积 f()在( ，)上是奇函数 又因为2cos3，从而 f()，在(， )是否有界取决于 g() 在( ， )上是否有界因 g()在(， )上连续，且 这表明 g()在(，)上有界 综合得 f()是(，)上有界的奇函数，应选 C【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 利用当1 时， 2n0，当1 时，
7、 2n，不难得出 由此可见，1 与 1 都是 f()的第一类间断点，而 0 是 f()的第二类间断点故应选 C【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 e -2【试题解析】 求数列极限不可以直接用洛必达法则为了应用洛必达法则求本题中的极限，可引入函数极限 ，而所求的数列极限是这个函数极限中变量 取数列 的特例 引入函数 f() 与数列n (n1，2，3，)， 则 f( n)且 n0由洛必达法则可得【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 1【试题解析】 先用等价无穷小因子替换： ln(1)ln () 然后用分项求极限法可得【知识模块】
8、 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 注意是以 0 为分界点的分段函数，且0，可见应分别求当 0 时的左、右极限因为所以，题中极限存在 a3a a 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 (ln2) 2【试题解析】 ln2 此时必有 0 利用当 0 时的等价无穷小关系 ln(1)z 和 1cos ，把分子换为 ，把分母换为 ， 即得 ln2 又41ln4 ，从而【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 () 本题是求“ ”型未定式的极限，可先用等价无穷小因子替换：，然后利用洛必达法则，得
9、()本题也是求 “ ”型未定式的极限从分子和分母的表达式不难发现，若直接利用洛必达法则会碰到复杂的计算为简化计算过程，应当在分子和分母中分别利用等价无穷小因子代换 当 0 时，有 ee sine sin(esin 1) 又因e sin1sin， esin1，于是，分子可用 sin 代换 当 0 时，丽是无穷小量，于是分母可作等价无穷小因子代换，即【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 () 所求极限是“”型未定式，但现在无法经过通分化为“ ”或“ ”型的未定式这时可从括号内提出无穷大因子 ，先化为“0.”型的未定式，最后再通过换元 y 化为“ ”型未定式求极限()所求极限也是 “”型未定式，
10、首先应通过变形化为“ ”型未定式后，再用洛必达法则求极限令 t，由 以及洛必达法则可得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 () 因 ，又()本题也是“0 0”型未定式 y ， 0( 1ln(1 1)ln(0 ) 其中于是所求极限为 e01【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 利用当 0 时的等价无穷小关系 sin 与 ln(1) 可知当0 时 ln(1sin 2)sin 2 2，再利用极限的四则运算法则即知其中 I 用洛必达法则可得 I2 代入即知所求极限 123【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 作换元 t ，并利用洛必达法则求极限，可得由此可见，符合题目要求的常数 a 和
11、b 是方程组 的解， 即 b【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 记 I(a，b)由于 b0，计算可得从而，当 a2 时对任何 b0 以及当 a2 且 b1 时都有，(a，b) 当 a2 且 b1 时，I(a ，b)I(2，1)是“.0”型未定式，化为 型并作变量替换 t ，再利用洛必达法则可得故符合题目要求的常数 a，b，c 分别是 a2，b1，c 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 当 0 时，f()等于初等函数 ，由初等函数连续性知 f()在 (，0)连续，且当 0 时 f()等于初等函数 (elnb1)，由初等函数的连续性知 f()在(0， )连续，且 f(00) ln6 从
12、而，为使 f()在(， )上连续，必须且只需 f()还在点 0 处连续，即 f(00)af(00)ealn6 故当 ae 且 be e 时 f()在(，)上连续【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由题设知，当 1 时，f() 3 是 1 的同阶无穷小，从而 0 f() 3 f(1)13f(1) f(1)2 又由极限的四则运算法则，等价无穷小代换 ey1y(y0)和洛必达法则可得综合即得 即 f()在 1 处可导，且 f(1)4【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 曲线 yf()在点(4，f(4) 处的切线方程是 yf(4)f(4)( 4) 由 f()的周期性以及 f()在 1 处的可
