1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电。以 E 表示事件“电炉断电”，而 T1T2T3T4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=（ ）（A）T 1t0（B） T2t0（C） T3t0（D）T 4t02 设 A，B 为随机事件，0P（A）1，0P （B ）1，则 A，B 相互独立的充要条件是（ ）3 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=
2、掷第二次出现正面 ， A3=正反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件（ ）（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立4 假设 F（x）是随机变量 X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ ）（A）如果 F（a）=0，则对任意 xa 有 F（x）=0（B）如果 F（a）=1 ，则对任意 xa 有 F（x）=1（C）（D）5 设随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2），其分布函数为 F（x），则有（ ）（A）F（+x）+，（ 一 x）=1（B） F（x+）+F（x 一 ）=1（C
3、） F（+x）+F（ 一 x）=0（D）F（x+）+F（x 一 ）=06 设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P（1）分布，则 PX=1|X +Y=2的值为（ ）7 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，其分布函数分别为则 X1+X2的分布函数 F（x）=（ ）8 已知随机变量 X 与 y 的相关系数大于零，则（ ）（A）D（X+Y）D（X）+D （Y）（B） D（X+Y）D（X ）+D （Y）（C） D（X 一 Y）D（X）+D（Y）（D）D（XY）D（X）+D （Y）9 已知随机变量 X 服从标准正态分布，Y=2X 2+X +3，则 X 与 Y（ ）（A）不相关且相互独立（B）不相关
4、且相互不独立（C）相关且相互独立（D）相关且相互不独立10 设 X1，X 2，X m 是取自总体 N（0，1）的简单随机样本，记（A）0（B） 1（C） 2（D）4二、填空题11 在区间（0，1）中随机地取出两个数，则“两数之积小于 ”的概率为_。12 已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=P1，0= ，设A=max（X， Y）0，B=max （X，y）0，min（X ，Y ）0 ，C=max（X ， Y）0，min （X，Y）0 ，则 P（A ）=_ ，P（B）=_， P（C）=_。13 已知随机变量 Y 服从0，5上的均匀分布，则关于 x 的一元二次方程4x2+4Yx+Y+
5、2=0 有实根的概率 p=_。14 已知 X 的概率密度 f（x）= ，aX+b N （0，1）（a 0），则常数A=_，a=_，b=_。15 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 N（； 2），则 P max（X，Y ）P min（X，Y）=_。16 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为则 X2 和 Y2 的协方差 Cov（X 2，Y 2）=_。17 设二维随机变量（X，Y）服从 N（， ， 2， 2；0），则 E（XY 2）=_。18 设随机试验成功的概率 p=020现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 与 32 之间的概率 =_。（3）=09987， （
6、1）=08413 ）19 设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t满足 PXt=1（0 1）。若已知 P|X|x=b（b0），则 x=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 P（A）0，P （B）0，将下列四个数：P（A），P（AB），P（AB），P （A）+P（B），按由小到大的顺序排列，用符号“”联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。21 设连续型随机变量 X 的分布函数 F（x）= 求：（）A 和 B；（）X 的概率密度 f（x）。22 设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= 令随机变量（）求 Y 的分布函数；（ ）求概率 PXY。23 设
7、随机变量 X 在 1，2，3 中等可能地取值，随机变量 Y 在 1X 中等可能地取值。求：（）二维随机变量（X，Y）的联合分布律及边缘分布律；（）求在 Y=2 的条件下 X 的条件分布。24 设（X，Y）的联合分布函数为其中参数 0，试求 X 与 Y 的边缘分布函数。25 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度。26 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品。从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：（
8、）乙箱中次品件数的数学期望；（）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。27 设 X1，X 2，X n（n2）为取自总体 N（0，1）的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi ，i=1 ， 2，n。求：（）Y i 的方差 D（Y i），i=1，2 ， n；（）Y 1 与 Yn 的协方差 Cov（Y 1，Y n）。28 设总体 X 的概率密度为 其中 i 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量。29 设 X 服从a，b上的均匀分布， X1，X 2，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量。考研数学
9、三（概率论与数理统计）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 T1T2T3T4，所以T 1t0 T2t0 T3t0 T4t0。因此，当有两个温控器显示温度大于等于 t0 时，E 发生，即当T 3t0和Tt 0发生时，E发生。又因为Tt 0发生时，Tt 0必发生，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 0P（A）1，0P（B） 1，所以 A 与 B 相互独立=1，正确选项是C。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 P（A 1）=P（A 2
10、）= ，且 A1 与 A2 相互独立。由于 A3=A2，A 4=A1A2，所以故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 F（x）是单调不减且 0F（x）1，F（x）=PXx，因此选项 A、B、C 都成立，而选项 D 未必成立，因此选 D。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 =2e2。PX=1，X+Y=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1=e 1e 1=e2。所以PX=11X +Y=2= 故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【
