1、考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、填空题1 设 f()ln(1) ，当 0 时，f()f()，则 _2 函数 f() e2 的最大值为_3 曲线 L 在 t 对应点处的曲率为_4 _5 曲线 y(32) 的斜渐近线为_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设 f()二阶连续可导，且 f(0)f(0) 0，f(0)0 ，设 u()为曲线 yf()在点(， f()处的切线在 轴上的截距，求 7 设函数 f()在区间0 ，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)f(1) f(2)3，f(3)1证明：存在 (0，3)，使得 f()08 设函数
2、f()和 g()在区间a ，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)g(b)0，g()0试证明存在 (a，b)使 09 设 f()在a ，b上连续，在(a ，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得f()10 设 f()，g()在a，b 上连续，在(a，b)内可导，且 g()0证明：存在 (a，b) ，使得11 设 f()在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0f(t)dt(1)f() 012 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)f( )0证明：存在 (a，b)，使得 f()f()13 设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可
3、导，且 f(0)f(1) ，证明：存在， (0，1)，使得 f()f() 014 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得f() f()15 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 yf() 交于点 C(c，f(c)( 其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得f() 016 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)f(b)，且 f()在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0，f()017 设 ba 0，证明18 设 f()在a，b上满足f(
4、)2，且 f()在(a，b)内取到最小值证明：f(a) f(b)2(ba) 19 设 f()在0，1上二阶连续可导且 f(0)f(1) ，又 f()M ，证明：f()20 设函数 f()，g()在a， )上二阶可导，且满足条件 f(a)g(a)，f(a)g(a) ，f()g()(a)证明 !当 a 时，f()g()21 证明：当 0 时， 2 (1)ln 2(1) 22 证明不等式：arctan ln(1 2)23 求 y 0(1t)arctantdt 的极值24 设 PQ 为抛物线 y 的弦，它在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值25 证明：当 0 1 时， (1)ln 2(
5、1) 226 证明：对任意的 ，yR 且 y，有考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 1 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 f() ，由 f()f() 得 ln(1) ，解得 ， 故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用2 【正确答案】 【试题解析】 由 f()(12)e -20 得 ， 当 时，f()0；当 时，f()0， 则 为 f()的最大点，最大值为【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用3 【正确答案】 k【试题解析】 曲率为k【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学
6、的应用5 【正确答案】 y3 5【试题解析】 由得曲线的斜渐近线为 y35【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 曲线 yf()在点(，f()的切线为 Yf()f()(X) ， 令Y0，则 u()X【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用7 【正确答案】 因为 f()在0，3上连续，所以 f()在0，2上连续，故 f()在0，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)f(1)f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 C0，2 ，使得 f(c)1 因为 f()在c，3上连续，在(c，3)内可导，且 f(c) f
7、(3)1，根据罗尔定理，存在 (c，3) (0，3)，使得 f()0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用8 【正确答案】 令 ()f() bg(t)dtg() af(t)dt， ()在区间a，b上连续，在区间(a ，b)内可导，且 ()f() bg(t)dtf()g()g()f()g() af(t)dt f()bg(t)dtg() a(t)dt， 因为 (a)(b)0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使() 0，即 f()bg(t)dtg() af(t)dt0， 由于 g(b)0 及 g()0，所以区间(a， b)内必有 g()0， 从而就有 bg(t)dt0，于是有 0【知识模块】
8、中值定理与一元函数微分学的应用9 【正确答案】 令 ()f(b)lnf()lnf()lna ， (a)(b)f(b)lna 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()0 而 () f()ln f()lna， 所以 f(b)f()f()(lnlna) 0，即 f() 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用10 【正确答案】 令 F()f()g(b) f(a)g() f()g()，则 F()在a，b上连续在(a， b)内可导，且 F(a)F(b)f(a)g(b) ，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()01 而 F()f()g(b)f(a)g() f()g()f()g()，所以【知识模块
