1、2012 年广东专插本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知三个数列a n、 bb和c n满足 anbnc0(nN-)，且(a、b 为常数，且 ac)，则数列b n必定 ( )（A）无界（B）有界（C）发散（D）收敛2 =0 是函数 的 ( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点3 极限 ( )（A）6（B） 3（C） 2（D）04 如果曲线 的水平渐近线存在，则常数 a= ( )（A）-1（B） 0（C） 1（D）25 设 f(，y) ， )为连续函数，将极坐标形式的二次积分 化为直角坐标形式，则 I= (
2、 )（A）（B）（C）（D）二、填空题6 设厂()在点 0 处可导，且 f(0)=3，则 =_。7 若 ，则 f ()=_。8 若曲线 y=3+a2+b+1 有拐点(-1，0)，则常数 b=_。9 广义积分 =_。10 设函数 f(u)可微，且 ，则 z=f(42-y2)在点(1，2)处的全微分 dz (1，2)=_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 计算12 设函数 y=f()由参数方程 所确定，求 (结果要化为最简形式)。13 确定函数 的单调区间和极值。14 求不定积分ln(1+ 2)d。15 利用定积分的换元法求定积分 。16 求微分方程 y -4y+13y=0 满足初始条件
3、 y =0-1，y =0=8 的特解。17 已知二元函数 z=(2y+1)，求 。18 计算二重积 ，其中 D 是由曲线 及直线 y=1,=0 围成的闭区域。四、综合题18 已知曲线 C 经过点 M(1，0)，且曲线 C 上任意点 P(，y)(O)处的切线斜率与直线 OP(O 为坐标原点)的斜率之差等于 a(常数 a0)。求19 曲线 C 的方程；20 试确定 a 的值，使曲线 C 与直线 y=a 围成的平面图形的面积等于 。20 若当 0 时，函数 与 是等价无穷小量。求21 常数 a 的值，22 证明： 。2012 年广东专插本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项
4、中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 。2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 当 a-1=0 即 a=1 时，极限存在。5 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域如图所示，应选 B。二、填空题6 【正确答案】 -6【试题解析】 由于 f()在 0 可导且 f(0)=3，7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 39 【正确答案】 ln2【试题解析】 10 【正确答案】 4d-2dy【试题解析】 z =f(42-y2).(8)=8f(42-y2)，z y=-2yf(42-y2)，dz=8f (42-y2
5、)d-2yf(42-y2)dy， dz (1， 2)=8f(0)d-4f(0)dy=4d-2dy。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 令 f()=0 得驻点 =0，=-1 ，令 f ()=0 得 ，f()的单调区间和极值列表如下：因此，f()的递增区间为 (-，-1)，(0，+) ，递减区间为(-1，0)，极大值为 f(-1)=-2，极小值为 。14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 微分方程的特征方程为 r2-4r+13=0，特征 r1=2+3i，r 2=2-3i，故通解为 y=e2(C1sin3+C2cos3
6、)，y =e2(2C1-3C2)sin3+(2C2+3C1)cos3，代入初始条件 y =0=1，y =0=8，得 C2=1，C 1=2，故所求的特解为 y=e2(2sin3+cos3)。17 【正确答案】 18 【正确答案】 枳分区域如图所示： 四、综合题19 【正确答案】 设曲线的方程为 y=y()，由题意，得 由公式得通解 ， 由 y(1)=0 得 C=-a，故曲线 C 的方程为 y=a2-a。20 【正确答案】 解方程组 得交点 曲线 c 与 y=a 围成平面图形的面积为 ，得 a=2。21 【正确答案】 由题意，可知， 。22 【正确答案】 由(1)知 ， 设 g(t)=，得 t=1， g(0)=1,g(1)= ，g(2)=4 ，故在0，2上 g(t)4，由估值定理得 ，即 f(2)8。
