1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 在(一，+) 内连续，且 ，则常数 a，b 满足( )（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b02 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， “ ”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有( )（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数3 设函数 f(x)= ，则( )（A）x=0，x=1 都是 f(
2、x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点4 设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 0xf(t)dt 是( )（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在 x=0 处间断的奇函数（D）在 x=0 处间断的偶函数5 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( )6 函数 f(x)= 在一 ，上的第一类间断点是 x=( )（A）0（B） 1（C）（D）7 设函数 f(x)在 x=0
3、处连续，下列命题错误的是( )8 判断函数 则 f(x)有( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个跳跃间断点（D）2 个无穷间断点9 设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是( )（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛10 设 f(x)= 则 f(f(f(x)等于( )（A）0（B） 1（C）（D）11 下列各题计算过程中正确无误的是( )12 设数列 xn 与 yn 满足 则下列断言正确的
4、是( )（A）若 xn 发散，则 yn 必发散（B）若 xn 无界，则 yn 必无界（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小13 设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x 一 a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( ) f(x)g(x)是 x 一 a 的 n+m 阶无穷小若 nm，则 f(x)+g(x)是 x 一a 的 n 阶无穷小（A）1（B） 2（C） 3（D）014 以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）315 设数列极限函数 f(x)= ，则 f(x)的
5、定义域 I 和 f(x)的连续区间 J 分别是( )（A）I=( 一，+)，J=(一，+) （B） I=(一 1，+)，J=(一 1，1) (1，+)（C） I=(一 1，+)，J=(一 1，+) （D）I=( 一 1，1) ，J=( 一 1，1)16 把 x0 +时的无穷小量 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A），（B） ， （C） ， （D）， 17 函数 f(x)= 的间断点及类型是( )（A）x=1 为第一类间断点， x=一 1 为第二类间断点（B） x=1 均为第一类间断点（C） x=1 为第二类间断点，x= 一 1 为第一类间断点（D）x=1
6、 均为第二类间断点18 设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) f(x)必有间断点 (x) 2 必有间断点 f(x)没有间断点（A）0（B） 1（C） 2（D）319 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在20 设 其中 a2+c20，则必有( )（A）b=4d（B） b=一 4d（C） a=4c（D）a= 一 4c二、填空题21 22 23 24 25 设 a0， a1，且 则 p=_26 27 28 29 三、解答题解答应写出文字说
7、明、证明过程或演算步骤。30 已知 求 a,b 的值31 求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数32 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 (A 为常数)，求 (x)并讨论 (x)在 x=0 处的连续性33 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1=sinxn(n=1，2，)34 证明：(1)对任意正整数 n，都有 成立；(2)设 an=(n=1，2，) ，证明a n收敛35 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有36 37 38 39 考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
8、。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)连续，故 a+ebx0，因此只要 a0 即可再由可知 x一时，a+e bx 必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需 b0，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 原函数可表示为 F(x)=0xf(t)dt+C，且 F(x)=f(x) 当 F(x)为偶函数时，有 F(一 x)=F(x)，于是 F(一 x).(一 1)=F(x)，即一 f(一 x)=f(x)，也即 f(一 x)=一 f(x)，可见 f(x)为奇函数； 若 f(x)为奇函数，则 0xf(t)dt 为偶函数，从而 F(x)=0xf(t)dt+C 为偶函数，
9、可见 A 为正确选项本题也可以选取一些特殊的函数对其他选项进行排除【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 由于函数 f(x)在 x=0，x=1 点处无定义，因此是间断点且，所以 x=0 为第二类间断点； 所以 x=1为第一类间断点故应选 D【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 用赋值法求解，取符合题意条件的特殊函数计算，如 0xf(t)dt=|x|= 它是连续的偶函数，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可故用排除法可得正确选项为 B所以应选 B【知识模块】