9、】 中值定理与一元函数微分学的应用11 【正确答案】 令 () 0f(t)dt 0f(t)dt 因为 (0)(1)0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()0 而 () 0f(t)dt(1)f()，故 0f(t)dt(1)f()0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用12 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b)0， 0，令 ()e -f()，则 ()e -f()f() 因为 (a)0， 0，(b)0 所以存在使得 (1)( 2)0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b) ，使得 ()0，即 e-f()f() 0，因为 e 0，所以f()f()【知识模块】 中值定理与一元函数
10、微分学的应用13 【正确答案】 存在 (0， )，( ，1)，使得因为 f(0)f(1)，所以 f()f()，即 f()f()0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用14 【正确答案】 令 F() 2，F()20(a b)，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得 再由微分中值定理，存在(a， b)，使得 f()，故 f()【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用15 【正确答案】 由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得因为点 A，B ，C 共线，所以 f(1)f( 2)， 又因为 f()二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 (1， 2)(a，b)，使得 f() 0【知识
11、模块】 中值定理与一元函数微分学的应用16 【正确答案】 因为 f()在a，b上不恒为常数且 f(a)f(b) ，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)f(b) ，不妨设 f(c)f(a)f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c) ，(c， b)，使得【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用17 【正确答案】 等价于 b(lnblna)ba ，令 1()(lnlna)( a) ， 1(a)0， 1()lnlna 0(a) 由 得 1)()0(a) ，而 ba ，所以 1(b)0， 从而 ，同理可证【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用18 【正确答案】 因为 f()在(a，
12、b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为f()在a ，b 上的最小值，从而 f(c)0 由微分中值定理得其中 (a，c) ，(c ，b) ， 两式取绝对值得两式相加得f(a) f(b)2(ba) 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用19 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)f()f()(0) (0) 2，(0，) ， f(1)f() f()(1) (1) 2，( ，1)， 两式相减得 f() f()2f()(1) 2， 取绝对值得 f() 2(1) 2， 因为 2，(1)21 ，所以 2(1) 21，故f() 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用20 【正确答
13、案】 令 ()f()g()，显然 (a)(a) 0，()0(a) 由得 ()0( a)； 再由 得 ()0( a) ，即 f()g()【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用21 【正确答案】 令 f() 2(1)ln 2(1)，f(0)0； f()2 ln 2(1)2ln(1)，f(0)0； f()2 0(0)， 由得 f()0(0)； 由 得 f()0( 0)， 即 2(1)ln 2(1)( 0)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用22 【正确答案】 令 f()arctan ln(1 2)，f(0)0令 f() arctan arctan 0，得 0，因为 f() 0，所以 0
14、 为 f()的极小值点，也为最小值点，而 f(0)0，故对一切的 ，有 f()0，即 arctan ln(1 2)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用23 【正确答案】 令 y(1)arctan0，得 0 或 1，yarctan ，因为 y(0)10，y(1) 0，所以 0 为极小值点，极小值为y0；1 为极大值点，极大值为【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用24 【正确答案】 令 P(a， )，因为 y 关于 y 轴对称，不妨设 a0 y(a)，过 P 点的法线方程为 y (a) ， 设 Q(b， )，因为 Q 在法线上，所以 ，解得 ba PQ 的长度的平方为 L(a)(b
15、 a)2 ， 由 L(a)0 得 a2 为唯一驻点，从而为最小值点， 故 PQ 的最小距离为【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用25 【正确答案】 令 f() 2(1)ln 2(1)，f(0)0； f()2 ln 2(1)2ln(1)，f(0)0； f()20(01) 由得 f()0(01) 再由得 f()0(01)， 故当 0 1 时，(1)ln2(1) 2【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用26 【正确答案】 今 f(t) et，因为 f(t) e t0，所以函数 f(t)e t 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 ，y R 且 y，有 即【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用
