1、考研数学三（微积分）模拟试卷 166 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（A）C 1(x) 2(x)（B） C1(x) 2(x)（C） C1(x) 2(x) 2(x)（D） 1(x) 2(x)C 2(x)2 设 D 是 xOy 平面上以(1，1)，(一 1，1) ，(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，D 1为区域 D 位于第一象限的部分，则 (xycosxsiny)d 等于( )（A）2 cosxsinydxdy（B） 2 xydxdy
2、（C） 4 (xycosxsiiny)dzdy（D）03 设 1，则在 xa 处( ) （A）f(x)在 xa 处可导且 f(a)0（B） f(a)为 f(x)的极大值（C） f(a)不是 f(x)的极值（D）f(x)在 xa 处不可导4 设 f(x)，g(x)(axb) 为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axb 时，有 ( )（A）f(x)g(b) f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)二、填空题5 _6 01sin2xtdt_7 _8 设 yy(x ，z)是由方程
3、 exyz x 2y 2z 2 确定的隐函数，则 _9 幂级数 的收敛域为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求下列极限：11 12 13 设 f(x) sinx，求 f(x)的间断点及分类 14 设对一切的 x，有 f(x1)2f(x) ，且当 x0，1时 f(x)x(x 21)，讨论函数f(x)在 x0 处的可导性15 证明：当 0x1 时，(1x)ln 2(1x) x 216 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 存在。证明：(1)存在 (1，2) ，使得 (2) 存在 (1，2)，使得 12f(t)dt( 一 1)f()l
4、n217 求 18 19 设 f(x)为连续函数， (1)证明： 0(sinx)dx 0inxdx f(sinx)dx；(2)证明： 02f(sinx)dx4 f(sinx)dx；(3)求 20 设一抛物线 yax 2bx c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c ，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小21 设 yy(x) ，z z(x)是由方程 zxf(x y)和 F(x，y，z)0 所确定的函数，其中f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 22 计算 I y2d，其中 D 由 X2，y2，X 轴及曲线 x 围成23 设级数 收敛，又 anbncn(n1，2
5、，) 证明：级数 bn 收敛24 将 f(x)lnx 展开成 x 2 的幂级数 25 求微分方程 y2y3y(2x1)e x 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 166 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为方程 yP(x)y Q(x)的两个线性无关解，所以1(x) 2(x)为方程 yP(x)y0 的一个解，于是方程 yP(x)yQ(x)的通解为C1(x) 2(x) 2(x)，选 (C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 令 A(1，1)，B(0，1)，C( 1，1)，D(1，0)
6、，E(1，1)，记三角形OAB ，OBC，OCD，ODE 所在的区域分别记为 D1，D 2，D 3，D 4，【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 1，根据极限的保号性，存在 0，当 0xa时，有 0，从而有 f(x)f(a) ，于是 f(a)为 f(x)的极大值，选(B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)g(x) f(x)g(x) 0 得 从而 为单调减函数，由 axb 得，故 f(x)g(b)f(b)g(x)，选(A)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时， 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】
7、 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 e xyz x 2y 2z 2 两边对 x 求偏导得 exyz ，从而【知识模块】 微积分9 【正确答案】 (0，4)【试题解析】 令 x2t，对级数 ，所以收敛半径为 R2，当 t2 时，的收敛域为(2,2) ，于是原级数的收敛域为(0，4)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 (6)当 x0 时，1 ，由 sinxx(x 2)，ex1x (x 2)得 sinxe x1 ，故 (7)由 ln(1x)x 2(x2)得 ln(12x) 2x
8、2x 2(x 2)，于是当 x0 时，arctan2x2xln(12x)2x 4【知识模块】 微积分11 【正确答案】 因为当 x0 时，【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 显然 x0 及 x1 为 f(x)的间断点 则 x0 为 f(x)的可去间断点； 因为 f(10)f(10)，所以 x1 为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 微积分14 【正确答案】 当 x一 1，0 时，f(x) f(x1) (x1)(x 22x) ，因为 f (0)f (0)，所以 f(x)在 x0 处不可导【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)x 2(1 x
9、)ln 2(1x),f(0) 0；f(x)2xln 2(1x)2ln(1x) ， f(0)0；f(x)2 0(0x1)，由 得 f(x)0(0x1)；再由 得 f(x)0(0x 1)，故当 0x1 时， (1x)ln 2(1x)x 2【知识模块】 微积分16 【正确答案】 (1)令 h(x)lnx，F(x) 1xf(t)dt，且 F(x)f(x)0，由柯西中值定理，存在 (1,2)，使得 (2)由 得 f(1)0，由拉格朗日中值定理得 f()f()f(1)f()(1) ，其中 1，故 12f(t)dt(1)f()ln2 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答
10、案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 (1)令 I 0xf(sinx)dx，则 I 0xf(sinx)dx 0(t)f(sint)(dt) 0(t)f(sint)dt 0(x)f(sinx)dx 0f(sinx)dx 0xf(sinx)dx 0f(sinx)dxI则 I 0xf(sinx)dx (2) 02f(sinx )dx f(sinx)dx2 0f(sinx)dx2 0f(sinx)dx4 f(sinx)dx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c0，又曲线过点(1，2)，所以ab2，b 2a 因为 a0，所以 b0，抛物线与 x 轴的两个交点为0， ，所
11、以 令 S(a)0，得 a4，从而 b6，所以当a4，b 6，c 0 时，抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 微积分21 【正确答案】 z xf(x y)及 F(x，y，z)0 两边对 x 求导数，得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由 anbncn，得 0bna ncna n因为 (cna n)收敛，根据正项级数的比较审敛法得 (bna n)收敛，又 bn(b na n)a n，则 bn 收敛【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 特征方程为 22 30，特征值为 11， 23，则y 2y3y0 的通解为 yC 1exC 2e3x 令原方程的特解为 y0x(axb)e x，代入原方程得 ，所以原方程的通解为 yC 1ex C2e3x (2x2x)e x【知识模块】 微积分