10、函数、极限、连续6 【正确答案】 A【试题解析】 先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型函数在 x=0，x=1， 均无意义而且所以 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点，故应选 A【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 f(x)去判断，然后选出正确选项如取 f(x)=|x|， 但 f(x)在x=0 不可导，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=0，x=1 时,f(x)无定义，故 x=0，x
11、=1 是函数的间断点且所以x=0 是可去间断点，x=1 是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)在( 一，+) 内单调有界，且 xn单调所以f(x n)单调且有界故f(x n)一定存在极限，即 f(xn)一定收敛【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 B【试题解析】 因为可知|f(x)|1，因此 f(f(f(x)=1故选 B【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 D【试题解析】 A 项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则 B 项错误，是定式，不能用洛必达法则C 项错误，用洛必达法则求不存在，也不为，法则失效，不 能推
12、出原极限不存在，事实上该极限是存在的故选 D【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 D【试题解析】 取 xn=n，y n=0，显然满足，由此可排除 A、B若取 xn=0，y n=n，也满足，又排除 C，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 B【试题解析】 此类问题要逐一分析，按无穷小阶的定义： 对于：故 f(x)g(x)是(x 一a)的 n+m 阶无穷小； 对于：若 nm，故 f(x)/g(x)是(x一 a)的 nm 阶无穷小； 对于：例如，x0 时，sinx 与一 x 均是 x 的一阶无穷小，但 即 sinx+(一 x)是 x 的三阶无穷小 因此，正确，错误故选
13、 B【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 D【试题解析】 逐一分析，证明三项均成立 对于：对于：可直接证明 ,f1(x)一 g1(x)f 2(x)一 g2(x) (xa)故选 D【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 B【试题解析】 因此f(x)的定义域为 I=(一 1，+) 故 f(x)的连续区间是 J=(一 1，1)(1，+)【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以当 x0 +时， 是 x 的一阶无穷小， 是 x 的三阶无穷小， 是 x 的二阶无穷小，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 B【试题解析】 分别就当
14、|x|=1，|x|1，|x| 1 时，求极限 得出 f(x)的分段表达式所以，x=1 为 f(x)的第一类间断点，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 B【试题解析】 错误举例：设 f(x)=ex，则 f(x)=1 在 R上处处连续错误举例： 则(x) 2=9 在 R 上处处连续正确因为 f(x)在 R 上连续，而 (x)的取值必定在 R 上因此选 B【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 D【试题解析】 取 (x)=f(x)=g(x)=x，显然满足 (x)f(x)g(x)，且不存在，故 A、B 排除再取 (x)=f(x)=g(x)=1，同样满足 (x)f(x)g
15、(x)，且 ，可见 C 不正确，故选 D【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，由皮亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(12x)均为x 的一阶无穷小；而 1cosx 均为 x 的二阶无穷小，因此有【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【试题解析】 运用洛必达法则，则有【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 2【试题解析】 【
16、知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。30 【正确答案】 原式可改写成 由于该式成立，所以必有 即 a=9将 a=9 代入原式，并有理化得因此，b= 一 12，即 a=9，b=一 12【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 因为 r()=一 asin，ds= ，利用对称性可知，所求的心形线的
17、全长为【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 已知 (A 为常数)，则 f(0)=0,f(0)=A，并且由已知得(0)=0又因 根据导数的定义，有因此，(x)在 x=0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 (1)因为 0x 1 ，则 0x 2=sinx11 可推得0x n+1=sinxn1，n=1，2，则数列x n有界并且 ，(因当x0 时 sinxx)，则有 xn+1x n，可见数列x n单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在令 t=xn，则n，t0 而【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 先证明ln(1+x)x，x0令 f(x)=x
18、ln(1+x)由于 可知f(x)在0，+上单调递增又由于 f(0)=0，因此当 x0 时,f(x) f(0)=0也即 ln(1+x)x，x0 可知g(x)在(0，+)上单调递增 由于 g(0)=0，因此当 x0 时，g(x)g(0)=0 即因此数列a n是有界的由单调有界收敛定理可知，数列a n收敛【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 由条件知 于是有 f(1)=0 又因为在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小代换：当 x0 时， ln1+f(x+1)+3sin 2x一 f(x+1)+3sin2x，【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续37 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续38 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续39 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续
