1、考研数学三（级数）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( ) 2 设 a 为任意常数，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与常数口有关3 下列叙述正确的是( ) 4 级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定5 设 k0，且级数 收敛，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 k 的取值有关6 设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，且 R1R 2，设的收敛半径为 R0，则有( )（A）R 0=R2（B） R0=R1（C） R0R 2（D）R 0R 27 设 则级数
2、 的收敛半径为( ) 8 设 在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处( ) （A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定二、填空题9 级数 在一 1x1 内的和函数为_10 幂级数 的收敛半径为_11 幂级数 的收敛域为_12 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求幂级数 的和函数14 求幂级数 的和函数15 求幂级数 的和函数16 求幂级数 的收敛域及和函数17 求幂级数 的收敛域，并求其和函数18 求级数 的收敛域与和函数19 求幂级数 的和函数 S(x)及其极值20 (1)验证 满足微分方程(1 一 x)y+y=1+x； (2)求级数的和函数21 将
3、 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数22 将 展开成 x 一 2 的幂级数23 将 f(x)=lnx 展开成 x 一 2 的幂级数24 将 展开成 x 的幂级数24 设有幂级数25 求该幂级数的收敛域；26 证明此幂级数满足微分方程 y“一 y=一 1；27 求此幂级数的和函数考研数学三（级数）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) 因为收敛，所以 从而存在 M0，使得|u n|M，于是|u n，v n|Mvn， 因为正项级数 收敛，根据比较审敛法， 收敛，即 绝对收敛【知识模块】 级数2 【
4、正确答案】 B【试题解析】 因为 所以 绝对收敛，又因为单调减少且以零为极限，所以 收敛，而发散，所以 条件收敛，于是级数条件收敛，选(B)【知识模块】 级数3 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不对，如 un=(一 3)n-1，显然 但 发散； (B)不对，如 收敛，但 发散； (C)正确，因为 收敛，所以存在 N0，当 nN 时，0u n1，从而 0u22un1，由比较审敛法得收敛； (D) 不对，如 显然 收敛，但发散【知识模块】 级数4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 又 单调减少且以零为极限，由 Leibniz 审敛法，级数收敛而 发散，所以 条件收敛，选(B) 【知识模块】
5、 级数5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 都收敛，所以 收敛，故 绝对收敛，选(C)【知识模块】 级数6 【正确答案】 B【知识模块】 级数7 【正确答案】 D【试题解析】 当 时，级数 绝对收敛；当时，级数 发散，故其收敛半径为 选(D)【知识模块】 级数8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 在 x=一 1 处收敛，即 收敛，所以的收敛半径 R2，故当 x=2 时，|21|R，所以级数 在 x=2 处绝对收敛，选(B)【知识模块】 级数二、填空题9 【正确答案】 【知识模块】 级数10 【正确答案】 由得【知识模块】 级数11 【正确答案】 令 x 一 2=t，对级数 因为 所以收敛半
6、径为 R=2， 当 t=2 时， 发散，所以 的收敛域为( 一 2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)【知识模块】 级数12 【正确答案】 令 则故【知识模块】 级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 幂级数 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1) 【知识模块】 级数14 【正确答案】 幂级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(一，+) 令 则 【知识模块】 级数15 【正确答案】 令 x+1=t， 得收敛半径为 R=1，当 t=1 时，因为所以收敛区间为一 1t1，从而一 2x0 令当 t=0 时 S1(0)=0， 当 t0 时所以【知识模块】 级
7、数16 【正确答案】 由 得该级数的收敛半径为 R=1，因为当 x=1 时，发散，所以级数的收敛域为(一 1，1) 将 x2 换成 x 得【知识模块】 级数17 【正确答案】 则收敛半径为 R=2， 当 x=一 2 时，收敛； 当 x=2 时， 发散，故幂级数的收敛域为一 2，2) 【知识模块】 级数18 【正确答案】 令 x2+x+1=t，则级数化为 所以级数的收敛半径为 R=1，注意到 又 t=1 时，级数 收敛，所以级数 的收敛域为 由 x2+x+11 得一1x0，故级数 的收敛域为一 1，0 令时，x=-1,0 时，S(一 1)=S(0)=1，x(一 1，0)时 【知识模块】 级数19
8、 【正确答案】 令得唯一驻点 x=0，当 x0 时，S(x) 0，当 x0 时，S(x) 0，则 x=0 为 S(x)的极大值点，极大值为 S(0)=1【知识模块】 级数20 【正确答案】 (1)显然级数 的收敛域为一 1，1 即级数满足微分方程(1x)y+x=1+x( 一 1x1) (2) 方法一 由(1一 x)y+y=1+x 得 即 两边积分得 或 y=2+(1 一 x)ln(1 一 x)+C(1 一 x)， 由 y(0)=0 得C=一 2，故 y=2x+(1 一 x)ln(1 一 x)(一 1x1) 方法二 由(1 一 x)y+y=1+x 得 解得 由 y(0)=0 得 C=一 2，故
9、y=2x+(1 一 x)ln(1 一 x)(一 1x1) 【知识模块】 级数21 【正确答案】 由 f(0)=0，得 由逐项可积性得 显然 x=1 时级数收敛，所以 【知识模块】 级数22 【正确答案】 【知识模块】 级数23 【正确答案】 【知识模块】 级数24 【正确答案】 f(0)=0， 【知识模块】 级数【知识模块】 级数25 【正确答案】 因为 所以收敛半径为 R=+，故幂级数的收敛域为(一 ，+)【知识模块】 级数26 【正确答案】 令 则故该幂级数满足微分方程 y“一 y=一 1【知识模块】 级数27 【正确答案】 由 f“(x)一 f(x)=一 1 得 f(x)=C1e-x+C2ex+1， 再由 f(0)=2，f(0)=0 得所以 f(x)=chx+1【知识模块】 级数
