1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 71 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 =r,则( )(A)r1(B) r1(C) r=一 1(D)r=12 设 un=(一 1)nln(1+ ),则( ) 3 设幂级数 (x 一 2)2n 的收敛半径为( ) (A)2(B) 4(C)(D)无法确定4 设 f(x)= (n=0,1,2;一 x+),其中 an=201(x)cosnxdx,则 S(一 )为( )二、填空题5 已知 f(x)= ,则 f(n)(3)=_6 =_7 =_8 级数 条件收敛,则 p 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
2、步骤。9 设 S:x 2+y2+z2=a2,计算 (x2+4y2+9z2)dS10 计算曲面积分(x1)绕 z 轴旋转一周所得到的曲面,取外侧11 计算曲线积分 Lxyzdz,其中 C: ,从 z 轴正向看,C 为逆时针方向12 计算 Lyzdx+3xzdy 一 xydz,其中 L: ,从 z 轴正向着,L 是逆时针方向13 设空间曲线 C 由立体 0z1,0y1,021 的表面与平面 x+y+z= 所截而成,计算 C(z2y2)dx+(x2 一 z2)dy+(y2x2)dz14 计算 I= ,其中 L 是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线15 设函数 f(x,y)在 D:x 2+y21 有连续的
3、偏导数,且在 L:x 2+y2=1 上有 f(x,y)0证明: f(0,0)= ,其中 Dr:r 2x2+y2116 设 L 是不经过点(2 ,0) ,( 2,0)的分段光滑简单正向闭曲线,就 L 的不同情形计算17 设函数 u(x,y) ,v(x,y) 在 D:x 2+y21 上一阶连续可偏导,又 f(x,y)=v(x,y)i+u(x,y)j,g(x,y)= ,且在区域 D 的边界上有 u(x,y)=1,v(x,y)=y,求 18 设曲线 L 的长度为 l,且 =M证明: LPdx+QdyMl19 讨论级数 的敛散性20 设 一定收敛21 设 0an (一 1)nan2 中,哪个级数一定收敛
4、?22 若正项级数 收敛23 24 设 an=一 01x2(1x)ndx,讨论级数 an 的敛散性,若收敛求其和25 设na n收敛,且 收敛26 设 an0(n=1,2,)且a nn=1单调减少,又级数的敛散性。27 证明:(1)设 an0,Rna n有界,则级数 收敛; (2)若收敛28 29 设u n,c n为正项数列,证明: (1)若对一切正整数 n 满足 cnun 一 cn+1un0,且也发散; (2)若对一切正整数 n 满足也收敛30 对常数 p,讨论幂级数 的收敛域考研数学一(高等数学)模拟试卷 71 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【
5、正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 anxn 的收敛半径为 R=4,又因为级数(x 一 2)2n 的收敛半径为 R=2,选(A) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 对函数 f(x)进行偶延拓,使 f(x)在(一 1,1)上为偶函数,再进行周期为 2 的周期延拓,然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数,傅里叶级数的和函数为 S(x),则,选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 3e【试
6、题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 2(1ln2)【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 曲面:z=1 一 x2 一 y2(z0),补充曲面 0:z=0(x 2+y21),取下侧,由高斯公式得 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 设由 L 所围成的平面为 ,接右手准则,取上侧,【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 取平面 x+y+z= 上被折线 C 所围的上侧部分为 S,
7、其法向量的方向余弦为 cos=cos=cos=,由斯托克斯公式得 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 P(x,y)=令 Lr:x 2+y2=r2,其中r0, Lr 在 L 内,方向取逆时针,由格林公式得【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 =02f(cos, sin)一 f(rcos,rsin)d = 一 02f(rcos,rsin)d,再根据积分中值定理得 I=一 2f(rcos,rsin) ,其中 是介于 0 与 2 之间的值故原式=一f(rcos,rsin)=f(0,0)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 I=I1+I2 显然曲线积分 I1,I 2 都满足柯西一黎曼条
8、件(1) 当(2,0) ,( 一 2,0)都在 L 所围成的区域之外时,I 1=I2=0,因此 I=0;(2) 当(2,0),(一 2,0)都在 L 所围成的区域之内时,分别以这两个点为中心以 r1,r 2 为半径的圆 C1,C 2,使它们都在 L 内,则 I1=一 2,同理 I2=一 2,因此 I=一 4;(3)当(2,0),(一 2,0)有一个点在 L 围成的区域内,一个点在 L 围成的区域外时,I= 一2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 =02(一sin2+sincos)d=一 (其中 L 为单位圆周的正向)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 Pdx+Qdy=P ,Q) d
9、x ,dy, 因为ab ab,【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 取 0=1,存在自然数 N,当 NN 时,a n 一 01,从而 0an1,当 nN 时,有0an2 an1由收敛【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 S=a1,a 2,a n,S=(a 1 一 a0)+2(a2a1)+(n+1)(an+1 一 aan),则 Sn+1=(n+1)an+1Sna0,因为 (anan1)收敛且数列na n收敛, 所以收敛【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (1)因为na n有界,所以存在 M0,使得 0na nM,【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 cnun 一cn+1un+10,于是 cnuncn+1un+1c nunc 1u10,【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学