1、2004 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)= 的定义域是 ( )（A）(-2，2)（B） 0，1) (1，2（C） (-2，1)(1，2)（D）(0 ，1)(1，2)2 函数 y=sin 是定义域内的 ( )（A）周期函数（B）单调函数（C）有界函数（D）无界函数3 = ( )（A）x（B） 0（C） （D）14 当 x0 时，xsinx 是比 x2 的 ( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）同阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小5 设 f(x)= ，则 x=1 是 f(x)的 ( )（A）连续点（B）
2、可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点6 设 f(x)在点 x0 的某个邻域内存在，且 f(x0)为 f(x)的极大值，则= ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）-27 下列函数中，在 x=1 处连续但不可导的是 ( )（A）y=（B） y=x-1（C） y=cot(x-1)（D）y=x 2-x8 下列函数中，在-1，1 上满足罗尔定理条件的是 ( )（A）Y=lnx 2（B） y=x（C） y=cosx（D）y=9 设 f(x)在 x=3 的某个领域内有定义，若 =-1，则在 x=3 处 ( )（A）f(x)的导数存在且 f(3)0（B） f(x)的导数不存在（C） f(x)取得极
3、小值（D）f(x)取得极大值10 曲线 y= 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）0 条11 下列函数对应的曲线在定义域内是凹的是 ( )（A）y=e -x（B） y=ln(1+x2)（C） y=x2-x3（D）y=sinx12 下列函数中，可以作为同一个函数的原函数的是 ( )13 下列等式正确的是 ( )（A）f(x)dx=f(x)（B） dd(f(x)=f(x)+C（C） f(x)dx=f(x)（D）df(x)dx=f(x)14 设 f(x)为连续函数，则 = ( )（A）2f( )-f(0)（B） 2f(1)-f(0)（C） -f(0)（D） f(1)-f(
4、0)15 下列广义积分收敛的是 ( )16 若 z=exy，则 dz (1,2)= ( )（A）e xy(ydx+xdy)（B） 3e2（C） 2e2dx+e2dy，（D）017 设 f(x，y)=(x-4) 2+y2，则点(4，0) ( )（A）不是驻点（B）是驻点但非极值点（C）极大值点（D）极小值点18 设区域 D 由 y 轴及直线 y=x，y=1 所围成，则 xdxdy= ( )19 直线 和直线 的关系是 ( )（A）平行但不重合（B）重合（C）垂直不相交（D）垂直相交20 方程 2x2-y2=1 表示的二次曲面是 ( )（A）球面（B）旋转抛物面（C）柱面（D）圆锥面21 下列级数
5、中，绝对收敛的是 ( )22 下列级数中，发散的是 ( )23 级数 的和为 ( )（A）0（B） e（C） e2（D）不存在24 用待定系数法求方程 y-2y+y=xex 的特解 y*时，下列特解设法正确的是 ( )（A）y *=(ax2+bx+c)ex（B） y=x(ax2+bx+c)ex（C） y*=x2(ax+b)e*（D）y *=x2(ax2+bx+c)e*25 设 L 为从点 A(1，0)沿 x 轴到点 B(-1，0)的直线段，则 Ly2dx= ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题26 设 ，(x0)，则 f(x)=_27 =_28 设 f(x)= 在 x=0 处连
6、续，则 k=_29 设 y=x3+5x2+e2x，则 y(10)=_30 设 =_31 =_32 y=x3-27x+2 在0，1上的最大值为_33 设 f(x)= sindt，则 =_34 =_35 设 为 f(x)的一个原函数，则 f(x)dx=_36 广义积分 ，当_时收敛37 过原点且与直线 垂直的平面方程为_38 设 z=e*+ =_39 x2d=_40 设 f(x,y)= =_三、判断题41 若 f(x)在 x=x0 处连续，则 ff(x)在点 x=x0 处一定连续 ( )（A）正确（B）错误42 若数列x n有界，则x n必收敛 ( )（A）正确（B）错误43 方程 ln(x+1)
