1、2007 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 集合3 ，4 ，5 的子集个数为 ( )（A）5（B） 6（C） 7（D）82 函数 f(x)=aresin(x-1)+ 的定义域是 ( )（A）0 ，1（B） 0，2（C） 0，3（D）1 ，33 当 x0 时，与 x 不等价的无穷小量是 ( )（A）2x（B） sinx（C） ex-1（D）ln(1+x)4 x=0 是函数 f(x)=arctan 的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃问断点（D）第二类间断点5 f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=1，则 =
2、 ( )（A）-1（B） -2（C） -3（D）-46 f(x)在区间(a，b)内有 f(x)0，f(x)0 表示单调增加 f(x)0 时，y0；当 x8 【正确答案】 C【试题解析】 因 ，所以水平渐近线为 y=9 【正确答案】 B【试题解析】 10 【正确答案】 B【试题解析】 由原函数的性质知 B 为正确选项11 【正确答案】 A【试题解析】 coss(1-3x)dx= cos(1-3x)d(1-3x)= cosdt= sint+C= sin(1-3x)+C12 【正确答案】 D【试题解析】 y= (t-1)(t-3)dt，则 y=(x-1)(x-3)，所以 y(0)=(-1)(-3)=
3、313 【正确答案】 C【试题解析】 因广义积分 (a0)当 k1 时收敛，当 k1 时发散，故选 C.14 【正确答案】 C【试题解析】 对各选项直接求导，可发现 c 选项的导数为-csc 2x-sec2x=，根据原函数的概念知 C 为正确选项15 【正确答案】 B【试题解析】 根据函数 y=f(x)在区问a，b上的平均值为 的定义，知函数 y=x2 在区间1，3上的平均值为16 【正确答案】 C【试题解析】 平面的一般式方程为 Ax+By+Cz+D=0，当平面过 Oz 轴时，则系数C=D=0，故该平面方程可设为 Ax+By=0，又因该平面过点(3，-2，4)，代入平面方程可得 A= ，再代
4、入方程即得平面方程为 2x+3y=017 【正确答案】 A【试题解析】 根据曲线 ，绕 z 轴旋转所得曲面方程为 f( ，x)=0，可得双曲线 绕 z 轴旋转所得的曲面方程为18 【正确答案】 B【试题解析】 19 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(e，y)=e y，则20 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=z2y-xz2-1，得21 【正确答案】 C【试题解析】 P(x ，y)=2xy，Q(x，y)=x 2， ，则表明曲线积分与路径无关，取从 A(0，0) 到 B(1， 1)的直线段 y=x(0x1)，则 L2xydx+X2dy=x2dx=122 【正确答案】 C【
5、试题解析】 对于选项 A，可判定其通项与 同阶无穷小， 具有相同的敛散性，而 是发散的，故 发散；对于选项 B 和 C，需要利用积分收敛法才可进行判断，可判断 C 为正确选项；对于选项 D，因为也具有相同的敛散性，而 为发散的，故选项 D 的级数也为发散的23 【正确答案】 D【试题解析】 令 t=x+1，则级数可化为 ，由等比级数的敛散性可得级数 的收敛区间为-1 1，即-3 (x+1)n 的收敛区间为-324 【正确答案】 C【试题解析】 微分方程 y+3y+2y=0 对应特征方程为 r2+3r+2=0，得特征根为 r1=-1，r 2=-2，原方程的自由项为 f(x)=e-xcosx，可知
6、 =-1，=1而 +i=-1+i 并非特征方程的根，故按照此类方程特解的形式可知 C 为正确选项25 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y=f(x)满足微分方程 y+y=e2x，且 f(x0)=0，则 f(x)在 x0 处有f(x0)+f(x0)= ，得到 f(x0)= 0，故由极值存在的第二充分条件知 A 正确二、填空题26 【正确答案】 4x+13【试题解析】 由 f(x)=2x+5，知 f(x)-1=2x+4，则 ff(x)-1=f(t)=2t+5=2f(x)-1+5=22x+4+5=4x+1327 【正确答案】 0【试题解析】 构造级数 =01，由比值收敛法知该级数收敛，再由收敛级数
7、的必要条件知 =028 【正确答案】 6【试题解析】 由连续函数的充分必要条件知 limf(x)= ，要使 f(x)在 x=0 处连续，则 f(0+)=f(0-)=f(0)，从而可得 =3，即 a=629 【正确答案】 (2，4)【试题解析】 直线 y=5x-1 的斜率为 k=5，曲线 y=x2+x-2 在点 M 处的切线斜率为y=2x+1，要使过点 M 的切线平行于直线 y=5x-1，必有 2x+1=5，得 x=2，将 x=2代入曲线方程 y=x2+x-2，得 y=4，则点 M 的坐标为(2，4)30 【正确答案】 【试题解析】 因为对于 f(x)=e2x-1，有 f(n)(x)=2ne2x
