1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( ) （A）F Z(z)=maxFx(z)，F Y(z)（B） FZ(z)=minFx(z)，F Y(z)（C） FZ(z)=1 一1 一 Fx(z)1 一 FY(z)（D）F Z(z)=FY(z)2 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 Fx(x)，F Y(y)，则 Z=maxX，Y)的分布函数为( ) （A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(Z)（B
2、） FZ(z)=FX(z)FY(z)（C） FZ(z)=maxFX(z)，F Y(Z)（D）F Z(z)=FY(z)3 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）X+Y 一定服从正态分布（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立（D）若 X 与 Y 相互独立，则 X 一 Y 服从正态分布4 设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（A）X，Y 一定相互独立（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X，Y 不一定相互独立（D）X+Y 服从一维正态分布5 设随机变量 X，Y 相互独立，且 xN(0， )，yN(1 ，
3、 )，则与 Z=Y 一 X 同分布的随机变量是( ) （A）X 一 Y（B） X+Y（C） X 一 2Y（D）Y 一 2X二、填空题6 设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则P(0Z1)=_7 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 FX(x)= FY(y)=令 U=X+Y，则 U 的分布函数为_8 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y)= 则 P(X5|Y3)=_9 设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，P(X0)=P(Y0)= ，则Pmax(X，Y)0)=_10 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 ，且 E(X)
4、=0，E(Y)=1 ，E(X 2)=4，E(Y 2)=10，则 E(X+Y)2=_11 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 则 P|X 一 E(X)|2D(X)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，且 X1 (i=1，2，3，4)，求 X= 的概率分布12 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= ， i=1，2，3设随机变量U=maxX，Y，V=minX ，Y13 求二维随机变量(U，V)的联合分布；14 求 Z=UV 的分布；15 判断 U，V 是否相互独立？16 求 P(U=V)17 设随机变量
5、X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y) 的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处17 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x， y)=18 求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；19 判断随机变量 X，Y 是否相互独立；20 求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数21 设随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= (1)求 P(X2Y)；(2)设 Z=X+Y，求 Z 的概率密度函数22 设随机变量 XN(， 2)，YU 一 ，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求fZ(z)22 设随机变量 XNU(0，1)，
6、在 X=x(0x1)下， YU(0，x)23 求 X，Y 的联合密度函数；24 求 Y 的边缘密度函数25 设随机变量 X，Y 相互独立，且 又设向量组1， 2， 3 线性无关，求 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率26 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，Y P(2)，求 Pmax(X，Y)0)及Pmin(X，Y)027 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X YE(4)，令 U=X+2Y，求 U 的概率密度考研数学三（概率统计）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=
7、Pmin(X，Y)z=1 一 Pmin(X，Y)z =1 一P(Xz，Yz)=1 一 P(Xz)P(Yz) =1 一1 一 P(Xz)1 一 P(Yz)=1 一1 一FX(z)1 一 FY(z)，选(C)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=Pmax(X，y)z)=P(Xz ，yz) =P(Xz)P(yz)一 FX(z)FY(z)，选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，y 的任意线性组合也服从正态分布，选(D) 【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 C【试题解析】 只有当(X，Y)
8、服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对；若X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C) 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 Z=Y 一 X N(1，1)，因为 X 一 yN( 一 1，1)，X+Y N(1 ，1)，所以选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 1 一【试题解析】 由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得因为 X，Y
9、 相互独立，所以 FZ(z)=P(Zz)=1 一 P(Zz)=1 一 Pmin(X，Y)z)=1 一 P(Xz，Yz)=1 一P(Xz)P(Yz)=1 一1 一 P(Xz)1 一 P(Yz)=1 一1 一 FX(z)1 一 FY(z)于是P(0Z1)=F Z(1)一 FZ(0)=1 一【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 F U(u)=P(UM)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U(u)=0；当 0u1 时，FU(u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu)=P(X=0)P(Yu)=当 1u2 时，F U(u)=P(X=0，Yu)+P(X=1，Yu 一 1)当 u2