7、=0 在1，e-1 上无实根 ( )（A）正确（B）错误44 ( )（A）正确（B）错误45 若二元函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数都存在，则 z=f(x，y)在点(x0，y 0)处可微 ( )（A）正确（B）错误四、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 计算47 设 y=y(x)是由方程 x2ey+y2=1 所确定的函数，求48 计算x 3cosx2dx49 计算50 设 z=f(x+y，xy)可微，求全微分 dz51 计算52 求幂级数 (x+1)2n 的收敛区间(不考虑端点情况 )53 求方程 y-y=0 的积分曲线，使其在点(0，0)处与直线 y=x 相切五
8、、综合题54 某地域人口总数为 50 万，为在此地域推广某项新技术，先对其中 1 万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广，设经过时间 t，已掌握此项新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为 k(k0)，求 x(t)55 过点 P(1，0)作抛物线 y= 的切线，该切线与上述抛物线及 x 轴围成一平面图形，求此图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积六、证明题56 证明：当 x0 时，ln2004 年河南省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
9、。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 0，得 4-x20，即-20，求交集得 D.2 【正确答案】 C【试题解析】 y=sin 是一个有界函数，所以选 C.3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 =0，所以当 x0 时，x-sinx 是比 x2的高阶无穷小5 【正确答案】 B【试题解析】 ，间断点 x=1 处函数 f(x)的左右极限都存在且相等，所以 x=1 是 f(x)的可去间断点6 【正确答案】 A【试题解析】 =2f(x0)，又因为 f(x0)存在且 f(x0)是 f(x)的极大值，所以 f(x0)=0，所以选 A.7 【正确答案】 B【试题解析】 y=x-
10、1在 x=1 只连续但不可导，所以选 B.8 【正确答案】 C【试题解析】 y=cosx 在-1，1上连续，在(-1 ，1)上可导，cos(-1)=cos1，满足罗尔定理，所以选 C.9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =-1，所以存在 x=3 的邻域，有 0，即无论x3 或 x10 【正确答案】 B【试题解析】 =0，所以 y 有水平渐近线； =，所以 y 有垂直渐近线，故曲线 y 有两条渐近线，选 B.11 【正确答案】 A【试题解析】 对于 A，y=-e -x，y=e -x0，所以 y=e-x 在定义域内是凹的12 【正确答案】 C【试题解析】 因为同一个函数的原函数应该只相差一个常
11、数，而选项 C 中只相差一个常数，所以选 C.13 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 未加常数，选项 B，C，D 等号右端缺 dx，因而从形式上讲不对，但 f(x)dx=f(x)是对的14 【正确答案】 A【试题解析】 ，所以选 A.15 【正确答案】 D【试题解析】 对 =1，所以 D16 【正确答案】 C【试题解析】 dz= =2e2dx+e2dy，所以选 C.17 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x，y)f(4 ，0)，所以点(4， 0)是极小值点18 【正确答案】 D【试题解析】 所以选 D19 【正确答案】 A【试题解析】 由直线 ，知其方向向量为-1,1,-2，而直线
12、 的法向量为1，-1，2 ，则 ，所以两直线只平行而且会重合，将第一条直线上的点(1 ，3，1) 代人第二条直线方程显然不满足，所以两直线仅平行而不重合20 【正确答案】 C【试题解析】 方程 2x2-y2=1 缺一个变量 z，因此表示其母线平行于 z 轴，由于它在xOy 坐标平面中表示双曲线，所以更具体地说，它表示的是双曲柱面21 【正确答案】 C【试题解析】 对于 C， 加绝对值后变为 ，根据 P 级数的特点， 1，所以 绝对收敛22 【正确答案】 A【试题解析】 的通项为 的极限不为 0，所以级数 发散23 【正确答案】 C【试题解析】 因为幂级数 =ex，x(-，+)，所以 =e224
