1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 86 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，其中 a2+c20，则必有( )（A）b=4d。（B） b=-4d。（C） a=4c。（D）a=-4c。2 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在。（B）极限存在，但不连续。（C）连续但不可导。（D）可导。3 设 f(x)为可导函数，且满足条件 ，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 ( )（A）2。（B） -1。（D）-2 。4 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0， ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值。（B） f(
2、0)是 f(x)的极小值。（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。5 函数 f(x，y)=arctan 在点(1，0)处的梯度向量为( )（A）-i 。（B） i。（C） -j。（D）j。6 设 D 为单位圆 x2+y21， I1= (x3+y3)dxdy，I 2= (x3+y3)dxdy，I 3= (2x6+y5)dxdy，则( )（A）I 1I 2 I3。（B） I3I 1I 2。（C） I3I 2I 3。（D）I 1I 3 I2。7 设常数 0，且级数 ( )（A）发散。（B）条件收敛。（C）绝对
3、收敛。（D）敛散性与 有关。8 已知微分方程 y+6y+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（A）0 ，+) 。（B） (-，0。（C） (-，4。（D）(-，+) 。二、填空题9 设 ，则 a=_。10 设 y=y(x)由方程 确定，则 y(0)=_。11 =_。12 曲线 p=1 相应于 的一段弧长 s=_。13 grad =_。14 设 z=z(x，y)由方程 z+ez=xy2 所确定，则 dz=_。15 交换积分次序 =_。16 设 为曲线 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向，则 I= (z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz=_。1
4、7 已知幂级数 在 x=1 处条件收敛，则幂级数 的收敛半径为_。18 微分方程 xy+3y=0 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 f(x)=20 设 f(x)在(-1 ，1) 内具有二阶连续导数，且 f(x)0。证明：()对于任意的 x(-1，0)(0，1)，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x)成立；()21 设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1-x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D。 ()求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ( )求
5、 a 的值，使 V(a)为最大。22 设 z=23 计算 ，其中 D=(x，y)0yminx，1-x。24 设 P 为椭球面 S：x 2+y2+z2-yz=1 上的动点，若 S 在点 P 的切平面与 xOy 面垂直，求 P 点的轨迹 C，并计算曲面积分 其中是椭球面S 位于曲线 C 上方的部分。25 设幂级数 在(-，+) 内收敛，其和函数 y(x)满足 y-2xy-4y=0，y(0)=0，y(0)=1 。( )证明 an= ，n=0，1，2，；()求 y(x)的表达式。考研数学一（高等数学）模拟试卷 86 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案
6、】 D【试题解析】 当 x0 时，由带佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(1-2x) 均为x 的一阶无穷小；而 1-cosx， 均为 x 的二阶无穷小，所以即 a=-4c，故选 D。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由f+(0)，f -(0)都存在可得，f(x) 在 x=0 右连续和左连续，所以 f(x)在 x=0 连续；但f+(0)f-(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导。所以选 C。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 将题中极限条件两端同乘 2，得由导数定义可知，f(1)=-2，故选 D。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试
7、题解析】 根据极限的保号性，由 =1 可知，存在 x=0 的某邻域 U(0)，使对任意 xU(0)，都有 ，即 f(x)0。从而函数 f(x)在该邻域内单调增加。 于是当 x0 时，有 f(x)f(0)=0 ；当 x0 时，f(x)f(0)=0，由极值的第一判定定理可知，f(x)在 x=0 处取得极小值。故选 B。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 则 gradf (1,0)=j，故选 D。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x3 是 x 的奇函数，y 3，y 5 是 y的奇函数，则由于在 D内x1，y1，则 x6+
8、y6x4+y4，于是从而有 I1I 3I 2。故选 D。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 取 an= ，显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选 C。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y+6y+y=0 的特征方程为 r2+br+1=0，特征根为(1)b24 时，原方程通解为(2)b2=4 时，原方程通解为(3)b24 时，原方程通解为 由以上解的形式可知当 b0 时，每个解都在0，+)上有界，故选 A。【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 -2【
9、试题解析】 将 x=0 代入方程 x= 可得 y=1，即 y(0)=1。在方程两边对 x 求导，得所以 y(0)=-2。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，所以【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 由已知可得 。则【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 i+j+k【试题解析】 令 u=xy+ ，则【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 在方程两端对 x 求偏导得 同理可得 所以【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，积分区域如图 1-6-4 所示，则有【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 -2【试题
10、解析】 利用格林公式计算。设 C 为圆 x2+y2=1 的顺时针方向，由 x-y+z=2可知 z=2-x+y，则【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 1【试题解析】 幂级数 在 x=1 处条件收敛，那么 x=1 为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为 1，因此幂级数 收敛半径也为 1。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 令 p=y，则原方程化为 p+ =0，其通解为 p=Cx-3。因此【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 () 由拉格朗 13 中值定理，对任意的 x(-1，1
11、)，x0，存在 (x)(0，1)使 f(x)=f(0)+xf(x)x)。 又由 f(x)连续且 f(x)0 知，f(x)在(-1，1)不变号，则 f(x)在(-1 ，1)严格单调， 唯一。 ()对 f(x)使用 f(0)的定义。由() 中的式子，则有 解出 ，令x0 取极限得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 y=ax 2 与 y=1-x2 的交点为 ，直线 OA 的方程为() 旋转体的体积当 a0 时，得V(a)的唯一驻点 a=4。当 0a4 时，V(a)0；当 a4 时，V(a)0。 故 a=4 为V(a)的唯一极大值点，即为最大值点。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 将上式
12、分别代入原式可得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 如图 1-6-10 所示，在极坐标中【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 () 切平面法向量的分量 Fx=2x， Fy=2y-z，F z=2z-y，因切平面与xOy 面垂直，所以 2x0+(2y-z)0+(2z-y)1=0，即 z= 因此轨迹 C 为()记方程为 z=z(x，y) ，由第一类曲面积分可得由 x2+y2+z2-yz=1 两边分别同时对 x，y 求偏导，得因为 x2+y2+z2-yz=1。所以【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 () 记 y(x)=，代入微分方程 y-2xy-4y=0 有故有(n+2)(n+1)a n+2-2nan-4an=0，即有 ()由初始条件y(0)=0,y(0)=1，知 a0=0，a 1=1。于是根据递推关系式 an+2= ，有a2n=0，a 2n+1= 。故【知识模块】 高等数学