10、时，F U(u)=1所以 FU(u)=【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 P(X 5|Y3)=【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 令X0=A，Y0=B ，则有故 Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)0=1 一 P(X0，Y0)=1 一 =P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 18【试题解析】 D(X)=E(X 2)一E(X) 2=4，D(Y)=E(Y 2)一E(Y) 2=9，D(X+Y)D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=4+9+4=17,则 E(X+Y)2=D(X+Y)+E(X+Y)2=1
11、7+1=18【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 =X1X4 一 X2X3，令 U=X1X4，V=X 2X3，且U，V 独立同分布P(U=1)=P(X 1=1，X 4=1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为一 1，0，1P(X= 一 1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=01344，P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=016084=01344，P(X=0)=1 一 201344=07312，于是 X【知识模块】 概率
12、统计【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 由于 X，Y 相互独立，所以 P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=i)P(Y=i)= ，i=1，2 ，3；P(U=2，V=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)= P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)= P(U=3，V=2)=P(X=3 ，Y=2)+P(X=2 ，Y=3)= P(U=1，V=2)=P(U=1 ，V=3)=P(U=2，V=3)=0 所以 (U，V)的联合分布律为【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 P(Z=1)=P(UV=1)=P(U=1，V=1)= P(2=2)=P(UV=2)=
13、P(U=1，V=2)+P(U=2，V=1)= P(2=3)=P(UV=3)=P(U=1，V=3)+P(U=3，V=1)= P(Z=4)=P(UV=4)=P(U=2，V=2)= P(Z=6)=P(UV=6)=P(U=2，V=3)+P(U=3，V=2)= P(Z=9)=P(UV=9)=P(U=3，V=3)= 所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 由于 P(U=1)=P(X=1，Y=1)= P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=1)+P(X=1 Y=2)+P(X=1 ，Y=3)= 而 P(U=1)P(V=1)=P(U=1，V=1)= ，所以
14、 U，V 不相互独立【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 P(U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2 ，V=2)+P(U=3V=3)=【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 由 P11+p21=P1 得 P11= 因为 X，Y 相互独立，所以 P1P1=P11，于是 P1= 由 p1p2=p12 得 p2= ，再由 p12+p22=p2 得 p22= 由 p11+p12+p13=p1 得p13= ，再由 p1p3=p13 得 p3= 由 p13+p23=p3 得 p23= ，再由 p1+p2=1 得 p2=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 f X(x)=
15、一 +f(x，y)dy当 x0 时，f X(x)=0；当 x0 时，f X(x)=+f(x，y)dy= 0+2e 一(x+2y) dy=e 一 x0+e 一 2yd(2y)=e 一 x，则 fX(x)= fY(y)=f(x，y)dx，当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，f Y(y)=0+2e 一(x+2y)dx=2e 一 2y0+e 一 xdx=2e 一 2y，则 fY(y)=【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 因为 f(x，y)=f X(x)fY(y)，所以随机变量 X，Y 相互独立【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 F Z(z)=P(Zz)=P(X+2Yz)= 当 z
16、0 时，F Z(z)=0；当 z0 时，【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 因为 XN(， 2)，YU 一 ，所以 X，Y 的密度函数为又 X，Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 XU(0，1)，所以 fX(x)= 又在X=x(0x1)下，YU(0，x)，所以 fY|X= f(x，y)=f X(x)fY|X=【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 f Y(Y)=一 +f(x，y)dx，当 y0 或 y1 时，f Y(y)=0；当 0y1 时，fY(y)=【知识模块】
17、概率统计25 【正确答案】 令 k1(1+2)+k2(2+X3)+k3Y1=0，整理得(k 1+Yk3)1+(k1+k2)2+Xk23=0 因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 又1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即即 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的充分必要条件是 XY=0注意到 X， Y 相互独立，所以 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率为P(XY=0)= +P(X=1，Y=0)+P(X=0 ，Y=0)=P(X=0)+P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=0)= 【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 Pmax(X，Y)0=1
18、 一 Pmax(X，Y)=0=1 一 P(X=0，Y=0) =1一 P(X=0)P(Y=0)=1 一 e 一 1e 一 2=1 一 e 一 3 Pmin(X，Y)0=1 一 Pmin(X，Y)=0，令 A=X=0，B=Y=0，则min(X，Y)=0)=A+B， 于是 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =e 一 1+e 一 2 一 e 一 1e 一 2=e 一 1+e 一 2 一 e 一 3， 故Pmin(X，Y0)=1 一 e 一 1 一 e 一 2+e 一 3【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 F U(u)=P(Uu)=P(X+2Yu)=P(X=1)P(X+2Yu|X=1)+P(X=2)P(X+2Yu|X=2)【知识模块】 概率统计