13、 【正确答案】 C【试题解析】 齐次微分方程 y-2y+y=0 的特征方程为 r2-2r+1=0，得重根 r=1所以非齐次方程 y-2y+y=xex 的特解为 y*=xk(ax+b)ex，又因为 r=1 为重根，所以k=2，因此特解为 y*=x2(ax+b)ex25 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，二、填空题26 【正确答案】 x(x-1)【试题解析】 令 =u，解得 x= ，代入并整理得 f(u)=u(-1)，即 f(x)=x(x-1)27 【正确答案】 1【试题解析】 因为28 【正确答案】 【试题解析】 若 f(x)在 x=0 处连续，则应有 1071=f(0)而，而 f(0)=
14、k，所以 k=29 【正确答案】 2 10e2x【试题解析】 对于函数 y=x3+5x2+e2x，求 4 次导数后，y (4)=24e2x，故 y(10)=210e2x30 【正确答案】 【试题解析】 31 【正确答案】 1【试题解析】 32 【正确答案】 2【试题解析】 y=3x 2-27=3(x2-9)，因为 x0，1，所以 ymax=f(0)=233 【正确答案】 -1【试题解析】 =-134 【正确答案】 1【试题解析】 35 【正确答案】 x 2+C 【试题解析】 =x2+C36 【正确答案】 q0 时，极限为无穷大，而当 q37 【正确答案】 2x+y-3z=0【试题解析】 该平面
15、的法向量可取直线的方向向量2，1，-3，又平面过点(0，0， 0)，故平面方程为：2x+y-3z=038 【正确答案】 【试题解析】 由 z=ex+39 【正确答案】 0【试题解析】 在极坐标系下，区域 D 可表示为(r，0)02 ，01 所以40 【正确答案】 【试题解析】 三、判断题41 【正确答案】 B【试题解析】 例如，f(x)=lnx，它在 x= 处连续，而 ff(x)=ln(lnx)在 x= 处无定义，所以 ff(x)在 x= 处不连续42 【正确答案】 B【试题解析】 反例，数列 1，0，1，0，1，0有界，但不收敛43 【正确答案】 A【试题解析】 显然 =0 在1，e-1 上
16、无实根 现讨论 ln(x+1)=0 的情况，令 f(x)=ln(x+1)，则 f(x) 由于 x1，e-1，所以 f(x)0，故 f(x)在1，e-1上单调递增，而 f(1)=ln20，所以 ln(x+1)=0 在1，e-1上无实根44 【正确答案】 B【试题解析】 从 y=cosx 的图象上可以看出45 【正确答案】 A【试题解析】 二元函数 z=f(x，y) 在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在且连续，则z=f(x，y)在点(x 0，y 0)可微，本题缺少连续这个条件四、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 两边同时对 x 求导，得 2xey+x2e
17、yy+2yy=0，整理得 y= 所以48 【正确答案】 原式=49 【正确答案】 令 t= ，则 x=t2，当 x=0 时，t=0；当 x=3 时，t= ，且dx=2tdt 原式 =50 【正确答案】 令 u=x+y，v=xy ，则 所以dz=fu(u，v)+f v(u，v)ydx+f u(u，v)+f v(u，v)xdy51 【正确答案】 如第 51 题图所示，图中阴影部分即为积分区域，则52 【正确答案】 令 ，则(x+1) 22，即，得其收敛区间为53 【正确答案】 y“-y=0 的特征方程为 y2-1=O，得特征根 r=1，所以通解为y=C1ex+C2e-x由已知条件 C1e0+C2e
18、0=0，即 C1+C2=0 又 y x=1=1，所以 C1-C2=1 解得 C1= ，于是所求积分曲线方程为 y=五、综合题54 【正确答案】 令 y=x(t)，由题意可知 y=ky(50-y)，且 y(0)=1 解得 ln =50kt+C， 由 y(0)=1，得 C=-ln49 特解为 ln =50kt-ln49，即 解得 y=x(t)=55 【正确答案】 如第 55 题图所示，设过 P(1，0)点的抛物线的切线的切点为(x0，y 0)，则切线斜率为： 又切线过 P(1，0)点和(x 0，y 0)点，切线斜率又可表示为：k= ，由点(x 0，y 0)在抛物线 y= 上，得 y0= 联立得 ，解得切点为(3，1)，切线方程为 y= (x-1)所求旋转体体积为：Vx= (立方单位)六、证明题56 【正确答案】 令 f(x)=ln(x+ ，则所以 f(x)单调递增，而 x0，则 f(x)f(0)=0 故当 x0 时，ln(x+
