1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则 g(4)等于( )2 设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f+(a)与 f-(a)都存在，则 ( )（A）f(x)在 x=a 处不连续（B） f(x)在 x=a 处连续 （C） f(x)在 x=a 处可导（D）f(x)在 x=a 处连续可导3 下列命题成立的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 O，使得 f(x)在xx 0 内连续（B）若 f(x
2、)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续 存在，则 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)=（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 不存在，则 f(x)在x0 处不可导 4 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续5 函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( )6 设 f(x)连续可导，g(x) 连续，且 =0，又 f(x)=2x2+0xg(x 一 t)dt，
3、则( ) （A）x=0 为 f(x)的极大点 （B） x=0 为 f(x)的极小点 （C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点 （D）x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点7 下列说法正确的是( ) 8 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少 （B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0 一 ，x 0)时，f(x)单调增加，当x(x0，x 0+)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续 （D）f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值二
4、、填空题9 设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则=_10 设 =_11 设 =_12 设 y=y(x)由 yexy+xcosx1=0 确定，求 dy x=0=_。13 设 0yetdt+0xcostdtd=xy 确定函数 y=y(x)，则 =_14 设函数 y=y(x)由 确定，则 y=y(x)在 x=ln2 处的法线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得16 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1
5、)内任意一点 (1)写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； (2)证明： f(c)2a+ 17 设 f(x)在 一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式； (2)证明：存在 1， 2一 a，a，使得18 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且f(x) M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 其中 x为 x关于 x0 的对称点19 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b=)0，f +(a)f-(b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，
6、证明：存在 (a，b)，使得 20 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()021 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)22 设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x1，x 2a，b及 01，证明：fx1+(1 一 )x2f(x1)+(1 一 )f(x2)23 设 f(x)二阶可导， =1 且 f“(x)0证明：当 x0 时，f(x)x24 设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x0
7、)证明：f(x)e(x0)25 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 xia，b(i=1，2，n)及ki0(i=1，2，n)且满足 k1+k2+kn=1证明： f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)26 证明：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1)227 当 x0 时，证明：28 设 0a b，证明：29 求由方程 x2+y2 一 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值30 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f“(x)一 f(x)=0 在(
8、0，1) 内有根31 设 f(x)=3x2+Ax-3(x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时， f(x)2032 设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=一 2，f(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+) 内有且仅有一个根考研数学一（高等数学）模拟试卷 63 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 g(4)= ，所以选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f+(a)存在，所以 =f(a)，即f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f-(a)存在可得 f(x)在 x=a 处
9、左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x00，因为不存在，所以 f(x)在 x0 处不连续，(A) 不对， 同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x00，因为 f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0 处也不可导，(B)不对；【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 存在，所以 f(x)在 x=1 处可导所以选 (D)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由 0xg
10、(x 一 t)dt=0xg(t)dt 得 f(x)=一 2x2+0xg(t)dt，f“(x)=一 4x+g(x)，即当 x(一 ，0)时，f“(x)0；当x(0，) 时，f“(x)0，故 (0，f(0) 为 y=f(x)的拐点，应选(C) 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 极大值，但 f(x)在 x=1 处不连续， (C)不对；由 f“(0)存在，得 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选(D) 【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】
11、 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 0【试题解析】 当 x=0 时，t=0；当 t=0 时，由 y+ey=1，得 y=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 一 2dx【试题解析】 当 x=0 时，y=1，将 yexy+xcosx 一 1=0 两边对 x 求导得故 dy x=0=一 2dx【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 0yetdt+0xcostdt=xy 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 y= (xln2)【试题解析】 当 x=ln2 时， t=1；当 t=1 时，y=0 (
12、1)当 t=一 1 时，【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有因为 f“(x)在(a， b)内连续，所以 f“(x)在 1， 2上连续，从而 f“(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 (1)f(x)=f(c)+f(c)(x c)+ (xc)2，其中 介于 c 与 x 之间(2)分别令 x=0， x=1，得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (1)由 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=0 ，则 f(x)的带拉格朗日余项的马
13、克劳林公式为 其中 介于 0 与 x 之间(2)上式两边积分得 -aaf(x)dx= -aaf(4)()x4dx因为 f(4)(x)在一 a，a 上为连续函数，所以 f(4)(x)在 一 a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx4f(4)()x4Mx4， a5f4(1)=60-aaf(x)dx再由积分中值定理，存在 2一 a，a，使得 a5f4(1)=60-aaf(x)dx=120af(2)，即 a4f4(1)=120f(2)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设 f+(a)0，f -(b)0， 由 f+(a) 0，存在 x1(a，b)
14、，使得 f(x1)f(a)=0； 由 f-(b)0，存在 x2(a，b) ，使得 f(x2)f(b)=0， 因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0 令 h(x)= ，显然 h(x)在a ，b上连续，由 h(a)=h(c)=h(b)=0， 存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=0， 而 h(x)= 令 (x)=f(x)g(x)一 f(x)g(x)， ( 1)=(2)=0， 由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得()=0， 而 (x)=f“(x)g(x)f(x)g“(x)，所以 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】
15、 因为 =f+(a)0，所以存在 0，当 0xa时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0由微分中值定理，存在 1(a，c) ， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 (1， 2) (a，b)，使得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，a+b)，使得 两式相减得 f(a+b)一 f(a)一 f(b)=f(2)一 f(1)a 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f(1)f( 2)， 故 f(a+b)一 f(a)一 f(b)=f(1)一
16、 f(1)a0，即 f(a+b)f(a)+f(b) 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 x0=x1+(1 一 )x2，则 x0a，b，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)+ (x 一 x0)2，其中 介于 x0 与 x 之间， 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(x 一 x0)，于是两式相加，得 fx1+(1一 )x2f(x1)+(1)f(x2)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由 =1，得 f(0)=0，f(0)=1 ， 又由 f“(x)0 且 x0，所以f(x)f(0)+f(0)x=x【知识模块】 高等数学24 【正确答案
17、】 令 (x)=e-xf(x)，则 (x)在0，+)内可导， 又 (0)=1，(x)=e -xf(x)一 f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1 ，所以 有 f(x)e -x(x0)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn，显然 x0a，b 因为 f“(x)0，所以f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)， 分别取 x=xi(i=1，2，n)，得由 ki(i=1 ， 2，n) ，上述各式分别乘以ki(i=1，2，n)，得 将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)，即 f(k 1x1+k2x2+knx
18、n)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 (x)=(x2 一 1)lnx 一(x 一 1)2，(1)=0故 x=1 为 “(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 “(1)=20，故 “(x)0(x0)故 x=1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)=0，所以 x0 时，(x)0，即(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 令 (x)=e-xf
19、(x)+f(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=e-xf“(x)一 f(x)且 e-x0，所以方程 f“(c)一 f(c)=0在(0， 1)内有根【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x3 一 3x5， 令 (x)=20x3 一 3x5，由 (x)=60x2 一 15x4=0，得 x=2， “(x)=120x 一 60x3，因为 “(2)=一 2400，所以 x=2为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1 当x0 时，f(x)一 f(0)=f()x，从而 f(x)f(0)+x，因为=+ 由 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)=20， =+，则 f(x)=0 在(0，+)内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 高等数学
