1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 253 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在(a ，b)定义，x 0(a，b)，则下列命题中正确的是（A）若 f(x)在(a，b)单调增加且可导，则 f(x)0(x (a，b)（B）若 (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点，则 f“(x0)=0（C）若 f(x0)=0，f“(x 0)=0，f“(x 0)0，则 x0 一定不是 f(x)的极值点（D）若 f(x)在 x=x0 处取极值，则 f(x0)=02 设 C，C 1， C2，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）
2、y=C 1x2+C2x+C3（B） x2+y2=C（C） y=ln(C1x)+ln(C1sinx)（D）y=C 1sin2x+C2cos2x3 在下列二元函数中，f“ xy(0，0)f“ yx(0，0)的二元函数是（A）f(x，y)=x 4+2x2y2+y10（B） f(x，y)=ln(1+x 2+y2)+cosxy（C）（D）4 对于任意 x 的值， 3nxnn!=（A）0（B） 1（C） 12（D）二、填空题5 设 K，L ， 为正的常数，则 Kx +(1)L x1x =_6 设 f(0)=1，f(0)=0 ，则 =_.7 曲线(x 1) 3=y2 上点(5 ，8)处的切线方程是_8 9
3、10 曲线 x=a(cost+tsint)， y=a(sinttcost)(0t2)的长度 L=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 11 设 n 为正整数，利用已知公式 In=02 sinnxdx=02 cosnxdx= I*，其中求下列积分：12 Jn=02 sinnxcosnxdx；13 Jn=1 1(x21) ndx14 设 f(x)=arcsin(x1) 2，f(0)=0，求 01f(x)dx15 设 P(x)在0，+)连续且为负值， y=y(x)在0 ，+)连续，在(0，+) 满足)y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0 ，+)单调增加16 讨论
4、曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln2x+k 在(0，+) 内的交点个数 (其中 k 为常数)17 设 f(x)在( ，+)可导，且 f(x)=A，求证： c(，+)，使 f(c)=018 求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆19 若 ，=6，3，2，而|=14 ，求 20 设函数 u(x，y) 有连续二阶偏导数，满足 =0，又满足下列条件：u(x，2x)=x ， ux(x，2x)=x 2(即 ux(x，y)| y=2x=x2)，求 u“xx(x，2x)，u“ xy(x，2x)，u“yy(x， 2x)21 已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形2
5、1 改变二重积分的累次积分的顺序22 01dx f(x，y)dy+ 13dx012(3x) f(x，y)dy；23 1 0dx f(x，y)dy+ 01dx f(x，y)dy ；24 01dx01dy f(x，y， z)dz，改换成先 y 最后 x 的顺序25 设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问 R 为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?26 设 f(x)在 2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= x xf(x+t)dt，证明级数F(1n)绝对收敛26 设有级数U： un 与V： vn，求证：27 若U，V均绝对收敛，则 (un+vn)绝对
6、收敛；28 若U绝对收敛，V条件收敛则 un+vn)条件收敛29 设 an=01x2(1x) ndx，求 an考研数学一（高等数学）模拟试卷 253 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 考察(C) f“(x 0)0，不妨设 f“(x0)0，则由极限保号性f(x)在 (x0，x 0单调下降，在x0，x 0+)单调上升 f(x)f(x 0)=0(x(x0，x 0+)，xx 0) f(x)在(x 0，x 0+)单调上升，x 0 不是 f(x)的极值点选(C) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 仅有(D) 含有
7、两个独立的任意常数 C1 与 C2，选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 对于(A) ，(B) ：f(x ，y)均是二元初等函数，因而(C)，(D) 中必有一个是 f“xy(0，0)=f“ yx(0，0)，而另一个是 f“xy(0，0)f“ yx(0，0)现考察(C)(x，y)(0，0)时，(x，y)=(0，0)时，=ddf(x)| x=0=0(x，y)=(0，0)时， f“yx(0，0)=ddxf y(x，0)| x=0=ddx(x)| x=0=1因此，f“xy(0，0)f“ yx(0，0)选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 级数 3n
8、n!x n 的敛散性由可知幂级数 3nn!x n 的收敛半径R=+，因此级数对任意的 x 值均收敛由级数收敛的必要条件得知3nxnn!=0 ，故选(A) 【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 K L1【试题解析】 属 1型极限原式= ，而因此，原式= =KL1 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 12【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 y=8+3(x5) y=3x7【试题解析】 由隐函数求导法，将方程(x1) 3=y2 两边对 x 求导，得 3(x1)2=2yy令 x=5，y=8 即得 y(5)=3故曲线(x1) 3=y2 在点(5，8)处的切线方程是y=8+
9、3(x5) y=3x7【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 13【试题解析】 这是求 00 型的极限用洛必达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数 f(x)= sintttdt 还是变限积分注意到这一点就容易求得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2 2a【试题解析】 曲线由参数方程表示出，直接代入弧长公式得=a02tdt=a12t 2|02=22a【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 注意分解 1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(1x 2+x4)【知识模块】 高等数学【知识
