1、2006 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知函数 f(2x-1)的定义域为 0，1，则 f(x)的定义域为 ( )（A） ，1（B） -1，1（C） 0，1（D）-1，22 函数 f(x)=lg( -x)在(-，+)上是 ( )（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇又偶函数3 当 x0 时，x 2-sinx 是比 x 的 ( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小4 = ( )（A）（B） 2（C） 3（D）55 设函数 f(x)= ，在 x=0 处连续，则 a= (
2、)（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设函数 f(x)在 x=1 可导，则 = ( )（A）f(1)（B） 2f(1)（C） 3f(1)（D）-f(1)7 若曲线 y=x2+1 上点 M 处的切线与直线 y=4x+1 平行，则点 M 的坐标为 ( )（A）(2 ，5)（B） (-2，5)（C） (1，2)（D）(-1，2)8 设 = ( )（A）t 2（B） 2t（C） -t2（D）-2t9 已知 f(n-2)(x)=xlnx，则 f(n)(x)= ( )（A）1+（B）（C） lnx（D）xlnx10 y= 有 ( )（A）一条垂直渐近线，一条水平渐近线（B）两条垂直渐近线，一条水平渐近
3、线（C）一条垂直渐近线，两条水平渐近线（D）两条垂直渐近线，两条水平渐近线11 在下列给定的区间上满足罗尔定理的是 ( )（A）y=x-1，0，2（B） y= ，0 ，2（C） y=x2-3x+2，1 ，2（D）y=xarcsinx，0，112 函数 y=e-x 在区间(- ，+) 上为 ( )（A）单调递增且图象是凹的曲线（B）单调递增且图象是凸的曲线（C）单调递减且图象是凹的曲线（D）单调递减且图象是凸的曲线13 若f(x)dx=F(x)+C，则 e-xf(e-x)dx= ( )（A）e -x+F(e-x)+C（B） e-x-F(e-x)+C（C） F(e-x)+C（D）-F(e -x)+
4、C14 没函数 f(2x-1)=ex，则 f(x)= ( ) 15 = ( )（A）arctanx（B） 0（C） arctanb-arctana（D）aretanb+arctana16 下列广义积分收敛的是 ( )17 设区域 D 由 x=a，x=b(ba)，y=f(x)，y=g(x) 所围成，则区域 D 的面积 ( )18 若直线 与平面 3x-4y+3z+1=0 平行，则常数 n= ( )（A）2（B） 3（C） 4（D）519 设 f(x，y)=x+(y-1)arcsin ，则偏导数 (x，1)为 ( )（A）2（B） 1（C） -1（D）-220 方程 e2z-xyz=0 确定了函数
5、 z=f(x，y)，则 = ( )21 设函数 z=x2y+ = ( )（A）dx+2dy（B） dx-2dy（C） 2dx+dy（D）2dx-dy22 函数 z=2xy-3x2-3y2+20 在定义域上 ( )（A）有极大值，无极小值（B）无极大值，有极小值（C）有极大值，有极小值（D）无极大值，无极小值23 设 D 是由 x+y-2x-2y+1=0 围成的闭区域，则 dxdy= ( )（A）（B） 2（C） 4（D）1624 累次积分 f(x，y)dy(00)交换积分次序后为 ( )25 二重积分 f(rcos，rsin)rdr 在直角坐标系下积分区域可表示为 ( )（A）x 2+y22y
6、（B） x2+y22（C） x2+y22x（D）0x26 设 L 为直线 x+y=1 上坐标从点 A(1，0)到 B(0，1)的有向线段，则 L(x+y)dx-dy= ( )（A）2（B） 1（C） -1（D）-227 下列级数绝对收敛的是 ( )28 设幂级数 (an 为常数 )在 x=-2 处收敛，则 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不确定29 微分方程 sinxcosydy+cosxsinydx=0 的通解为 ( )（A）cosxsiny=C（B） sinxcosy=C（C） sinxsiny=C（D）cosxcosy=C30 微分方程 y+y-2y=xe-x，特
