1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的分布函数 F(x)只有两个间断点，则( )（A）X 一定是离散型随机变量（B） X 一定是连续型随机变量（C） X 一定不是离散型随机变量（D）X 一定不是连续型随机变量2 设 X 的分布函数为 F(x)，则在下列函数中，仍为分布函数的是( )（A）F(2x1)（B） F(1 一 x)（C） F(x2)（D）1F(x)3 设 X 是连续型随机变量，其分布函数为 F(x)若数学期望 E(X)存在，则当x+时，1F(x)是 的( )（A）低阶无穷小（B）高阶
2、无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小4 假设 X 是只有两个可能值的离散型随机变量，y 是连续型随机变量，且 X 和 y相互独立，则随机变量 X+Y 的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰好有一个间断点（C）是连续函数（D）恰好有两个间断点5 假设随机变量 XN(a， 4)，YN(b，9)记 p1=P(Xa+2)，p 2=P(Yb+3)，则( )（A）对于任意 a 和 b，有 p1=p2（B）对于任意 ab，有 p1p2（C）对于任意 a 和 b，有 p1p 2（D）对于任意 ab，有 p1p 26 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布是圆 D=(x，y)x 2+y2r2上的均匀
3、分布(r1)，则( )（A）X 服从均匀分布（B） X 与 Y 之和服从均匀分布（C） Y 服从均匀分布（D）Y 关于 X=1 的条件分布是均匀分布7 设 XN(2 ， 2)，其分布函数为 F(x)，则对于任意实数 a，有( )（A）F(a)+F(一 a)=1（B） F(a)+F(a)1（C） F(a)+F(一 a)1（D）F(2+a)+F(2 一 a)=18 设随机变量 X 与 y 相互独立且均服从标准正态分布 N(0，1)，则( )9 设 XN( 1， 12)，YN( 2， 22)，则( )（A）X+yN( 1+2， 12+22)（B） XYN( 12， 12 一 22)（C） X 与 Y
4、 不相关和 X 与 Y 相互独立等价（D）X+Y 可能不服从正态分布二、填空题10 10 件产品中有 4 件次品，现随机地逐个进行检查，直到 4 件次品均被查出为止，则不连续出现 2 个次品的概率为_11 设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，则随机变量 Y=n 一 X 服从的分布为_12 已知 XN(， 12)，YN(2 ， 22)，X 与 Y 相互独立，而且 P(XY1)= ，则 =_13 设随机变量 X 与 Y 相互独立且均服从正态分布 N(2， 2)，而且 P(X一 1)= 则 Pmax(X，Y)2，min(X，Y)一 1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14
5、 设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，试求 k 使得概率 P(X=k)为最大15 设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)=的概率密度 g(y)16 设随机变量 XN(0，1)，求 Y=maxX，X 2的概率密度 f(y)17 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=(1)求 Y 的分布函数； (2)求概率 PXY18 设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，而且 tan(Y2)=e X，求 Y 的概率密度19 设随机变量 X 的分布函数 FX(x)为严格单调增加的连续函数，Y 服从0，1上的均匀分布，证明：随机变量 Z=FX1(Y)的分布函数与 X 的分布函数相同20 设
6、随机变量 X 的密度函数为 Y=X2 一 2X 一 5，试求 Y 的密度函数和 Cov(X，Y)21 将一枚均匀的硬币接连掷 5 次，结果反面至少出现了一次，试求：(1)正面出现次数 X 的概率分布；(2)正面出现的次数与反面出现的次数之比 Y 的概率分布22 设 PX0， Y0)= ，求 Pmax(X，Y)023 袋中有 5 个白球、1 个黑球和 4 个红球，用非还原方式先后从袋中取出两个球考虑随机变量 试求 X1 和 X2 的联合概率分布24 假设随机变量 X1，X 2，X 3 相五独立，且有相同的概率分布，PX K=0=q，PX K=1=p，其中 p+q=1考虑随机变量试求 U 和 V
7、的联合概率分布25 假设随机变量 X 等可能地取 1，2，3，4 为值，而随机变量 Y 等可能地取 1 到X 的自然数为值，试求 X 和 Y 的联合概率分布26 假设某射手的命中率为 p(0p1)，他一次一次地对同一目标独立地射击直到恰好两次命中目标为止，以 X 表示首次命中已射击的次数，以 Y 表示射击的总次数，试求：(1)随机变量 X 和 Y 的联合概率分布；(2)随机变量 Y 关于 X 的条件概率分布；(3)随机变量 X 关于 Y 的条件概率分布27 设随机变量 X1 和 X2 各只有一 1，0，1 等三个可能值，且满足条件 PX i=一 1=PXi=1= (i=1，2) 试在下列条件下