8、-1，则 f(2007)(0)=31 【正确答案】 1【试题解析】 因32 【正确答案】 -2 4【试题解析】 f(x)=ax 2+bx，则 f(x)=2ax+b，因为函数在 x=1 处取得极值 2，且该函数在 x=1 处可导，所以必有 f(1)=2a+b=0，且 f(1)=a+b=2，由2a+b=0，a+b=2，得 a=-2，b=4 33 【正确答案】 lnf(x)+C【试题解析】 =lnt +C=lnf(x)+C34 【正确答案】 【试题解析】 根据定积分的几何意义，知 表示圆心在坐标原点，半径为1 的圆落在第一象限内的面积，故有35 【正确答案】 2【试题解析】 两平面的法向量分别为 =
9、1，2，-5， =4，3，m，因为两平面垂直，故 =0，即 14+23+(-5)m=0，解得 m=236 【正确答案】 【试题解析】 向量 3i+4j-k 的模等于37 【正确答案】 x 2-2y【试题解析】 函数 f(x+y，xy)=x 2+y2=(x+y)2-2xy，令 u=x+y，v=xy，f(u ，v)=u 2-2v，则 f(x， y)=x2-2y38 【正确答案】 【试题解析】 二重积分 的积分区域为 D=(x,y)0y ，yx，该区域又可表示为 D=(x，y)0x ，0yx(x， y) x1，0y ，所以交换积分次序后得39 【正确答案】 【试题解析】 级数 的前 n 项和为 Sn
10、=因为级数 收敛，故有 =0，从而=0，故 S=40 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex【试题解析】 微分方程 y-2y+y=0 对应的特征方程为 r2-2r+1=0，得特征根为r1=r2=1，所以原方程的通解为 y=(C1+C2x)ex三、判断题41 【正确答案】 B【试题解析】 收敛数列未必单调，单调数列也未必收敛；如自然数列n，单调增加但不收敛42 【正确答案】 B【试题解析】 反例如 f(x)=x2 在区间-1 ，2内连续，在(-1，2)内可导，且 f(-1)f(2)，但显然在(-1， 2)内存在 =0(-1，2)，使得 f(0)=043 【正确答案】 B【试题解析】 当 x时，
11、显然 (1+cosx)与 (1-cosx)并不存在，故不符合洛必达法则的使用条件44 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)= ，则 f(x)= 0，x (0，ln2)，所以当x(0，ln2) 时， f(x)单调递增，从而有 f(0)f(x)f(ln2)，即 0 ，所以由定积分的性质可得45 【正确答案】 A【试题解析】 f(x，y)在点 p(x，y)处可微可得 f(x，y)在点 p(x，y)处连续，反之不成立四、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 ，所以原式=e 0=147 【正确答案】 因 y= ，则在两边取自然对数得 lny=2lnx+ ln(1-x)-ln(1+x
12、)，两边对 x 求导得 ，所以得 y=y.48 【正确答案】 e 2x4+ln(1+x)dx=e2xdx+ln(1+x)dx= e2xd2x+xln(1+x)-xdln(1+x)=e2x+xln(1+x)- +xln(1+x)-1- +xln1+x-x+ln 1+x +C49 【正确答案】 50 【正确答案】 令 u=exsiny，v=3x 2y，则51 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，则积分区域还可以表示为D=(r，)02，1r2，则52 【正确答案】 53 【正确答案】 微分方程 x2dy+(y-2xy-x2)dx=0 可化为 y+ =1，为一阶非齐次线性微分方程，其中 P
13、(x)= ，Q(x)=1，则方程的通解为 y=五、综合题54 【正确答案】 设长、宽分别为 x 米、y 米，则高为 米，依题意设总造价为P(x，y)，则 P(x，y)=axy+2bx.将长和宽的值分别代入 得高为 所以，当长 x= ，宽 y= ，高 z=时，总造价最低55 【正确答案】 平面图形 D 的面积 S= =156 【正确答案】 平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所生成旋转体的体积为 y=(e-2)六、证明题57 【正确答案】 因为 f(x)在闭区间a，b上连续，所以 f(x)在闭区间x 1，x 2a，b上连续，故 f(x)在闭区间x 1，x 2上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有=f()， (x1，x 2)，又因 f(x)在闭区间x 1，x 2上连续，根据闭区间上连续函数的性质得 f(x)在闭区间x 1，x 2上必有最小值和最大值，不妨分别设为m，M ，则有 m =f()M，既有 m(x2-x1)f(x2)-f(x1)M(x2-x1)
