1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列x n和y n满足 =0，则当 n时，y n必为无穷小量的充分条件是( )（A）x n是无穷小量（B） 是无穷小量（C） xn有界（D）x n单调递减2 以下 3 个命题： 若数列 un收敛于 A，则其任意子数列u ni必定收敛于A； 若单调数列 xn的某一子数列x ni收敛于 A，则该数列必定收敛于A； 若数列 x2n与x 2n+1都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)是偶函数，(x)是奇
2、函数，则下列函数( 假设都有意义 )中，是奇函数的是( )（A）f(x)（B） ff(x)（C） f(x)（D）(x)4 设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sinx)，则在区间(0， )内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数5 设在区间(，+)内 f(x)0，且当 k 为大于 0 的常数时有 f(x+k)= ，则在区间( ，+)内函数 f(x)是 ( )（A）奇函数（B）偶函数（C）周期函数（D）单调函数6 设 f(x)= ，则 ( )7 设 f(x)=u(x
3、)+v(x)，g(x)=u(x) v(x)，并设 与 都不存在，下列论断正确的是 ( )（A）若 不存在，则 必存在（B）若 不存在，则 必不存在（C）若 存在，则 必不存在（D）若 存在，则 必存在8 两个无穷小量比较的结果是 ( )（A）同阶（B）高阶（C）低阶（D）不确定二、填空题9 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_10 对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：100 x，log 10x100，e 10x， ，则其中最大的是_11 =_12 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤。13 14 15 (1)求函数 f(x)= 的表达式，x0 ；(2) 讨论函数 f(x)的连续性16 求17 求下列极限18 设 f(x)=x2+ax+b，证明：f(1) ，f(3)， f(5)中至少有一个不小于 219 求极限20 求极限21 求极限22 求极限23 求极限24 求极限25 求极限26 求极限27 求极限28 求极限 ，a i0，且 ai1，i=1 ，2，n，n229 求极限考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 是无穷小量，则 =0，故(B)正确若取
5、=0，且x n在 n时是无穷小量、有界量、单调递减，但y n不是无穷小量，排除(A)，(C) ，(D)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有u nA，则当 niN时，恒有 因此数列 也收敛于 A，可知命题正确对于命题，不妨设数列 xn为单调增加的，即 x1x2x n，其中某一给定子数列 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 niN 时，恒有由于数列x n为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在 ninni+1，有 从而 x n A 可知数列x
6、 n收敛于 A 因此命题正确对于命题 ，因，由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N1，N 2：当 2nN 1 时，恒有x 2nA；当 2n+1N 2 时，恒有x 2n+1A 取 N=maxN 1，N 2，则当 nN 时，总有x nA 因此 =A 可知命题正确故答案选择(D)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有g(x)=( x)=(x)=(x)=g(x)因此 (x)为奇函数，同理可得 f(x)，ff(x)， f(x)均为偶函数答案选(D)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 注意
7、在 内，sinx 是增函数，cosx 是减函数任取 x1，x 2，且 x1x 2，有 cosx1cosx 2，所以 sin(cosx1)sin(cosx 2)，即 f(x)是减函数；由于 sinx1sinx 2，所以 cos(sinx1)cos(sinx 2)，即 (x)是减函数【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x+2k)= =f(x)，故 f(x)是周期函数【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 C【试题解析】 令 ，当 x0 时可排除(A)；令 u(x)=v(x)= ，当x0 时
8、可排除(B)；令 ，当 x0 时可排除(D)【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 如 (x)= ，(x)=x ，当 x0 时，都是无穷小但不存在，故 (x)和 (x)无法比较阶的高低【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题9 【正确答案】 na【试题解析】 令 x=1，则 f(1)=f(1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)f(1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 nk 时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1
9、)=f(k1)+f(2)=(k1)a+2a=(k+1)a ，故对一切正整数 n，有 f(n)=na令 x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有f(n)=f(n)=(na)=na 所以对一切整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 当 x 充分大时，有重要关系：【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【
10、正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 本题同样考查分段函数的复合方法下面用解析法求解首先，广义化为 fg(x)= 由 g(x)的表达式知， 当 g(x)0 时，即2e x10 x0或x 210x0，而 2e x10 x0=xln2 x0 = x ln2， x 210 x0=1x1)x0= 0x1 当 g(x)0 时，即2e x10x0或x 210x0) ，而 2e x10x0=xln2x0=ln2 x0， x 210x0= x1 或 x1 x0=x 1【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 (1)所以 f(x)在0，+) 上连续【知识模块】 函数、极限、连续1
11、6 【正确答案】 因为【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 (1)当 x0 时，tanx x，(2)当 x0 时，sinx x，e xe x =ex (e2x1) 2x，故原极限=2(3)当 x0 时，ln(1+x 4)x 4，(4)这是“1 ”型极限，可用公式 来计算，事实上 lnu=ln1+(u1)u1(u1) 故原式= (5)这是“”型未定式极限，首先通分变成 型未定式，然后使用洛必达法则求极限 或利用等价无穷小ex1x(当 x0)代换，则(6)是“1 ”型极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换【知识模块】 函数、极限、连续18 【
12、正确答案】 用反证法设f(1)，f(3) ，f(5) 都小于 2.即f(1)=a+b+1 2，f(3) =3a+b+9 2，f(5) =5a+b+25 2，则f(1)2f(3)+f(5) f(1)+2f(3) +f(5) 2+22+2=8而事实上，f(1)2f(3)+f(5)=a+b+1-6a-2b-18+5a+b+25=8，与上面结论矛盾，故f(1)，f(3)，f(5)中至少有一个不小于 2【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知
13、识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令 t=，从而原式=【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 此题为 型未定式，若用洛必达法则，则连续使用完两次法则，又回到了原点，法则失败，正确的做法是先对式子恒等变形，分子分母同乘 ex ，【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 原极限=【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 设函数 y=sint，在 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件故【知识模块】 函数、极限、连续