8、分别求 X1 和 X2 的联合分布 (1)PX1X2=0=1； (2)PX 1+X2=0=128 假设随机变量的分布函数为 F(y)=1 一 ey(y0) ，F(y)=0(y0)考虑随机变量求 X1 和 X2 的联合概率分布29 一枚均匀硬币重复掷 3 次，以 X 表示正面出现的次数，以 Y 表示前两次掷出正面的次数，试求随机变量 X 和 Y 的联合概率分布30 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 P(X=1)=P(X=一 1)=，令 Z=XY，证明 X，Y ，Z 两两独立，但不相互独立考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符
9、合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 连续型随机变量的分布函数是连续函数故选 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 易验证 F(2x 一 1)满足分布函数的充要条件为： 0F(2x一 1)1；单调不下降；右连续性； (2x 一 1)=1故选 A【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 设 X 的密度函数为 F(X)，因为 E(X)存在， 于是 +Xf(x)dx【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设 X 的分布律为 P(X=ai)=pi，i=1，2，Y 的密度函数为g(y)下面求 X+Y 的分布函数 F Z
10、(z)=P(X+Yz) =P(X+Yz)(X=a1)(X=a2) =P(X+yz， X=a1)U(X+Yz，X=a 2) =P(X+Yz，X=a 1)+P(X+yz，X=a 2) =P(yz一 a1，X=a 1)+P(Yz一 a2，X= 2) =P(Yz一 a1)P(X=a1)+P(yz一 a2)P(X=a2) =再由变限积分一定是连续函数可知 X+Y 的分布函数 FZ(z)为连续函数故选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 P 1=P(Xa+2)=1一 P(Xa+2)故对任意 a和 b，有 p1=p2故选 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试
11、题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 利用正态分布的标准化易得故选 D【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 P(min(X ，Y)0)=P(X0 ，Y0)=P(X0)P(Y0)= 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 由于只已知 X 与 Y 的边缘分布为正态分布，而其联合分布未知，所以(A)，(B)，(C)均不正确故选 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 4 件次品被查出来的不同方式共有 C104 种，这可看作古典概型中的基本事件总数，而有利事件数应为 C74
12、，故所求概率为 C74C 104= 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 B(n，1p)【试题解析】 因为 X 可以看成“将一枚硬币抛 n 次正面向上的次数”，于是 Y 即为反面向上的次数，所以 YB(n，1p)【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 一 1【试题解析】 由正态分布的性质可知 XY 仍服从正态分布又 E(XY)=E(X)E(Y)=一 ，故一 =1，即 =一 1【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 因为 Pmax(X，Y)2，min(X，Y)一 1 =P(X2，Y2)(X一 1)(Y一 1) =P(X一 1，Y2) (X2，Y一 1
13、) =P(X一 1，Y2)+P(X2，Y 一1)P(X一 1，Y一 1) =P(X一 1)P(Y2)+P(X2)P(Y一 1)一 P(X一 1)P(Y一1)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 P(X=k)=C nkpk(1 一 p)nk，k=0 ，1 ，n考虑比值因此，若(n+1)p 为正整数，则当 k=(n+1)p 或(n+1)p 一 1 时，P(X=k)达到最大；若(n+1)p 不是整数，则当 k=(n+1)p时，P(X=k)达到最大【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 先求 Y 的分布函数【知识模块】 概率论与数
14、理统计16 【正确答案】 先求 Y 的分布函数 F Y(y)=P(Yy)=P(maxX，X 3y)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)Y 的分布函数 FY(y)=PYy当 y1 时，F Y(y)=0；当 y2，时 FY(y)=1；当 1y2 时，F Y(y)=PY=1+P1yy =PX2)+P1Xy【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由 tan(Y2)=e X 得 Y= arctaneX由于当 0x1 时，f X(x)0，于是当 arctane 时，f Y(y)0因此，有【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由 Y 服从0，1上的均匀分布知 Y 的
