1、考研数学三（级数）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则( ) 2 设 an0(n=1，2，)且 收敛，又 则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 k 有关3 设 收敛，则下列级数必收敛的是( ) 4 下列说法正确的是( ) 5 下列结论正确的是( ) 6 设级数 都发散，则( ) 二、填空题7 8 级数 的收敛域为_，和函数为_9 设 则 f(n)(0)=_10 函数 展开成 x 的幂级数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?12 设级数 收
2、敛，又 anbncn(n=1，2，)证明：级数 收敛13 设正项级数 收敛，证明 收敛，并说明反之不成立14 设 为发散的正项级数，令 Sn=a1+a2+an(n=1，2，)证明：收敛14 设 a1=1， 证明：15 存在；16 级数 收敛17 设 un0(n=1，2，)， Sn=u1+u2+un证明： 收敛18 若正项级数 与正项级数 都收敛，证明下列级数收敛：19 判断级数 的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛20 设 为两个正项级数证明：21 求幂级数 的收敛域22 求幂级数 的收敛域23 求幂级数 的收敛域24 求幂级数 的收敛域25 求幂级数 的和函数26 求幂级数 的
3、和函数27 求幂级数 的和函数考研数学三（级数）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由交错级数审敛法， 收敛，而 所以 发散，选(C)【知识模块】 级数2 【正确答案】 A【试题解析】 令 因为 而 收敛，所以 收敛，于是 绝对收敛，选 A【知识模块】 级数3 【正确答案】 D【试题解析】 收敛，因为 Sn=2(u1+u2+un)一 u1+un+1，而级数收敛，所以 存在且 于是 存在，由级数收敛的定义， 收敛，选(D)【知识模块】 级数4 【正确答案】 D【试题解析】 令 显然 都发散，但 收敛，(A)不对；
4、 令 显然 都发散，但 收敛，(B)不对； 令 显然 收敛，但 发散，(C)不对； 若 收敛，且收敛，则 一定收敛； 若 收敛，则 收敛，故若 一个收敛另一个发散，则 一定发散，选(D)【知识模块】 级数5 【正确答案】 A【试题解析】 (A) 正确，因为 0(unvn)22(un2+xn2)，而 收敛，所以由正项级数的比较审敛法得 收敛； (B)不对，如 显然收敛，而 都发散； (C)不对，如 则收敛，而 发散； (D)不对，如 显然unvn(n=1，2，)且 收敛，但 发散【知识模块】 级数6 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) 因为 为正项级数，若 收敛，因为 0|un|un|+|v
5、n|，0|v n|un|+|vn|，根据正项级数的比较审敛法知，都收敛，即都绝对收敛， 都收敛，矛盾【知识模块】 级数二、填空题7 【正确答案】 【知识模块】 级数8 【正确答案】 由 得收敛半径为 R=2，当 x=一 2 时级数收敛，当x=2 时级数发散，故级数 的收敛域为一 2，2)令 则【知识模块】 级数9 【正确答案】 【知识模块】 级数10 【正确答案】 由 得 则【知识模块】 级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为发散，所以 发散 又当 n充分大时， 单调减少，且 所以级数条件收敛【知识模块】 级数12 【正确答案】 由 anbncn，得 0
6、bn 一 ancn 一 an 因为 收敛，所以收敛， 根据正项级数的比较审敛法得 收敛，又 bn=(bn 一 an)+an，则 收敛【知识模块】 级数13 【正确答案】 因为 而 收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知 收敛，反之不一定成立，如级数1+0+1+0+发散，因为 unun+1=0(n=1，2，) ，所以 收敛【知识模块】 级数14 【正确答案】 显然 单调增加，因为级数 发散，所以 对交错级数 因为 单调减少，且 所以 收敛【知识模块】 级数【知识模块】 级数15 【正确答案】 因为所以 单调减少，而 an0，即 是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则 存在【知识模块】 级数16
7、【正确答案】 由上题得 对级数 (an 一 an+1)，Sn=(a1a2)+(a2 一 a3)+(an 一 an+1)=2 一 an+1， 因为 存在，所以级数 收敛，根据比较审敛法，级数 收敛【知识模块】 级数17 【正确答案】 令 则 又 单调增加，所以 存在，于是 收敛【知识模块】 级数18 【正确答案】 (1)因为 且 收敛，所以 收敛 (2)因为 收敛，所以 收敛【知识模块】 级数19 【正确答案】 级数 是交错级数， 因为 单调减少，且 所以 收敛 因为且 发散，所以 发散，即级数 为条件收敛【知识模块】 级数20 【正确答案】 (1)取 0=1，由 根据极限的定义，存在 N0，当
8、 nN时， 即 0anb n，由 收敛得 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 收敛，从而 收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性) (2)根据(1) ，当 nN 时，有 0ann，因为 发散，所以 发散，由比较审敛法， 发散，进一步得 发散【知识模块】 级数21 【正确答案】 由 得收敛半径为 R=1， 当 x=一 1 时，发散； 当 x=1 时， 收敛，故幂级数的收敛域为(一 1，1【知识模块】 级数22 【正确答案】 由 得收敛半径为 当时， 发散，故级数的收敛域为【知识模块】 级数23 【正确答案】 令 x 一 1=t，显然级数 的收敛半径为 R=1，又当 t=1时， 由 收敛，得级数 绝对收敛，所以级数 的收敛区间为一 1，1，故原级数的收敛域为0，2【知识模块】 级数24 【正确答案】 由 得收敛半径为 当 时，收敛， 当 时，因为 收敛，而 发散，所以级数的收敛域为【知识模块】 级数25 【正确答案】 由 得幂级数的收敛半径为 当 时，收敛，故级数的收敛域为 【知识模块】 级数26 【正确答案】 由 得收敛半径为 R=4，当 x=4 时，因为所以幂级数的收敛域为(一 4，4) 【知识模块】 级数27 【正确答案】 幂级数 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1) 【知识模块】 级数
