1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 P|X 一 |应该( )（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定2 设随机变量 X 服从正态分布 N(，4 2)，Y-N( ，5 2)；记 p1=PX 一 4，p2=PY+5，则( )（A）p 1=p2（B） p1p 2（C） p1p 2（D）因 未知，无法比较 p1 与 p2 的大小3 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)，Y=一 2X+3，则 Y 的密度函数为( )4 设 F1(x)与
2、F2(x)分别是随机变量 X1 与 X2 的分布函数，为使 F(x)=aF1(x)一 bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( )5 已知 XN(15，4) ，若 X 的值落入区间( 一 ，x 1)，(x 1，x 2)，(x 2,x3)，(x 3，x 4)，(x4，+) 内的概率之比为 7：24：38：24：7，则 x1，x 2，x 3，x 4 分别为( )（A）12，135，165，18（B） 115，135，165，185（C） 12，14，16，18（D）11，14，16，196 设随机变量 XN(， 2)，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(
3、a， b)为( )7 设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(一 a)=1 一 0a(x)dx（B）（C） F(一 a)=F(a)（D）F(一 a)=2F(a)一 18 设随机变量 Xi 的分布函数分别为 Fi(x)，i=1，2假设：如果 Xi 为离散型，则XiB(1，p i)，其中 0p i1，i=1，2如果 Xi 为连续型，则其概率密度函数为fi(x)，i=1 ，2已知成立 F1(x)F2(x)，则( )（A）p 1p2（B） p1p2（C） f1(x)f2(x)（D）f 1(x)f2(x)9 设随机变
4、量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1) ，数 u满足 PXu =，若 P|X|X= ，则 X 等于( )10 设随机变量 X 的分布函数 f(X)= 则 PX=1=( )（A）0（B）（C）（D）1e -111 设 f1(x)为标准正态分布的概率密度 f2(x)为一 1，3上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则 a，b 应满足( )（A）2a+3b=4（B） 3a+2b=4（C） a+b=1（D）a+b=2二、填空题12 假设 X 是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1 一 X已知PX029=075，则满足 PYk =025 的常数 k=_。13 若在区间(0，
5、1) 上随机地取两个数 u，v，则关于 x 的一元二次方程 x22vx+u=0有实根的概率为_14 设随机变量 XN(， 2)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 05，则=_15 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 =_16 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX2=_17 设离散型随机变量 X 的概率函数为 PX=i=pi+1，i=0，1，则 p=_18 设离散型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则随机变量|X|的分布函数为_19 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次试验当 p=_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_20 设随机变量
6、 X 服从正态分布 N(，1)，已知 Px3=0975，则 PX一092=_21 设 F(x)是连续型随机变量 X 的分布函数，常数 a0，则 -+F(x+a)一 F(x)dx=_22 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= Y 表示对 X 三次独立重复观察中事件 出现的次数，则 P(Y=2)=_23 若 为随机变量 X 的概率密度函数，则 a=_24 设随机变量 X 的分布函数为 已知则 a=_，b=_,f(x)=_25 设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2)，已知 3PX15=2PX 15 ，则P|X1|2=_26 设随机变量 X 的密度函数 f(x)= 且 P1X 2 =P2X3
7、，则常数 A=_；B=_；概率 P2x4 =_；分布函数F(x) =_27 已知随机变量 Y 一 N(， 2)，且方程 x2+x+Y=0 有实根的概率为 则未知参数=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 (I)设随机变量 x 服从指数分布 e()，证明：对任意非负实数 s 及 t，有P(Xs+t|Xs)=P(Xt)这个性质叫做指数分布的无记忆性()设电视机的使用年数 X 服从指数分布 e(0 1)，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5 年以上的概率29 已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从泊松分布 p(02)，写出 X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率
8、30 电话总机为 300 个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 001，求在一小时内有 4 个用户使用电话的概率(先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差)31 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度32 我们常假设某种型号的电子元件的寿命 X 服从指数分布，其密度为其中 0 是一个常数在某些情况，严格地说 是一个随机变量，记为 (例如元件选自一个很大的群体，这个群体的各个成员具有不同的工作特性)此时我们假设 X 的条件概率密度为
9、现设 的概率密度为试求 X 的概率密度33 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数 F(x)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 若 X 一 N(， 2)，则 因此该概率值与 无关，故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 计算得知 p1=p2，故选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 y=一 2x+3 是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=根据随机变量函数的公式：故选项 B 正确【知识模
10、块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 对任何 x，为保证 F(x)0，a 与一 b 均应大于 0，又 F(+)=aaF(+)一 bF(+)=a 一 b=1，故选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 X 落入(一 ，x 1)，(x 1，x 2)，(x 2，x 3)，(x 3，x 4)，(x 4，+)的概率应为 ，即 007，024，038，024，007PXx 4=1一 PXx 4=1007=093=(1 5)又PXx3=1 一 PXx 3=1024007=069=(05)，故 x3=16 由对称性可知 x1 与 x4，x 2 与 x3 都