13、导性知 f(4)f(1)，f(4)：f(1)，代入即得所求切线方程为 yf(1)f(1)(4) 由 f()的连续性可知 f(1tan)4f(13tan) 26g() f(1)4f(1) 0 f(1)0 再由 f()在 1 处的可导性与 f(1)0 可得在式左端中作换元 tant，则有而式右端 从而有 f(1)2 于是曲线 yf() 在点(4 ，f(4) 处的切线方程为 y2(4)，即 y28【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 曲线 的参数方程为 ，由 可得切点M 的直角坐标为( ，1)在点 M 处 的切线的斜率为故所求切线方程为 y1，即 5y 80 所求法线方程为 y1 ，即 50【知
14、识模块】 高等数学20 【正确答案】 () 如图 42，设点 M 的坐标为( ，f()，点的坐标为(，0)，点 P 的坐标为 (u() ，0)则 MN 的长度是 f()。NP 的长度是 u() 。从而由导数的几何意义知 用洛必达法则可得又因u()1 ，故()由洛必达法则及()可知【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为 e kb，于是( )(e ln) eln(ln) (1ln) 又因为，于是所以 y (1ln) (ln2ln )【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 将原方程两边取对数，可得与原方程等价的方程2lnyf(y) 将新方程两边对 求导数，得 yf(y)y (*) 可解出
15、y将(*)式两边再对 求导数，又得 f(y)(y) 2f(y)y 于是，可解出【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 将方程两边对 求导数，利用变上限定积分求导公式得 2(1y) y y 可解出 y【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 故摆线的曲率半径【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 () 因为 6273(31)(23)，所以 yln(6 273)ln(31)(23)ln 311n ln23 其中 0!1 ( )因为 ysin 2(2) (1cos4)，所以 y (n)(n) ()题目中的函数可分解为最简分式之和：从而 y(n)(n) (1)(11) 1(n1)( 4)1n (1
16、1)1(n1)(1) 1n (1) n.n!(4)1n (1) n.n!(1) 1n 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由题设知 f()g() af() 2 当1 时成立，且 f(3)()在1 存在，在上式中令 0 得 f(0)0，将上式求导得 f (3)g() 2af()f() 令 0 得 f(3)(0)g(0)0，从而点(0，f(0)是曲线 yf()的拐点 又因 f(3)(0) 0， 在 0 时 0，即在( ，0)中 f()0 ，在(0 ，) 中 f()0利用 f(0)0 即知 f()在( ，0)与(0， )中都取正值，故 f(0)不是函数 f()的极值【知识模块】 高等数学27
17、【正确答案】 转化为函数方程 F()( 241)e k，为此需讨论函数 F()的增减性，极值与值域 由 F()(2 4 241)e (32 2)e (3)(1)e 可知，函数 F()有两个驻点 3 与 1，结合 F()与F()0 可列表讨论 F()的单调性与极值如下：函数 F()的示意图如图 61 由此可得结论： (1)当 k 时直线 yk 与曲线 y( 24 1)e 有一个交点，其横坐标 13，即当 k 时方程 24 1ke 有唯一根，此根位于区间(，3)内 (2)当k 时，直线 yk 与曲线 y( 24 1)e 有两个交点，一个交点的横坐标13，而另一个交点的横坐标 21，即当 k 时，方
18、程 241ke 有两个根，一个位于区间(，3)内，另一个是 21 (3)当 0k 时，直线yk 与曲线 y( 24 1)e 有三个交点，其横坐标分别为13，3 21， 31，即当 0k 时，方程 24 1ke 有三个根，分别位于区间(，3)，(31)(1)内 (4)当2e 3k0 时，直线yk 与曲线 y( 24 1)e 有两个交点，其横坐标分别为13，3 20，即当 2e3k0 时方程 241ke 有两个根，分别位于区间(， 3)，(3，0)内 (5)当 k2e 3 时，直线 yk 与曲线y( 24 1)e 有一个交点，其横坐标为 13，即这时方程 241ke 有唯一根 1 3 (6) 当
19、k2e 3 时，直线 yk 与曲线 y(y 241)e 无交点，即此时方程 24 1ke 无根【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 设曲线 L 上点 M 的坐标为(，6 22)，则 L 在该点的切线方程 Y62 2 4(X)， 令 Y0，可得点 A 的横坐标为 a ，令 X0 可得点 B 的纵坐标为 b2(3) 2，从而所求图形的面积为 S (62 2)d 由于 (62 2)d 为一常数，可见 S 与 ab 将在同一点处取得最小值 记 f()ab，不难得出 故当 1 时面积 S 最小，即所求点 M 为(1，4)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 令 g() ，于是 g() g()与 h()f()f()同号由 h()在0，) 连续， h()f() 0( 0) h()在0， )单调下降，h() h(0)0( 0)，即 g()0 当 0 时成立从而对1 20 有 g(2)g( 1)，即原不等式成立【知识模块】 高等数学