7、解用待定系数法可设为 ( )（A）y *=x(ax+b)e-x（B） y*=x2(ax+b)e-x（C） y*=(ax+b)e-x（D）y *=axe-x二、填空题31 设 f(x)= ，则 f(sinx)=_32 若 =_33 已知 y=arctan2x，则 dy=_34 函数 f(x)=x3+ax2+bx，在 x=-1 处取得极值-2，则 a=_，b=_35 曲线 y=x3-3x2+2x-1 的拐点为_36 设 f(x)，g(x) 是可微函数，且同为某函数的原函数，有 f(1)=3，g(1)=1，则 f(x)-g(x)=_37 (x2+sin3x)dx=_38 设 f(x)= f(x-1)
8、dx=_39 已知 a=(1，1，2)，b=(2，-1 ，1)，则向量 a 与 b 的夹角为_40 曲线 L： ，绕 x 轴旋转一周所得到的曲面方程为 _41 函数 z=xy+x2siny，则 =_42 设区域 D=(x，y)I 0x1，-1y1，则 (y-x2)dxdy=_43 函数 f(x)= 在 x=0 处展开成幂级数为_44 幂级数 的和函数为_45 通解为 y=C1e-x+C2e3x 的二阶常系数齐次线性微分方程为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 求极限47 设 y=(x2+3x)sin7，求48 求不定积分49 求定积分50 设 z=f(2x+y)+g(x，xy)，其中
9、 f(t)，g(u，v)皆可微，求51 计算二重积分 I= x2ydxdy，其中 D 是由直线 y=x，y=2x，x=1 所围成的闭区域52 求幂级 的收敛区间(不考虑端点)53 求微分方程 x2dy+(2xy-x+1)dx=0 的通解四、综合题54 某公司甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为 x 千件，y 千件甲厂月产量成本为 C1=x2-2x+5(千元)，乙厂月产量成本为 C2=y2+2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本55 求曲线 Y=(x-1)(-2)和 x 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积五、证明题5
10、6 设 f(x)在区间-a，a(a0，且 a 为常数) 上连续，求证： f(x)+f(-x)dx，并计算2006 年河南省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(2x-1)的定义域为0，1，即 0x1，所以-12x-11，所以f(x)的定义域为-1 ，1 2 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)+f(-x)=ln =ln1=0，所以 在(-，+)上函数 f(-x)=-f(x)，即为奇函数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 =-1，所以 C 为正确选项4 【正确答案】 B【试题解析】 =25 【
11、正确答案】 B【试题解析】 =2a，f(0)=a+1，要使函数在 x=0 处连续，必有2a=a+1，所以 a=1，故选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 直线 y=4x+1 的斜率为 k=4，曲线 y=x2+1 在点 M 处的切线斜率为y=2x,要使切线平行于直线 y=4x+1，必有 2x=4，得 x=2，代入曲线方程 y=x2+1，则点 M 的坐标为 (2，5)8 【正确答案】 D【试题解析】 因9 【正确答案】 B【试题解析】 已知 f(n-2)(x)=xlnx，则 f(n-1)(x)=lnx+1，f n(x)=10 【正确答案】 A【试题解析】 因 =
12、1，所以有一条水平渐近线；又因为=，故仅有一条垂直渐近线，故选 A.11 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 在 x=1 处不可导，选项 B 在 x=1 处不连续，选项 D 在区间两端点的函数值不相等，故选 C.12 【正确答案】 C【试题解析】 在区间(-，+)内函数 y=e-x 满足 y=-e-x0,y=e -x0，所以该函数在区间(-，+)内单凋递减且是凹的13 【正确答案】 D【试题解析】 若f(x)dx=F(x)+C，则e -xf(e-x)dx=-f(e-x)de-x=-f(t)dt=-F(t)=-F(e-x)+C.14 【正确答案】 D【试题解析】 函数 f(2x-1)=ex，
