1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 ( )2 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 等于( )3 4 累次积分 可以写成( )5 设 g(x)有连续的导数， g(0)=0，g(0)=a0,f(a，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=( )6 设 f(x)为连续函数，F(t)= 1tdyytf(x)dx，则 F(2)等于( )（A）2f(2)（B） f(2)（C）一 f(2)（D）07 设有平面闭区域，D=(x，y)| 一 axa，xya ，D
2、1=(x，y)|0xa，xya，则=( )8 累次积分 01dxx1f(x，y)dt+ 12dy02-yf(x，y)dx 可写成( )（A） 02dxx2-xf(x，y)dy （B） 01dy02-yf(x，y)dx（C） 01dxx2-xf(x，y)dy（D） 01dy12-xf(x，y)dx 二、填空题9 设函数 f(u)可微，且 f(0)= ，则 z=f(4x2 一 y2)在点 (1，2)处的全微分 dz|(1,2)=_10 二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极小值为_ 11 函数 f(x， y)=x2y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6， x 轴和 y 轴
3、所围成的闭区域 D 上的最小值是_12 设 D=(x， y)|x2+y21，则13 设 z=(x+ey)x，则14 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对应价格 P 的弹性 Ep=02，则当需求量为10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加_元15 设函数 ，则 dz|(1,1)=_16 设连续函数 z=f(x，y)满足 则 dz|(0,1)=_17 设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) x=xy 确定18 设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y 确定，则19 设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xey 确定，则20 设 f(u，v)是二元可微函数三、解答题解
4、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1处取得极值 g(1)=1，求22 求 f(x，y)=23 计算二重积分24 求|z|在约束条件 下的最大值与最小值25 试确定常数 a 与 b，使得经变换 u=x+ay，v=x+by，可将方程，并求 z=z(z+ay，x+by)26 已知函数 f(u，v)具有连续的二阶偏导数,f(1 ，1)=2 是 f(u，v)的极值，z=f(x+y),f(x,y)，求27 设 z=f(x，y)，x=g(y， z)+ 其中 f，g， 在其定义域内均可微，求28 已知 =x
5、+2y+3，u(0，0)=1 ，求 u(x，y)及 u(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由29 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 x 一 y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域D 上的最大值与最小值30 设 =x2+y2 的解，求 u31 设函数 f(x)在0，1上有连续的导数， f(0)=1，且=(x，y)|0yt 一 x，0xt(0t1) ，求 f(x)的表达式32 计算二重积分 及 y 轴为边界的无界区域考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C
6、【试题解析】 按可微定义， f(x，y)在(0 ，0)可微题中 C 项即 A=B=0 的情形，因此可得出 f(x，y)在(0，0)可微故选 C【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分由题设可知， sinxy1，则 0y1，arcsinyx，故应选 B【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由累次积分 f(rcos，rsin)rdr 可知，积分区域 D 为由 r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为1
7、的圆可作出 D 的图形如图 43 所示该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域 D 为可见 A、B、C 均不正确，故选 D【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理知故应选C【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分的积分次序，得 F(t)= 1tdyytf(x)=1tdx1xf(x)dy =1t(x-1)f(x)dx 于是 F(t)=(t 一 1)f(t)，从而 F(2)=f(2)故选 B【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 将闭区间 D=(x，y)| 一 axa，xya按照直线 y=一 x 将其
8、分成两部分 D1 和 D2，如图 44 所示，其中 D1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，xy 关于 x 和 y 均为奇函数，因此在 D1 和 D2 上，均有 =0而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D1 积分不为零，在 D2 积分值为零因此故选项 A 正确【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 原积分域为直线 y=x，x+y=2 ，与 y 轴围成的三角形区域，故选C【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题9 【正确答案】 4dx 一 2dy【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由题干可
9、知 f x=2x(2+y2)，f y=2x2y+lny+1【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 一 64【试题解析】 根据题意可知， 得区域 D内驻点(2 ，1)，则有 f xx“=8y 一 6xy 一 2y2； f xy“=8x 一 3x2 一 4xy； f yy“=-2x2则A=一 6，B=一 4，C=一 8，有 ACB2=320，且 A0所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且 f(2，1)=4当 y=0(0x6)时，z=0；当 x=0(0y6)时，z=0；当 x+y=6(0y6)时，z=2x 3 一 12x2(0x6)，且令 解得 x=4则 y=2,f(4，2)=
