1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 71 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =r，则( )（A）r1（B） r1（C） r=一 1（D）r=12 设 un=(一 1)nln(1+ )，则( ) 3 设幂级数 (x 一 2)2n 的收敛半径为( ) （A）2（B） 4（C）（D）无法确定4 设 f(x)= (n=0，1，2；一 x+)，其中 an=201(x)cosnxdx，则 S(一 )为( )二、填空题5 已知 f(x)= ，则 f(n)(3)=_6 =_7 =_8 级数 条件收敛，则 p 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
2、步骤。9 设 S：x 2+y2+z2=a2，计算 (x2+4y2+9z2)dS10 计算曲面积分(x1)绕 z 轴旋转一周所得到的曲面，取外侧11 计算曲线积分 Lxyzdz，其中 C： ，从 z 轴正向看，C 为逆时针方向12 计算 Lyzdx+3xzdy 一 xydz，其中 L： ，从 z 轴正向着，L 是逆时针方向13 设空间曲线 C 由立体 0z1，0y1，021 的表面与平面 x+y+z= 所截而成，计算 C(z2y2)dx+(x2 一 z2)dy+(y2x2)dz14 计算 I= ，其中 L 是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线15 设函数 f(x，y)在 D：x 2+y21 有连续的
3、偏导数，且在 L：x 2+y2=1 上有 f(x，y)0证明： f(0，0)= ，其中 Dr：r 2x2+y2116 设 L 是不经过点(2 ，0) ，( 2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算17 设函数 u(x，y) ，v(x，y) 在 D：x 2+y21 上一阶连续可偏导，又 f(x，y)=v(x，y)i+u(x，y)j，g(x，y)= ，且在区域 D 的边界上有 u(x，y)=1，v(x，y)=y，求 18 设曲线 L 的长度为 l，且 =M证明： LPdx+QdyMl19 讨论级数 的敛散性20 设 一定收敛21 设 0an (一 1)nan2 中，哪个级数一定收敛
4、?22 若正项级数 收敛23 24 设 an=一 01x2(1x)ndx，讨论级数 an 的敛散性，若收敛求其和25 设na n收敛，且 收敛26 设 an0(n=1，2，)且a nn=1单调减少，又级数的敛散性。27 证明：(1)设 an0，Rna n有界，则级数 收敛； (2)若收敛28 29 设u n，c n为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 cnun 一 cn+1un0，且也发散； (2)若对一切正整数 n 满足也收敛30 对常数 p，讨论幂级数 的收敛域考研数学一（高等数学）模拟试卷 71 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【
5、正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 anxn 的收敛半径为 R=4，又因为级数(x 一 2)2n 的收敛半径为 R=2，选(A) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 对函数 f(x)进行偶延拓，使 f(x)在(一 1，1)上为偶函数，再进行周期为 2 的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的和函数为 S(x)，则，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 3e【试
6、题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 2(1ln2)【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 曲面：z=1 一 x2 一 y2(z0)，补充曲面 0：z=0(x 2+y21)，取下侧，由高斯公式得 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 设由 L 所围成的平面为 ，接右手准则，取上侧，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 取平面 x+y+z= 上被折线 C 所围的上侧部分为 S，
7、其法向量的方向余弦为 cos=cos=cos=，由斯托克斯公式得 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 P(x，y)=令 Lr：x 2+y2=r2，其中r0， Lr 在 L 内，方向取逆时针，由格林公式得【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 =02f(cos， sin)一 f(rcos，rsin)d = 一 02f(rcos，rsin)d，再根据积分中值定理得 I=一 2f(rcos，rsin) ，其中 是介于 0 与 2 之间的值故原式=一f(rcos，rsin)=f(0，0)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 I=I1+I2 显然曲线积分 I1，I 2 都满足柯西一黎曼条
8、件(1) 当(2，0) ，( 一 2，0)都在 L 所围成的区域之外时，I 1=I2=0，因此 I=0；(2) 当(2，0)，(一 2，0)都在 L 所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以 r1，r 2 为半径的圆 C1，C 2，使它们都在 L 内，则 I1=一 2，同理 I2=一 2，因此 I=一 4；(3)当(2，0)，(一 2，0)有一个点在 L 围成的区域内，一个点在 L 围成的区域外时，I= 一2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 =02(一sin2+sincos)d=一 (其中 L 为单位圆周的正向)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 Pdx+Qdy=P ，Q) d
9、x ，dy， 因为ab ab，【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 取 0=1，存在自然数 N，当 NN 时，a n 一 01，从而 0an1，当 nN 时，有0an2 an1由收敛【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 S=a1，a 2，a n，S=(a 1 一 a0)+2(a2a1)+(n+1)(an+1 一 aan)，则 Sn+1=(n+1)an+1Sna0，因为 (anan1)收敛且数列na n收敛， 所以收敛【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (1)因为na n有界，所以存在 M0，使得 0na nM，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 cnun 一cn+1un+10，于是 cnuncn+1un+1c nunc 1u10，【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