13、令 2x-1=t，则 x= ，所以(t)= ，则有 f(t)=f(t)dt= ，所以 f(x)=15 【正确答案】 B【试题解析】 定积分的本质为一极限值，是常数，所以 arctanxdx=016 【正确答案】 C【试题解析】 =，发散； =，发散；，收敛；而，其极限不存在，发散17 【正确答案】 D【试题解析】 因为题设没有给出函数 f(x)，g(x) 在区间 a，b 上的大小关系，所以由定积分的几何意义易知区域 D 的面积 f(x)-g(x)dx 18 【正确答案】 B【试题解析】 直线的方向向量为 =1，n ，3 ，平面的法向量为 =3，-4，3，要使直线与平面保持平行，充要条件是 ，即
14、 =3-4n+9=12-4n=0，可得 n=319 【正确答案】 B【试题解析】 f(x，y)=x+(y-1)arcsin ，则 f(x,1)=x，所以偏导数 (x，1)=120 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=e2x-xyz，得 -xy，则21 【正确答案】 A【试题解析】 ，当 x=1，y=1 时， 则=dx+2y22 【正确答案】 A【试题解析】 得唯一驻点(0，0)又因 A= (x，y)=-6，B= (x，y)=2，C= (x，y)=-6，则在驻点(0，0)处满足 B2-AC=4-3623 【正确答案】 A【试题解析】 曲线 x2+y2-2x-2y+1=0 可化为
15、(x-1) 2+(y-1)2=1，表示以(1，1)为圆心，半径为 1 的圆，则依定积分的几何意义， dxdy，表示闭区域 D 的面积，dxdy=24 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x,y)dy(a0)知积分区域为 D=(x,y)0xa，0yx，该区域又可表示为 D=(x，y)0ya，yxa，所以交换积分次序后得25 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(rcos，rsin)rdr 知，积分区域为D=(r，) 0 ，0r2sin)，是由 x，y 轴与曲线 r=2sin 围成的区域，在直角坐标系下的边界曲线方程为 x2+y2=2y，积分区域为右半圆域26 【正确答案】 D【试题解析】 L(
16、x+y)dx-dy= dx-d(1-x)= =-227 【正确答案】 C【试题解析】 对选项 A，因为 n， 显然发散，故A 发散；对选项 B，显然 不绝对收敛；对选项 C，因为，当 n时， 收敛，从而 C 绝对收敛；对选项 D，因为 不存在，所以该级数发散28 【正确答案】 A【试题解析】 因为级数 (an 为常数) 在 x=-2 处收敛，所以由收敛定理知幂级数在区间(-2， 2)内处处绝对收敛，因此在 x=-1 处也必然绝对收敛29 【正确答案】 C【试题解析】 由微分方程 sinxcosydy+cosxsinydx=0 可知，sinxcosydy+cosxsinydx=d(sinxsin
17、y)=0，所以通解为 sinxsiny=C.30 【正确答案】 C【试题解析】 由 xe-x，知多项式为 1 次多项式，又知 y+y-2y=0 对应特征方程的根为 r1=1，r 2=-2，所以 =-1 不是特征方程的根，故特解形式应设为 (ax+b)e-x二、填空题31 【正确答案】 1【试题解析】 因为sinx1 ，则 f(sinx)=132 【正确答案】 【试题解析】 33 【正确答案】 【试题解析】 dy=d(arctan2x)=34 【正确答案】 4 5【试题解析】 f(x)=x 3+ax2+bx，则 f(x)=3x2+2ax+b，因为函数在 x=-1 处取得极值-2，显然该函数在 x