11、关于 15 对称所以 x1=15 一(x 415)=12，x 2=15一(x 315)=14，故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 X-N(， 2)，其密度函数 f(x)= F(x)的拐点的 x 坐标 a应满足 F”(a)=f(a)=0，故 a= 为 f(x)的驻点，当 x= 时，F()=【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 如图 22 所示，F(一 a)=-a(x)dx= -a0(x)dx，而 -a0(x)dx=0a(x)dx，所以 F(一 a)= -0a(x)dx故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案
12、】 B【试题解析】 根据选项，只能在 A 与 B 或 C 与 D 中选一正确答案由微积分知识可知选项 C、D 未必正确，因此只考虑 A、B根据题设得：所以 F1(X)F2(X) 1p11p2，即 p2p1，故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu = 与 P|X|x=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 23 及图 24所示图形如图24 所示，根据标准正态分布的上 分位数的定义，可知 ，故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 根据分布函数 F(x)的形式
13、，它既不是离散型，也不是连续型，因此不能判断随机变量 X 的类型因此 X 取值 x 的概率可用以下方法计算： 对任意的 0，故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 由于函数 f1(x)= 是 x 的偶函数，即根据概率密度的性质，可知 1=-+f(x)dx=-0af1(x)dx+0+bf2(x)dx= 所以2a+3b=4，故选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 071【试题解析】 由于 PYk=P1 一 Xk=PX1 一 k=1 一 PX1 一 k=0 25，所以 PX1 一 k=1025=0 75又因 PX029=0
14、75，得 1 一k=029，即 k=071【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=“方程 x2 一 2vx+u=0 有实根”，因 u，v 是从(0 ，1)中任意取的两个数，因此点(u，v)与正方形区域 D 内的点一一对应(如图 25 所示)，其中 D=(u，v)|0u1，0v1事件 A=(u，v)|(2v) 2 一 4u0，(u，v)D；阴影 D1 满足事件 A，其中 D1=(u，v)|v 2u，0u ，v1利用几何型概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 4【试题解析】 设事件 A 表示“二次方程 y2+4y+X=0 无实根”，则 A
15、=164X0=X 4，依题意，有 P(A)=PX4= 而 PX 4=1 一 PX4=即【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1,从而由 D(X)=E(X2)一 E2(X)得 EX2=2故 PX=E(X2)=PX=2=【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=0+PX=1=p+p2=1，所以 p2+p 一 1=0，解得【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 由于分布函数 F(x)只在 x
16、=一 1，0，1 处有 3 个间断点，因此离散型随机变量 X 与|X| 的概率分布分别为|X|的分布函数 F|X|(x)为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 若设进行 100 次试验成功的次数为 X，则 XB(100，p)，X 的标准差为 因此当 ,成功次数的标准差的值最大，其最大值为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 0025【试题解析】 由 PX3= =(3 一 )=0975，可知 3 一=196，=104，于是 PX一 092=(一 0 92 一 )=(一 196)=0025【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 a【试题解析】 -+F
17、(x+a)-F(x)dx=-+xx+af(y)dydx -+f(y)y-aydxdy=-+af(y)dy=a【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(一 1+0)=F(一 1)，即【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 06826【试题解析】 求正态分布随机变量 X 在某一范围内取值的概率，要知道分布参数 与 ，题设中已知 =2，需先求出 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】
18、 【试题解析】 由于 1=-+f(x)dx=12Axdx+23Bdx= 又 P1X2=P2X3，【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【试题解析】 已知 YN(， 2)，且 P方程有实根=P14Y0= 即【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 【正确答案】 (I)已知随机变量 X 服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F(x) =1 一 e-x，根据结论对任意非负实数 s 及 t，有因为 X 是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数 x，有 P(Xx)=P(Xx)=F(x) P(Xt)=1 一 P(Xt)=1
19、 一 P(Xt)=1 一 F(t)=1 一(1 一 e-t)=e-t，因此可得P(xs+t|Xs)=P(Xt)成立() 已知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe(01)，则其概率分布函数为 根据(I)的结论， P(Xs+t |Xs)=P(Xt)=e-t， 假设某人买回来的电视机已经用了 x 年，则它还可以使用五年以上的概率为 P(Xx+5 | X5)=P(X5)=e-0.15=e-0.506065【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 由题意可知，Xp(02)，X 的概率函数为将 x=0，1，2，3代入函数，可得 p(0)081 87，P(1)01637， P(2)0 0164，P(
20、3)0 0011， p(4)00001，P(5)0 X 的概率分布表如下：一页上印刷错误不多于 1 个的概率 P=p(0)+P(1)09824【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 一小时内使用电话的用户数量作为随机变量 X，则XB(300，001)，概率函数为 p(x；300，001)=C 300x(001) x(099) 300-x 一小时内有 4 个用户使用电话的概率为 p(4；300，001)=C 3004(001) 4(099)29601689， X 近似服从泊松分布， =np=300001=3 泊松分布的概率函数为 一小时内有 4 个用户使用电话的概率为二者的相对误差为【
21、知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 设先后开动的两台自动记录仪无故障工作的时间分别为 X1 与X2，则 T=X1+X2，X 1，X 2 的密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变量之和的卷积公式，可得 f T(t)=-+f(x)f(t 一 x)dx=0t5e-5x.5e-5(t-x)dx=25te-5t(t0)从而其概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 先求 X 和 的联合概率密那么 X 的概率密度为 fX(x)=0+f(x,)d=0+2e-(x+1)dfX(x)=0，其他，所以【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 根据题意可知， (1)当 x1 时，F(x)=0；当 1x2 时，则(2)当 x2 时，F(x)=1 综上所述，X的分布函数 F(x)为【知识模块】 概率论与数理统计