11、试题解析】 根据题意知 X1 为离散型随机变量，其分布律为F（x）=PX 1 + X2 X=PX1=0PX1+X2x|X1=0 +PX1=1PX1+X2x|X1=1故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 根据公式 D（XY）=D（X）+D（Y） +2Cov（X，Y）确定正确选项。由于 X 与 Y 的相关系数 Cov（X，Y ）0。所以 D（XY） =D（X）+ D（Y）2Cov（X，Y） D（X ）+ D（Y）。应选D。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 通过计算 Cov（X，Y）来判定。由于 XN （0，1），所以 E（X
12、）=0， D（X ）=E（X 2）=1，E（X 3）=0，E（XY）=E（X）（2X 2+X+3）=2E（X 3）+E（X 2）+3E（X）=1，Cov（X，Y）=E（XY）E（X ）E（Y ）=10 X 与 Y 相关 X 与 Y 不独立，应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 +1）（S 2+1）=E（ +1）E（S 2+1）=1（1+1）=2 。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 （1+ ln2）【试题解析】 记（0，1）中任取的两个数为 X，Y，则（X，Y）=（x，y）10 x 1，0yl，n 为基本事件全体，并且取 n 中任何
13、一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，如图 312 所示，事件【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率。由于 A=max（X，Y）0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以根据全集分解式知：A= max（X，Y）0=max（X ，Y ）0，min（X ，Y ）0+max（X，Y）0 ，min （X，Y）0=C+X0，y0，故 P（C）=P（A）一PX0，Y0=【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 已知 Yf（x）= 所以所求的概率为 p=P方程有实根=P0=P16
14、Y 2 一 16（Y+2）0=P16（Y 2）（Y+1 ）0=P（Y2 ）（Y一 1） =PY2+PY一 1【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 0【试题解析】 Pmax（X ，Y）Pmin（X，Y）=1Pmax（X ，Y）1Pmin（X，Y）= P max（X，Y）+P min（X，Y）因为X 与 y 均服从正态分布（， 2），所以 PX= 故Pmax（X，Y）一 Pmin（X，Y）=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 002【试题解析】 由 X 和 Y 的联合概率分布得于是有E（X 2） =1 205
15、=05， E（Y 2） =1206=0 6，E（X 2Y2） =120 28=028，所以 Cov（X 2，Y 2）=E （X 2Y2）E（X 2）E（Y 2） =028030 =002。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 3+2【试题解析】 由于 =0，根据二维正态分布的性质可知随机变量 X，Y 独立，所以 E（ XY2）=E（X）E（Y 2）。 已知（X ，Y）服从 N（，； 2， 2；0），则 E（ X）=，E （Y 2）=D（Y）+E 2（Y）= 2+2，所以 E（XY 2）=（ 2+ 2）=3+2。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 084【试题解析】 令
16、 X=“在 100 次独立重复试验中成功的次数”，则 X 服从参数为（n，p）的二项分布，其中 n=100，p=020，且根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量 近似服从标准正态分布N（0，1）。因此试验成功的次数介于 16 和 32 之间的概率 =P16X32=（3）（1）=（3）1（1）=0 998 7（10841 3）=084。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 根据 t 分布的对称性以及 b0，可知 x0。所以 PXx=1PXx=1 根据题干 “t满足 PXt=1 一（0 1）”可知，x=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证
17、明过程或演算步骤。20 【正确答案】 A、AB、AB 之间的所属关系为 B。P（A）=P（A B）成立的条件是 A=AB，即 B A。P（ AB）=P （A ）+P（B）成立的条件是 P（ AB）=0，即 AB= 。【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 （）因 X 是连续型随机变量，所以分布函数 F（x）连续，故F（a0）=F（a），【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 （）根据题意可知随机变量 y 的取值区间为1，2，Y 的分布函数为 F（y） =PYy。当 y1 时，F （y）=0 ；当 y2 时，F （y）=1；当1y2 时，F （y）=PYy=Py1+P1 Yy
18、=PX2+P1Xy所以 Y 的分布函数为（）根据概率的性质，可得 PXY=1PXY=1PX2=1【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 （）由题意可知 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0由乘法公式，可得所以X， Y的联合分布律为进一步得到边缘分布（）在 Y=2 的条件下 X 可能的取值为 2，3，因此从而得到在 Y=2 条件下随机变量 X 的条件分布为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 当 x0 时，F X（x）=PXx=F（x，+）=1e x；当 x0 时，FX（x）=0，所以关于 X 的边缘分布函数为 同理，关于 y 的边缘分布函数为【知识模块
19、】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设先后开动的两台自动记录仪无故障工作的时间分别为 X1 与X2，则 T=X1+X2，X 1，X 2 的密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变量之和的卷积公式，可得 fT（t）= +f（x）f（t 一 x）dx=0tt5e5x5e 5（tx） dx=25te5t（t0）。从而其概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 （）x 的可能取值为 0，1，2，3，所以 X 的概率分布为（）设 A 表示事件“ 从乙箱中任取一件产品是次品”，由于X=0，X=1，X=2，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计2
20、7 【正确答案】 根据题设，知 X1，X 2，X n（n2）相互独立，且 E（X i）=0，D（X i）=1 （i=1，2，n），（）因为已知 X1，X 2，X n（n2）相互独立，【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 总体 X 的数学期望是 E（X）= +xf（x）dx= 01（+1）x +1dx=令 得到参数 的矩估计量为 设 x1，x 2，x n 是相对于样本 X1，X 2，X n 的一组观测值，所见似然函数为当 0 x i 1（i=1 ，2， 3，n）时， L 0 且 ln/=nln（0 +1）+ 令lnxi=0，解得 的极大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设 X 的样本观测值为 x1，x 2， ，x n，则似然函数显然 0，且 ba 越小 L值越大，但是bx i，i=1， ，n=bmax （x 1，x 2，x n） ，同理axi，i=1，n=amin（x 1，x 2，x n），所以只有当 b=maxxi，a=minxi时，L 才达到最大值，所以 a，b 的最大似然估计值为最大似然估计量是【知识模块】 概率论与数理统计