10、一 64，且 f(2，1)=4,f(0，0)=0则 z=f(x，y) 在 D 上的最大值为 f(2，1)=4 ，最小值为 f(4，2)= 一64【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 2ln2+1【试题解析】 由 z=(x+ey)x，故 z(x，0)=(x+1) x，代入 x=1 得，【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 8000【试题解析】 本题考查弹性和微分的经济意义根据已知 收益函数为 R=pQ(p)；对收益函数做微分为当 Q=10000，dp=1 时，产品的收益会增加 dR=8000【知识模块】 多元
11、函数微积分学15 【正确答案】 (1+2ln2)dx+(一 1 一 2ln2)dy【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 2dx 一 dy【试题解析】 根据 以及函数 z 的连续性可知 f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为由可微的定义可知，f(x，y) 在点(0 ，1)处是可微的，且有 fx(0，1)=2,f y(0，1)= 一 1， 所以 dz|(0,1)=2dx 一 dy【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 22ln2【试题解析】 把点(1，2)代入(z+y) x=xy，得 z(1， 2)=0 在(z+y) x=xy 两边同时对x 求偏导数，有 将
12、 x=1，y=2 ，z(1，2)=0 代入得【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 2【试题解析】 在 z=e2x-3z+2y 的两边分别对 x，y 求偏导，z 为 x，y 的函数【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 一 e【试题解析】 将 x=0 代入方程 y=1 一 xey，得 y=1 方程两边对 x 求导，得 y=一ey 一 xeyyy(1+xe y)=一 ey，因此 【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 【试题解析】 利用求导公式可得【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 由于 g(x)在 x
13、=1 处取得极值 g(1)=1，可知 g(1)=0故【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 先求函数 ，的驻点，f x(x，y)=e 一x=0，f y(x，y)= 一 y=0，解得函数的驻点为 (e，0) 又 A=fxx“(e，0)=一1，B=f xy“(e，0)=0，C=f yy“(e，0)= 一 1，所以 B2 一 AC0，A0故 f(x，y)在点(e， 0)处取得极大值 f(e，0)=【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 积分区域如图 48 所示 D=D1D2，其中【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 |z|的最值点与 z2 的最值点一致，用拉格朗日乘数
14、法，作 F(x，y，z， ，)=z 2+(x2+9y2 一 2z2)+(x+3y+3z 一 5) 令【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 根据链式法则，有代入所给方程得：按题意，应取 14a+3a 2=0，14b+3b 2=0即 (13a)(1 一 a)=0，(13b)(1 一 b)=0其解分别为于是 z=(v)dv+(u)=(v)+(u)，其中 (u)为 u 的任意的可微函数(v)为 (v)的一个原函数 由于 与 的任意性，所以两组解其实是一样的【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 因为 =f1(x+y),f(x，y)+f 2(x+y),f(x，y)f 1(x，y)，
15、所以=f11“(x+y),f(x，y)+f 12“(x+y)，f(x ，y).f 2(x，y)+f 21“(x+y),f(x，y).f 1(x，y)+f22“(x+y)，f(x ，y).f 2(x，y).f 1(x，y)+f 2(x+t).f(x，y).f 12“(x，y)，又因为 f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，故 f1(1，1)=0,f 2(1，1)=0 ，因此 =f11“(2，2)+f12“(2，2).f 2(1，1)+f 21“(2，2).f 1(1，1)+f 22“(2，2).f 2(1，1).f 1(1，1)+f 2(2，2).f12“(1，1)=f 11“(2，2)+f
16、 2(2，2).f 12“(1，1)【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 由 z=f(x，y)，有 dz=f 1dx+f2dy【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 由 =2x+y+1，有 u(x，t)=x 2+xy+x+(y)，再结合 =x+2y+3，有 x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，(y)=y 2+3y+C，于是 u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C 又由 u(0，0)=1 得 C=1，因此 u(x，y)=x 2+xy+y2+x+3y+1【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 先求在 D 内的驻点，即令因此在 D 内只有驻点 相应的
17、函数值为 f(2，1)=4 再求 f(x，y)在 D 边界上的最值(1)在 x 轴上 y=0，所以 f(x， 0)=0(2)在 y 轴上 x=0，所以 f(0，y)=0(3)在 x+y=6 上，将 y=6 一 x 代入 f(x，y) 中，得 f(x,y)=2x 2(x 一 6)， f x=6x2 一 24x=0，得 x=0(舍)，x=4，y=6 一 x=2于是得驻点 相应的函数值 f(4，2)=x 2y(4-xy)|(4,2)=-64 综上所述，最大值为 f(2，1)=4 ，最小值为 f(4，2)=-64【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 *1 同理，将其代入原方程，则得 u”+u=r2，该方程的通解是 u=C 1cosr+C2sinr+r2 一 2，于是其中 C1，C 2 是任意常数【知识模块】 多元函数微积分学31 【正确答案】 根据已知，题中所示区域如图 49 所示则两边关于 t 求导可得 即 (t 一 2)f(t)+2f(t)=0，转化为求解微分方程(t 一 2)y+2y=0，满足初始条件 y|t=0=1分离变量并两边同时积分可得 lny=-2ln(t 一 2)+lnC，即 将初值条件代入可得C=4即 y=f(t)=【知识模块】 多元函数微积分学32 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学