18、=-1 处可导，且必有 f(-1)=3-2a+b=0，由 f(-1)=-1+a-b=-2，联立，并解得 a=4，b=535 【正确答案】 (1，-1)【试题解析】 y=x 3-3x2+2x-1，则 y=3x2-6x+2，y=6x-6，令 y=0，得 x=1；当x1 时， y0，当 x1 时，f36 【正确答案】 2【试题解析】 因 f(x)，g(x)是可微函数，且同为某函数的原函数，则有 f(x)=g(x)，从而 f(x)=g(x)+C，当 x=1 时，f(1)=g(1)+C，因为 f(1)=3，g(1)=1，则 3=1+C，故C=2，故 f(x)-g(x)=237 【正确答案】 【试题解析】
19、 根据积分的线性性质以及对称区间上奇偶函数积分的性质，可得38 【正确答案】 e-【试题解析】 因 f(x)= ，则 f(x-1)= 则39 【正确答案】 【试题解析】 已知 a=1， 1，2)，b= 2，-1，1，则a= ，a.b=3 ，从而 cos= ，所以向量 a 与 b 的夹角为40 【正确答案】 y 2+z2=2x【试题解析】 根据曲线 绕 x 轴旋转一周所得曲面方程为 f(x， )=0，可得曲线 L： 绕 x 轴旋转一周所得到的曲面方程为 y2+z2=2x41 【正确答案】 1+2xcosy【试题解析】 因 z=xy+x2siny，则 =y+2xsiny，则 =1+2xcosy42
20、 【正确答案】 【试题解析】 43 【正确答案】 【试题解析】 因为 et 在 t=0 处的幂级数展开式为 et= (tR)，所以函数 f(x)=在 x=0 处展开成幂级数为 f(x)=44 【正确答案】 ln(1+ )(-2【试题解析】 因为 ln(1+t)= (-1(-2x2)45 【正确答案】 y-2y-3y=0【试题解析】 由二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式为 Y=C1e-x+C2e3x，可知该方程的特征根分别为 r1=-1，r 2=3，所以特征方程为(r+1)(r-3)=0，即 r2-2r-3=0，所以所求微分方程为 y-2y-3y=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46
21、【正确答案】 47 【正确答案】 两边同时取对数，得 lny=sin2x.ln(x2+3x)两边对 x 求导，得=2cos2xln(x2+3x)+sin2x (2x+3) 则 =y2cos2xln(x2+2x)+ 将 y=(x2+3x)sin2x 代入上式得 =(x2+3x)sin2x.2cos2xln(x2+3x)+ .(2x+3)48 【正确答案】 令 x=2sint，则 dx=2costdt，从而 =2t-sin2t+C=2arcsin49 【正确答案】 50 【正确答案】 51 【正确答案】 D 是由直线 y=x，y=2x ，x=1 所围成的闭区域，则D=(x，y) 0x1 ，xy2x
22、，所以 I=52 【正确答案】 令 x-1=t，则 (x-1)n 可化为 又因为，所以级数的收敛半径为 R= =3，即收敛区间为-3t 3，则-3 (x-1)n 的收敛区间53 【正确答案】 微分方程 x2dy+(2xy-x+1)ax=0 可化为 x2dy+2xydx+(1-x)ax=0，即d(x2y)+(1-x)dx=0，即 d(x2y)=(x-1)dx=d (x-1)2，所以原微分方程的通解为x2y= (x-1)+C，即 y=四、综合题54 【正确答案】 设总成本为 z=f(x,y)，则 z=f(x,y)=x+y-2x+2y+8，即求在约束条件x+y-8=0，下函数 z 的条件极值.将约束
23、条件 y=8-x 代人总成本函数 z 中，得 z=f(x，y)=x+(8-x)-2x+2(8-x)+8=2x-20x+88令 z=4x-20=0，得 x=5 为唯一驻点，又 z=40，则 x=5 为极小值点，又由驻点的唯一性可知 x=5 时，每月的总成本取最小值，此时 y=3将 x=5，y=3 代入z=f(x，y)中，得最小成本为 f(5，3)=38 千元55 【正确答案】 曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴的交点分别为 (1，0)和(2，0)，则选 x 为积分变量，可得曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 Vy=2 (0-y)dx=-2 (1-x)(2-x)dx=-2 (x3-3x2+2x)dx=五、证明题56 【正确答案】 由积分的可加性得 令 x=-t，则dx=-dt，当 x 从-a0 时，t 从 a0；则
