1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 268 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 极限 的充要条件是 ( )（A）1（B） 1（C） 0（D）与 无关2 无界的一个区间是 ( )（A）(， 1)（B） (1，0)（C） (0，1)（D）(1 ，+)3 在区间0 ，8 内，对函数 罗尔定理 ( )（A）不成立（B）成立，并且 f(2)=0（C）成立，并且 f(4)=0（D）成立，并且 f(8)=04 若 f(x)在 x0 点至少二阶可导，且 则函数 f(x)在 x=x0 处( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）不一定有极值5 设 f(x)连续
2、，f(0)=1，f(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是( )（A）y= 0xf(t)dt（B） y=1+0xf(t)dt（C） y=02xf(t)dt（D）y=1+ 02xf(t)dt6 设函数 P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数，L 为 D 内曲线，则曲线积分 LPdx+Qdy 与路径无关的充要条件为 ( )（A）Pdx+Qdy 是某一函数的全微分（B） CPdx+Qdy=0，其中 C：x 2+y2=1 在 D 内（C）（D）7 是由 x2+y2=z2 与 z=a(a0)所围成的区域，则三重积分 (x2+y2)dv 在柱面坐标系下累次积分的形式为
3、 ( )（A） 0d0ardrrar2dz（B） 02d0ardr0ar2dz（C） 0d0ardr0ar2dz（D） 02drdrrar2dz二、填空题8 设 f(x)是连续函数，且 0x31 f(t)dt=x，则 f(7)=_9 设 y(c)0且为连续函数， y(x)dx与 的某两个原函数，又设 则 y(x)=_10 过三点 A(1，1，1) ， B(2，2，2)和 C(1，1，2)的平面方程是_11 设 a，b 是非零向量，且b=1 及=_12 设 则 fx(0，1)=_13 设是球面 x2+y2+z2=a2(a0)的外侧，则 xy2dydz+yz2dzdx+zx2dxdy=_14 设
4、a 为正常数，则级数 的敛散性为_15 函数 展开成的 x1 的幂级数为_16 微分方程 3extanydx+(1e x)sec2ydy=0 的通解是_17 以 y=cos2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设函数 f(x)在a，b上连续，x 1，x 2，x n，是a，b 上一个点列，求19 设 又函数 f(x)可导，求 F(x)=f(x)的导数20 设函数 f(x)在一 2，2上二阶可导，且f(x) 1，又 f2(0)+f(0)2=4 试证：在(一 2，2) 内至少存在一点 ，使得 f()+f()=021 已知
5、 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f(x)f(x) 20(xR)(1)证明 f(x1)f(x 2)(x1，x 2R)；(2) 若 f(0)=1，证明 f(x)ef(0)x(xR)22 求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数23 求24 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S 2 恒为1，求此曲线 y=y(x)的方程25 某公司可通过电台和报纸两种
6、方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 1+322x28x 1x22x 1210x 22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略26 设 L 为圆周 x2+y2=4 正向一周，求 I=Ly3dx+3yx 2dy27 设函数 若曲线积分 LPdx+Qdy 在区域 D=(x，y)y0上与路径无关，求参数 28 (1)求函数项级数 ex +2e2x +nenx +收敛时 x 的取值范围； (2)当上述级数收敛时，求
7、其和函数 S(x)，并求 ln2ln3S(x)dx29 求微分方程 的通解，并求满足 y(1)=0 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 268 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 因此 f(x)在区间(0，1)内无界其他三个区间内 f(x)都是有界的【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在0 ，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件令 得 f(4)=0，即定理中的
8、可以取为 4【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由于 则存在 0，当0xx 0 时， 由于(xx 0)20，于是 f(x)f(x 0)0，所以 f(x0)f(x)，x 1 为极大值点故选 A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项(D)中函数记为 y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y=1+2x故应选 D【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 在单连通域 D 中， L
9、Pdx+Qdy 在 D 内与路径无关CPdx+Qdy=0，其中 C 为 D 内任意闭曲线 Pdx+Qdy 为某一函数的全微分故选A【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 被积函数中出现 x2+y2积分区域的边界曲面方程中含有 x2+y2一般说来利用柱面坐标系计算三重积分较为简便，这是因为柱面坐标变换中有x2+y2=r2 在 xOy 面上的投影域 Dxy=(x，y)x 2+y2a2用极坐标可表示为Dr=(r，)0ra，02 的上、下边界曲面方程为 z=a，z=r，故=02d0ardrrar2dz【知识模块】 多元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 V= 0(sinx+1)
10、2dx=【试题解析】 要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对x 求导得 f(xx1).3x 2=1， f(x31)= 令 x=2，即得【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 e x【试题解析】 由 两边对 x 求导，得 所以 y 2(x)=y(x)dx2，y(x)= y(x)dx，=y(x)所以 y=Cex由题设 y(0)=1，知 C=1又因为 ，故“”取“”所以 y=ex 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 x3y2z=0【试题解析】 所求平面法向量可取为 n= =(3，3，3)(0，2，3)=(3，9，6)，或取 n=(1，3，2)又平面过点 (1，1，