10、模块】 高等数学12 【正确答案】 J n=2n 02 sinn2xdx=2n 12 0sinnudu，而0sinnudu=02 sinnudu+2 sinnudu=202 sinnudu，(其中2 sinnudu 2 0sinn(t)dt= 02 sinntdt)【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 J n=201( 1)n(1x 2)ndx 202 (1) n(1sin 2t)ncostdt【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 01f(x)dx=01f(x)d(x1)=x(x 1)f(x)| 01 01(x1)f(x)dx=f(0) 01(x1)f(x)dx= 01(x 1)arc
11、sin(x1) 2dx=12 01arcin(x1) 2d(x1) 212 10arcsintdt=12 01arcsintdt【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由 y+P(x)y0(x0) y(x)0 (x0)，又 y(x)在0，+) 连续，y(x)0(x0) y(x)P(x)y(x)0 (x0) y(x)在0，+)单调增加【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 f(x)=2x+ln2x+k2lnx(x(0 ，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f(x)的零点个数由 令 g(x)=x+lnx1 令 f(x)=0 可解得唯一驻点 x0=1(0，+) 当 0x1 时 f(x)0
12、，f(x) 在(0，1单调减少；而当x1 时 f(x)0，f(x)在1，+)单调增加于是 f(1)=2+k 为 f(x)在(0，+)内唯一的极小值点，且为(0，+)上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k 的符号有关当 f(1)0 即 k2 时 f(x)在(0，+) 内恒为正值函数，无零点当 f(1)=0 即 k=2 时 f(x)在(0 ， +)内只有一个零点 x0=1当 f(1)0 即 k2 时需进一步考察 f(x)在 x0 +与 x+ 的极限：由连续函数的零点定理可得，x1(0，1)与 x2(1，+)使得 f(x1)=f(x2)=0，且由 f(x)在(0，1)与(1
13、，+) 内单调可知f(x)在(，1) 内与 (1，+)内最多各有一个零点，所以当 k2 时，f(x)在(0，+)内恰有两个零点【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43)若 f(x)A，显然成立若 f(x)A，必存在 x0，f(x 0)A，不妨设 f(x0)A由极限不等式性质， bx 0，f(b)f(x 0)； ax 0，f(a)f(x 0)f(x) 在a，b有最小值，它不能在 x=a 或 x=b 处达到，必在(a，b)内某点 c处达到，于是 f(c)=0【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 由曲率半径公式知，曲线 y=y(x)满足 解方程：
14、y“=1a(1+y 2)32 ，令 p=y，则由和式得(x+C 1)2+(y+C2)2=a2，即曲线是圆周若 y“=1a(1+y 2)32 ，则同样可证【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设 =x，y，z，由【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 将 u(x，2x)=x 两边对 x 求导，由复合函数求导法及 ux(x，2x)=x 2得 u x(x，2x)+2u y(x，2x)=1，u y(x，2x)=1 2(1 x 2) 现将 ux(x，2x)=x2，u y(x，2x)=12(1 2)分别对 x 求导得 u“ xx(x，2x)+2u“ y(x，2x)=2x ， u“yx(x， 2x)+
15、2u“yy(x，2x)= x 式2 式，利用条件 u“xx(x，2x)u“ yy(x，2x)=0 及 u“xy(x，2x)=u“ yx(x，2x) 得 3u“ xy(x，2x)=5x，u“ sy(x，2x)=53x 代入 式得 u“xx(x，2x)=u“ yy(x，2x)=43x【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设三角形的三边长为 a，b，c ，并设以 AC 边为旋转轴(见图 81)，AC 上的高为 h，则旋转所成立体的体积为V=13h 2b又设三角形的面积为 S，于是有所以 V=4p3b(pa)(pb)(pc)问题化成求 V(a，b，c)在条件 a+b+c2p=0 下的最大值点，等价
16、于求 V0(a，b，c)=ln1 b(pa)(pb)(p c)=ln(pa)+ln(pb)+ln(pc)lnb 在条件 a+b+c2p=0 下的最大值点用拉格朗日乘子法令 F(a，b，c， )=V0(a，b，c)+(a+b+c2p)，求解方程组比较，得 a=c，再由得 b=2(pa) 比较， 得 b(pb)=(p a)p 由，解出 b=p2，a=34p，又 c=a=34p由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分别为 p2，34p，34p 时，绕边长为号的边旋转时，所得立体体积最大【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答
17、案】 如图 911 所示【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 如图 912 所示【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 其中 D(x)：0y1，0zx 2+y2现改为先 y 后 z 的顺序，将 D(x)分成两块：0zx2，0y1；x 2z1+x2， y1，如图 920则【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 可设的球心为(0，0，a)， 的方程是 x2+y2+(za) 2=R2，与定球的交线为 a2 z2=R2(z a) 2，x 2+y2=R2(z a) 2，即 在定球内部那部分在 Oxy 平面上的投影区域为这部分球面的方程是 z=a，(x，y) D它的面积是由 S(R)=0 得 R=
18、43a因S(0)=S(2a)=0，所以 R=4 3a 时 S(R)取最大值，即 R=43a 时，在定球内部的那部分面积最大【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由于 f(x)在 2，2上有连续的导数，则 |f(x)|在2，2上连续，设 M 为|f(x)|在2，2 上的最大值。则 x1，1时，F(x)= x xf(x+t)dt=02xf(u)du=02xf(u)d(u2x)=f(u)(u2x)| 02x 02xf(u)(u2x)du= 02xf(u)(u2x)du，由此可得|F(x)|M 02x(2xu)du=2Mx 2，x1，1 因此|F(1n)|2M n 2(n=1，2，) ，由于 1n 2 收敛，由比较判别法可得 |F(1n)|收敛，即 F(1n) 绝对收敛【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由|u n+vn|un|+|vn|， (|un|+|vn|)收敛，再由比较原理 (un+vn)绝对收敛【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由假设条件知，|un+vn|发散用反证法若|un+vn|收敛 |un|=|un+vnu n|un+vn|+|un|，且 (|un+vn|+|un|)收敛 |vn|收敛，与已知条件矛盾因此 |un+vn|发散，即 (un+vn)条件收敛【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 先求 an【知识模块】 高等数学
