1、2009 年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知： 则常数 a，b 的取值分别为 ( )（A）z=-1，b=-2（B） a=-2，b=0（C） a=-1，b=0（D）a=-2，b=-12 已知函数 f(x)= 则 x=2 为 f(x)的 ( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）震荡间断点3 设函数 在点 x=0 处可导，则常数 a 的取值范围为 ( )（A）0a 1（B） 0a1（C） a1（D）a14 曲线 的渐近线的条数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 F(x)=ln(3x+1)
2、是函数 f(x)的一个原函数，则 f(2x+1)dx= ( )6 设 a 为非零常数，则数项级数 ( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关二、填空题7 已知 ，则常数 C=_8 设函数 (x)=02xtetdt，则 (x)=_9 已知向量 a=(1，0，-1)，b=(1 ，-2，1)，则 a+b 与 a 的夹角为_10 设函数 z=z(x，y)由方程 xz2+yz=1 所确定，则 _11 若幂级数 (a0)的收敛半径为 ，则常数 a=_12 微分方程(1+x 2)ydx-(2-y)xdy=0 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极限 14 设函数
3、 y=y(x)由参数方程 所确定，求15 求不定积分16 求定积分17 求通过直线 且垂直于平面 x+y+z+2=0 的平面方程18 计算二重积分 其中 D=(x，y)0x2，xy2，x 2+y2219 设函数 z=f(sin x，xy)，其中 f(x)具有二阶连续偏导数，求20 求微分方程 y“-y=x 的通解四、综合题21 已知函数 f(x)=x3-3x+1，试求： (1) 函数 f(x)的单调区间与极值； (2)曲线 y=f(x)的凹凸区间与拐点； (3)函数 f(x)在闭区间-2，3上的最大值与最小值22 设 D1，是由抛物线 y=2x2 和直线 x=a，y=0 所围成的平面区域， D
4、2 是由抛物线y=2x2 和直线 x=a，x=2 及 y=0 所围成的平面区域，其中 0a2试求： (1)D 1 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积 V1，以及 D2 绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V2； (2)常数 a 的值，使得 D1 的面积与 D2 的面积相等五、证明题23 已知函数 f(x)= 证明：函数 f(x)在点 x=0 处连续但不可导24 证明：当 1x2 时，4xlnxx 2+2x-32009 年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 由已知得 +ax+b=0，4+2a+b=0， +a
5、=4+a=3 解得 a=-1，b=-22 【正确答案】 B【试题解析】 由于 ，所以 x=2 为 f(x)的可去间断点3 【正确答案】 C【试题解析】 由已知 f(x)在点 x=0 处可导,则存在，所以 a-10，即 a14 【正确答案】 B【试题解析】 两条，一条垂直渐近线，一条水平渐近线5 【正确答案】 D【试题解析】 由已知 f(x)=F(x)= ，则f(2x+1)dx= f(2x+1)d(2x+1)= f(2x+1)+C=6 【正确答案】 C【试题解析】 ，故原级数发散二、填空题7 【正确答案】 ln2【试题解析】 所以 C=ln28 【正确答案】 4xe 2x【试题解析】 利用变上限
6、积分求导，(x)=2xe 2x.2=4xe2x9 【正确答案】 【试题解析】 利用向量夹角公式10 【正确答案】 【试题解析】 隐函数求导，方程两边对 x 求导，得 z2+x.2z.zx+zx.y=0，整理得 zx=11 【正确答案】 2【试题解析】 根据所给幂级数 an=(2n-1) 收敛半径 R=所以 a=212 【正确答案】 2lny-y=lnx+ x2+C【试题解析】 这是一个可分离变量的常微分方程，分离变量得 ，化简得( +x)dx=( -1)dy 两边积分得 2lny-y=lnx+ +C三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】
7、 令 则 x= (t2-1)，dx=tdt于是sin dx=tsintdt，原式=-td(cost)=-tcost+costdt=-tcost+sint+C，回代得原式 =16 【正确答案】 令 x= ，x=0 时，t=0；x=1 时，t= ，则17 【正确答案】 由题意，所求平面法向量 n 可取为直线方向向量 S0 与已知平面法向量 n0 的叉乘，又 s0=(3， 2，1) ，n 0=(1，1，1)所以 n=s0n0= =(1，-2，1)，已知平面通过直线 ，在直线上取一点(0，1，2)，在所求平面上利用点法式，所求平面方程为 1(x-0)+(-2)(y1)+1(z-2)=0，即 x-2y+
8、z=018 【正确答案】 由已知，画出积分区域，如图所示 法一：利用极坐标 法二：先对 y 后对 x 积分，如图19 【正确答案】 令 u=sinx，v=xy，则 z=f(u(x)，v(x，y)【试题解析】 【注】f 具有二阶连续偏导， 20 【正确答案】 令 y=P，由 y“= =P，则原方程化为 P-P=x，这是一阶线性常微方程(P(x)=-1 ，Q(x)=x) ，代入公式得其通解为 P=e-(-1)dxxe(-1)dxdx+C1=exxe-xdx+C1=ex(-xe-xe-x+C1)=-x-1+C1ex，代回原变量得 y=-x-1+C1ex，两边积分得 y=-x+C1ex+C2 即为原方
9、程的通解 【试题解析】 【注】本题也可用二阶常系数线性非齐次微分方程的一般解法求解四、综合题21 【正确答案】 (1)f(x)=3x 23，令 f(x)=0，解得 x1=1，x 2=-1，则函数的单调区间分析如下：f(x)的曲线概略图如下： 由表与图可知，函数 f(x)的单调增区间为(-，-1，-1，+)，单调减区间为-1，1在-1 ，1区间，极大值为 f(-1)=3，极小值为 f(1)=-1在(-， -1)与(1，+)函数趋于无穷大与无穷小(2)不变(3)不变22 【正确答案】 (1)利用积分几何意义，如图 D1 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积 V 1=a2.2a2-02a2x2dy=2a
10、4-02a2. dy=2a4-a4=a4D2 绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积 V2 为 V2=a2(2x2)2dx=4a2x4dx= (32-a5) (2)D 1 的面积为A1=0a2x2dx= ， D 2 的面积为 A2=a22x2dx= ，由 A1=A2，得 a= 五、证明题23 【正确答案】 由于 所以，函数 f(x)在x=0 处连续 即 f-(0)=-1，f +(0)=1 在 x=0 出，左右导数不相等，所以函数 f(x)在 x=0 处不可导24 【正确答案】 利用函数单调性证明：令 f(x)=4xlnx-x2-2x+3，则 f(x)=4lnx-2x+2 f“(x)= 当 1x2 时，f“(x) 0，则函数 f(x)在(1 ，2)上单调增加，从而 f(x)f(1)，x (1，2)，因此函数 f(x)在 (1，2)上单调增加所以当1x2 时，f(x)f(1)=0，即当 1x2 时，4xlnxx 2+2x-3