11、1)，从而所求平面方程为 (x 1) 3(y1)2(z+1)=0，即 x3y2z=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 向量代数与空间解析几何12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 设 为球面 x2+y2+z2=a2 所围闭区域，由高斯公式得【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 发散【试题解析】 因 绝对收敛，所以原级数发散【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 (1) n(x1) n，0x2【试题解析】 因1x1【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 tany=C(e x1
12、) 3，其中 C 为任意常数【试题解析】 方程分离变量得 积分得 lntany=3lne x1+ln C1所以方程的通解为 tan y=C(ex1) 3，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 y+4y=0【试题解析】 由特解 y=cos 2x+sin 2x 知特征根为 r1，2 =2i，故特征方程是r2+4=0，其对应方程即 y+4y=0【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 本题考虑使用夹逼准则由 f(x)在a，b上连续，知 ef(x)在a ，b上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为 ef(x)
13、在a，b上的最大值和最小值，于是 故【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 当 x0时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0时(分段点 )， (0)=0， 又 f(x)在 x=0 处可导，于是根据复合函数的求导法则，有 F(0)=f(0).(0)=0所以【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由拉格朗日中值定理有 f(0)f( 2)=2f(1)，2 10， f(2)f(x)=2f( 2)，0 22由f(x) 1 知令 (x)=f2(x)+f(x)2，则有 (1)2，( 2)2因为 (x)在 1， 2上连续，且 (0)=4，设 (x)在 1， 2上的大值在 (1， 2) (2，
14、2)处取到，则 ()4，且 (x)在 1， 2上可导，由费马定理有：()=0，即 2f().f(+2f().f()=0 因为f(x)1，且 ()4，所以 f()0，于是有 f()+f()=0， (2，2)【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 (1)记 g(x)=lnf(x)，则(2)即 f(x)ef(0)x【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 r()=asin，由对称性得【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 设 x=tanu，则 dx=sec2udu，【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y.(X
15、 x)它与 x轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是又 S2=0xy(t)dt，由条件 2S1S 2=1 知两边对 x 求导并化简得 yy=(y)2令 p=y，则上述方程可化为 从而于是 y=eC1x+C2注意到 y(0)=1，并由(*)式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 (1)利润函数为 z=f(x 1，x 2)=15+14x2+32x28x 2x22x 1210x 22(x 2+x2) =15+13x1+31x28x 1x22x 1210x 22函数 z=f(x1，x 2)
16、在点(075 ，125)的二阶导数为由于B2AC=6480=160 ，A= 40，所以函数 x=f(x1，x 2)在(075，125) 处达到极大值，也即最大值所以投入电台广告费 075 万元，报纸广告费 125 万元时，利润最大(2)若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z=f(x1，x 2)在x1+x2=15 时的条件极值 构造拉格朗日函数 F(x 1，x 2，)=15+13x1+31x28x 1x22x 1210x 22+(x1+x215) ，由方程组解得 x2=0，x 2=15，即将广告费 15 万元全部用于报纸广告，可使利润最大【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 记
17、I 1=Ly3dx，I 2=L3yx 2dy对于 I1 直接用格林公式记D=(x，y) x 2+y24，有 I1=Ly3dx= =3 02d02r3sin2dr=12 然后求 I2参数式 x=2cost，y=2sint ，t 从 y 同前所述，t 从所以 I=I1+I2=12【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 区域 D 为单连通区域，P(x，y)，Q(x，y)在 D 内有连续的偏导数，故 LPdx+Qdy 在 D 上与路径无关简化得 xr+xy2r2 +x3r2 =0，r 2+y2+x2=0，又 得=1【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 (1)该函数项级数的通项 un(
18、x)=nenx ，u n+1(x)=(n+1)e(n+1)x 故当收敛；当 x0 时，发散；当 x=0 时，该级数成为 1+2+?+n+，显然是发散的综上，当x0 时该级数收敛于 S(x)(2)S(x)=ex +2e2x +nenx + t+2t2+ntn+ =t(1+2t+ntn1 +)=t(t+t2+tn+)【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之令 y=ux，原方程化为 当 x0 时，上式成为两边积分，得 其中将任意常数记成 ln C由上式解得类似地，当 x0，仍可得 其中 C10 式 与其实是一样的，故得通解将初值条件 y(1)=0 代入式 得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为【知识模块】 常微分方程
