1、2012 年浙江专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)= 在 x(一，+) 上为 ( )（A）有界函数（B）奇函数（C）偶函数（D）周期函数2 已知 f(x0)=2，当 x0 时，dy 为 x 的 ( )（A）同阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设函数 f(x)满足 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，f(x)连续，则 xf(x)dx ( )（A）10（B） 9（C） 8（D）74 由 y= ， y=1，x=4 围成的图形的面积为 ( )（A）（B）（C）（D）5 已知二阶微分方程 y+
2、2y2=e x sinx，则设其特解 y*= ( )（A）e x (acosx+bsinx)（B） aex cosx+bxex sinx（C） xex (acosx+bsinx)（D）axe x cosxbe x sinx二、填空题6 (x+1)=_ 7 函数 y=sin 的连续区间为_8 已知 f(3)=2，则 =_9 若函数 y=y(x)由方程 y=1+xey 所确定则 y=_10 dx=_11 极限 表示的定积分为_12 级数 的收敛区间为_13 一阶线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为_14 在 xOy 平面上与向量 a=(4，一 3，7)垂直的单位向量是_15 平面 2x+
3、y 一 z 一 1=0 到平面 2x+y 一 z3=0 的距离为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 设 f(x)= 在 x=0 处的连续，求 a 的值17 设 f(x)= ，求 f(x)18 设曲线 ，求其拐点及凹凸区间；19 求方程 x2=xsinx+cosx 根的个数；20 求不定积分x 2lnxdx21 求定积分22 求瑕积分23 将函数 ln(1 一 x 一 2x2)展开成 x 的幂级数，并指出其收敛域四、综合题24 已知 f(x)= (x0)，求 f(x)25 设 ab e，证明：a bb a26 若 f(x)在0，1上连续， (1)证明 xf(sinx)dx= f(sin
4、x)dx，(2)计算dx2012 年浙江专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =0，故函数 f(x)有界，答案 A 正确；可验证 f(x)非奇非偶函数，所以答案 B，C 错误，也明显不是周期函数2 【正确答案】 A【试题解析】 =f(x0)=2，所以当x0 时，dy 为x 的同阶无穷小，即 A 答案正确3 【正确答案】 C【试题解析】 xf(x)dx= xdf(x)=xf(x) f(x)dx=2f(2)一 f(x) =2f(2)一f(2)+f(0)=103+1=8，选项 C 正确4 【正确答案】 B
5、【试题解析】 画图并利用定积分的几何意义，可知所围图形的面积A= dx3= ，因此答案 B 正确5 【正确答案】 C【试题解析】 二阶微分方程 y+2y+2=ex sinx 的特征方程为 r2+2r+2=0，解得r11+i，r 21i，又因 +i1+i 是特征方程的根，故取 k=1，R m(x)=1，因此 y+2y+2=ex sinx 具有的特解形式可设为 y*=xex (acosx+bsinx)，答案 C 正确二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 (x+1)= =27 【正确答案】 ，1【试题解析】 该函数在定义域内处处连续，所以解不等式组，解得定义域为 x ，1因此所求函数的连续区间
6、为 x ，18 【正确答案】 一 4【试题解析】 由导数定义可得=49 【正确答案】 y=【试题解析】 隐函数方程求导，y=e y+xey.y，解得 y=10 【正确答案】 lncscxcotx cosxC【试题解析】 dx=cscxdxsinxdx=ln cscx cotxcosxC11 【正确答案】 dx【试题解析】 利用定积分定义求极限， =，此极限为函数 f(x)= 在x0，1上的定积分，即12 【正确答案】 (1，1)【试题解析】 因为 1，所以幂级数 的收敛半径 R= =1，故收敛区间为 (一 1，1)13 【正确答案】 y=e P(x)dx Q(x)eP(x)dxdx+C【试题解
7、析】 由一阶线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的通解公式 y=eP(x)dx Q(x)eP(x)dxdx+C14 【正确答案】 b=【试题解析】 设所求向量 b=(x，y，0)，则 x2+y2=1 ；且 a.b=0，即 4x3y=0 由和解得 ，即b= ，0)15 【正确答案】 【试题解析】 可以判断两平面平行，故平面 2x+yz 一 1=0 到平面 2x+yz+3=0的距离可以转换为平面 2x+yz1=0 上任一点到平面 2xyz3=0 的距离，即d=三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 =3， f(x)=a因为函数 f(x)在 x=0 处连续，所以f(0)=a=3
8、17 【正确答案】 当 x0 时，f(x)=2x 当 x0 时， f(x)=2e 2xf(x)在 x=0 处不可导 f(x)=18 【正确答案】 据题意，y= ，y= 令 y=0，则可得 x=0，x= 一 2 当 x0 时， y0；当 0x2 时，y 0；当 x2 时，y0 而且当 x=0 时， y= ；当 x=2 时，y= 所以点(0 ， )和(2， )为拐点 凸区间为x(0，2)，凹区间为( 一 ，0)，(2 ，+) 19 【正确答案】 令函数 f(x)=x2 一 xsinxcosx，则 f(x)在 xR 上处处连续且可导f 0在闭区间上分别应用零点定理可知，分别至少存在一点 ( ，0)，
9、(0， )，使得 f()=0，f()=0 即方程 x2=xsinx+cosx 至少有两个实根又因为f(x)=x(2cosx)，当 x0 时，f(x) 0，所以函数 f(x)在 x(一，0)上单调递减，即当 x0 时，方程 x2=xsinx+cosx 只有一个实根 ； 当 x0 时，f(x) 0，所以函数 f(x)在 x(0，+)上单调递增，即当 x0 时，方程 x2=xsinx+cosx 只有一个实根综上可知，方程 x2=xsinx+cosx 仅有两个实根 20 【正确答案】 x 2lnxdx= lnxdx3= x3lnx x2dx= x3lnx x3+C21 【正确答案】 22 【正确答案】
10、 x=0 是瑕点，令 t= ，则 x=t2，当 x0 时，t0 ，x=1 时，t=1再令 t=tanu，则当 t=1 时，u= ，当 t=0 时，u=0 所以23 【正确答案】 ln(1 一 x 一 2x2)=ln(12x)(1+x)=ln(12x)+ln(1+x) 因为 ln(1+x)=xn，收敛区间为 x(1，1) 所以 ln(12x)= ，收敛区间为 x( ) 所以 ln(1x2x 2)= (1) n1 2 n，收敛区间为 x() 四、综合题24 【正确答案】 当 0xe 时，f(x)= = =1 当x=e 时，f(e)= =1 当 xe 时，f(x)= =lnx 所以f(x)=25 【
11、正确答案】 (拉格朗日中值定理)设 f(x)= ，x b，a函数 f(x)在闭区间xb，a上连续，在开区间(b，a)内可导所以由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (b，a)，使得 f(a)f(b)= =f()(ab) (ab)，其中 ba eb a，ln lne，即 ln 一 10 1 一 ln0blnaalnb0，即 alnbblna ， baa babb a26 【正确答案】 xf(sinx)dx (t)fsin(t)dt= (t)f(sint)dt=f(sint)dt tf(sint)dt= f(sinx)dx xf(sinx)dx xf(sinx)dx= f(sinx)dx利用上述结论，即得 dx=
