1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 交换积分次序 1edx0lnxf(x，y)dy 为( )（A） 0edy0lnxf(x，y)dx（B）（C） 0lnxdy1ef(x,y)dx（D）2 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)=xy+ 其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于( )（A）xy（B） 2xy（C）（D）xy+13 ,则积分域为( )（A）x 2+y2a2（B） x2+y2a2(x0)（C） x2+y2ax（D）x 2+y2ax(y0)4 设 f(x，y)在
2、D：x 2+y2a2 上连续，则（A）不一定存在（B）存在且等于 f(0，0)（C）存在且等于 f(0，0)（D）存在且等于5 设平面 D 由 x+y= x+y=1 及两条坐标轴围成，（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I16 设 D 为单位圆 x2+y21，则( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I3I 2I 1（D）I 1I 3 I2二、填空题7 设8 设 其中函数 f(u)可微，则9 将 01dy0yf(x2+y2)dx 化为极坐标下的二次积分为_ 10 D 是圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域，则11
3、积分12 交换二次积分的积分次序： -10dy21-xf(x，y)dx=_13 积分14 D 是顶点分别为(0，0)，(1，0) ，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则15 交换积分次序16 设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设18 求二重积分 其中 D=(x，y)|0x2，0y219 设函数 f(u)具有二阶连续导数，函数 z=f(exsin y)满足方程 =(z+1)e2x，若 f(0)=0，f(0)=0 ，求函数 f(u)的表达式20 计算二重积分 其中21 设 f， 有二阶连续导数22 设 z=f(x2
4、一 y2，e xy)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求23 求下列积分 (2)设函数 f(x)在0，1 连续且 01f(x)dx=A，求 01dxx1f(x)f(y)dy24 计算二重积分 其中积分区域 D 由 y 轴与曲线25 计算积分26 计算二重积分 其中 D=(x，y)|0x1，0y127 设 D=(x， y)|x2+y2 x0，y0 ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数计算二重积分28 设区域 D=(x,y)|x2+y21，x0，计算二重积分29 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0,其中 D=(x，y)|0x1，0y
5、1，计算二重积分fxy“(x，y)dxdy 30 设 D=(x， y)|axb， cyd，若 fxy“与 fyx“在 D 上连续，证明：31 设 D=(x， y)|(x 一 1)2+(y 一 1)2=2，计算二重积分32 计算 其中 D=(x，y)|0yminx，1 一 x33 求二重积分 其中 D 是由曲线 r=2(1+cos)的上半部分与极轴所围成的区域34 计算考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 交换积分次序得 故应选 D【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 C【
6、试题解析】 等式 f(x，y)=xy+ 两端积分得故选 C【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 r=acos 知 r2=arcos，即 x2+y2ax(a0)，故选 C【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理知 故应选 C【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 显然在 D 上 0x+y1，则 ln(x+y)30,0sin(x+y) 3(x+y) 3，从而有【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x3 是 x 的奇函数，y 3 是 y的奇函
7、数，则 由于在 D 内|x|1，|y|1，则x6+y6x4+y4，则 从而有 I1I 3I 2故选D【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 设 ，则 z=uv，所以【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 【试题解析】 如图 45 所示，则有【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 【试题解析】 圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域用极坐标表示为【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 12dx01-xf(x,y
8、)dy【试题解析】 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D：一 1y0，1 一yx2，如图 46 所示则有【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 1 一 sin1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 【试题解析】 积分区域可以表示为 D=(x，y)|0y1+x，0x1，则利用换元法，令 1+x=t，x0，1时，t1，2 ，则【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，积分区域如图 47 所示，则有【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明
9、过程或演算步骤。17 【正确答案】 将上式分别代入可得【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 曲线 xy=1 将区域 D 分成两个区域 D1 和 D2+D3，如图 410 所示，继续对区域分割，【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 此方程对应的齐次方程 f”(u)一 f(u)=0 的通解为 f(u)=C 1eu+C2e-u，方程 f”(u)一 f(u)=1 的一个特解为 f(u)=一 1 所以方程 f”(u)一 f(u)=1 的通解为 f(u)=C1eu+C2r-u 一 1，其中C1，C 2 为任意常数由 f(0)=0,f(0)=0 得 C1=C2= 从而函数 f(u)的
10、表达式为【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 将极坐标转化为直角坐标可得积分区域如图 4 一 11 所示 D=(x，y)|0x1，0yx ，【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 先求 由于 f(x)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量，(xy)是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由于 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 =2xf1+yexyf2； =一 2yf1+xexyf2； =2xf11“.(一 2y)+f12“.xexy+exyf2+xyexyf2+yexyf21“.(
11、一 2y)+f22“.xexy=一 4xyf11“+2(x2 一 y2)exyf12“+xye2xyf22“+exy(1+xy)f2【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 (2)令(x)=x1f(y)dy，则 (x)=一 f(x)，于是【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 引入极坐标(r，) 满足 x=rcos， y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 D 是正方形区域如图 412 所示因在 D
12、 上被积函数分块表示欲用分块积分法，需用 y=x 将 D 分成两块： D=D 1D2，D 1=Dyx，D 2=Dyx则【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 令 D1=(x，y)|0x 2+y21，x0， y0，【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 积分区域 D 如图 4 一 13 所示因为区域 D 关于 x 轴对称，函数f(x，y)= 是变量 y 的偶函数，函数 g(x，y)= 是变量 y 的奇函数则取 D1=Dy0,【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 将二重积分 转化为累次积分可得首先考虑 01xyfxy“(x，y)dx，注意这里是把变量 y 看做常数的
13、，故有 01xyfxy“(x,y)dx=y01xdfy(x,y) =xyfy(x，y)| 01-01yfy(x，y)dx =yfy(1，y)一 01yfy(x， y)dx由 f(1，y)=f(x，1)=0 易知 fy(1，y)=f(x ，1)=0故 01xyfxy“(x,y)dx=一 01yfy(x,y)dx，对该积分交换积分次序可得： 一 01dy01yfy(x,y)dx=一 01dx01yfy(x,y)dy 再考虑积分 01yfy(x，y)dy，注意这里是把变量 x 看做常数的，故有 01yfy(x，y)dy=01ydf(x,y)=yf(x,y)|01f(x,y)dy=一 01f(x,y)dy 因此【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学31 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学32 【正确答案】 积分区域 D 如图 414 所示，在极坐标中【知识模块】 多元函数微积分学33 【正确答案】 积分区域 D 如图 415 所示，D 的极坐标表示是： 0，0r2(1+cos)，于是【知识模块】 多元函数微积分学34 【正确答案】 令【知识模块】 多元函数微积分学