15、分布函数为 FY(y)=P(Yy)=Z 的分布函数为 F Z(z)=P(Zz)=P(FX1(Y)z)=P(YFX(z) =FX(z) (因为 0FX(z)1)即 Z 与 X 有相同的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 先求 Y 的分布函数 F Y(y)=P(Yy)=P(X2 一 2X 一 5y) =P(X 一 1)26+y)当 y一 6 时，F Y(y)=0；当一 6y一 5 时，下面计算 Cov(X，Y)： Cov(X，Y)=Cov(X，X 2 一 2X 一 5) =Cov(X，X 2)一 2Cov(X，X) =E(X3)一 E(X)E(X2)一 2(E(X2)一 E2
16、(X)，【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 令 Z 表示反面出现的次数于是 XB(5， )(1)已知 Z1，于是 X 的可能取值为 0，1，2，3，4【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 Pmax(X，Y)0=P(X0)(Y0) =P(X0)+P(Y0)一P(X0，Y0) = 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 因为 X1+X2B(2，p) ，X 2+X3 B(2，p) ，于是 P(U=0，V=0)=P(X1+X2 为偶数， X2+X3 为偶数) =P(X 1=0，X 2=0，X 3=0)+P(X1=1，
17、X 2=1，X 3=1) =(1 一 p)3+p3 P(U=0，V=1)=P(X 1+X2 为偶数，X 2+X3 为奇数) =P(X1=0，X 2=0，X 3=1)+P(X1=1，X 2=1，X 3=0) =(1 一 p)2p+p2(1 一 p)=p(1 一 p) P(U=1，V=0)=P(X 1+X2 为奇数，X 2+X3 为偶数) =P(X 1=0，X 2=1，X 3=1)+P(X1=1，X 2=0，X 3=0) =(1 一 p)p2+p(1 一 p)2=p(1 一 p) P(U=1，V=1)=P(X 1+X2为奇数，X 2+X3 为奇数) =P(X 1=0，X 2=1，X 3=0)+P(
18、X1=1，X 2=0，X 3=1) =(1 一 p)2p+p2(1 一 p)=p(1 一 p)故 U 与 V 的联合分布律为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 当 ji 时，有 p ij=P(X=i，Y=j)=0；当 ji 时，有 p ij=P(X=i，Y=j)=P(X=i)P(Y=jX=i)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (1)因为 Y=n 表示第 n 次射击命中目标，且在前 n 一 1 次射击中恰有一次击中目标，各次射击相互独立，故联合分布律为 P(X=m，Y=n)=p 2(1 一 p)n2，n=2 ，3， ；m=1 ，2，n1【知识模块】 概率论与数理统计
19、27 【正确答案】 (1)由 P(X1X2=0)=1 得P(X 1X20)=0，于是 P(X1=一 1，X 2=一 1)一 P(X1=一 1，X 2=1)=P(X1=1，X 2=一 1) =P(X1=1，X 2=1)=0再由联合分布与边缘分布的关系可得 X1 和 X2 的联合分布为(2)由 P(X1+X2=0)=1 可知 P(X 1=一 1，X 2=1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=1，X 2=一 1)=1， P(X 1+X20)=0故X1 和 X2 的联合分布为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 P(X 1=0，X 2=0)=P(Y1，Y2)=P(Y1) =1 一 e
20、1 P(X 1=0，X 2=1)=P(Y1，Y 2)=0 P(X 1=1，X 2=0)=P(Y1，Y2)=P(1Y2) =F(2)一 F(1)=1 一e2 一(1 一 e1) =e1 一 e2 P(X 1=1，X 2=1)=P(Y1，Y2) =P(Y2)=1 一P(Y2) =1 一 (1 一 e2)=e2故 X1 和 X2 的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 易知 X 的可能取值为 0，1，2， 3Y 的可能取值为 0，1，2且记 A 为第 i 次出现正面，则 P(X=0，Y=0)=P(X=0)= P(X=0，Y=1)=0 P(X=0，Y=2)=0 P(X=1，Y=2)=0 P(X=2Y=0)=P(X=3，Y=0)=P(X=3，Y=1)=0 【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 易知(X，Y)的联合概率分布为这里 P(X=1，Z=一 1)一P(X=1，Y= 一 1)，其余类推 从而 X 和 Z 独立，同理 Y 和 Z 也独立，由题设知X，Y 独立但 P(X=1，Y=1，Z=1)=P(X=1 ，Y=1)=，两者不相等，所以 X，Y ，Z 两两独立，但不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计
