1、2012 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 x=0 是函数 的（A）可去问断点（B）连续点（C）无穷间断点（D）跳跃间断点2 设f(x)dx=e x+C，则不定积分f(x)e xdx=（A）2e x+C（B）（C）（D）2e 2x+C3 函数 在点 x=1 处（A）可导且 f(1)=2（B）不可导（C）不连续（D）不能判定是否可导4 设级数 收敛于 S，则级数 收敛于（A）S（B） 2S（C） 2S+u1（D）2S 一 u15 微分方程 的通解为（A）e y+ex=C（B） ey 一 ex=C（C） e-y+ex=C（D
2、）e -y 一 ex=C二、填空题6 设函数 在 x=0 处连续，则 a 的值为_7 设函数 f(x)在点 x0 处可导，且 f(x0)=2，则 的值为_.8 设函数 f(x， y，z)=x 2+y2+z2，则函数 f(x，y，z) 在点(1，1，一 1)处的梯度gradf(1，1，一 1)为_9 设方程 0xsintdt+0ye-tdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 =_10 曲面 z=x2+2y2 一 1 在点(1，1，2)处的切平面方程为_三、综合题11 求极限12 设参数方程13 求函 的单调区间和极值14 设函数 ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求15 计算定积分16 计算二重积
3、分 ，其中 D 是由圆 与直线 y=x 及y 轴所围成第一象限的区域17 将函数 展开为(x 一 1)的幂级数，指出展开式成立的区间，并求级数18 设函数 ，求函数 f(x，y，z) 的偏导数及在点(1,1，1)处的全微分 df(1，1,1)19 设 L 为取正向的圆周 x2+y2=4，计算曲线积分20 求微分方程 y一 y=3e2x 满足初始条件 y x=0=1，y x=04 的特解?四、证明题21 设曲线方程为 y=1 一 x2， (1) 求该曲线及其在点(1，0)和点(-1 ，0)处的法线所围成的平面图形的面积； (2)求上述平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积22 设函数 f(x
4、)在0，1上连续，且 01f(x)dx=0，证明：在(0，1)内至少存在点 ，使得2012 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 即 f(x)在 x=0 处极限存在但 f(x)在 x=0 处无定义，所以 x=0 为可去间断点，所以选 A。2 【正确答案】 C【试题解析】 由(x)dx=e x+C 两边同时对 x 求导得 f(x)=ex，把 f(x)=ex 代入f(x)e xdx有 ，所以选 C。3 【正确答案】 A【试题解析】 由原式可得 由此可知在 x=1 处 f(1)=2，所以选A。4
5、【正确答案】 D【试题解析】 设 的前 n 项和为 Tn，则Tn=(u1+u2)+(u2+u3)+(un+un+1)=2(u1+u2+u3+un)一 u1+un+1=2Sn 一 u1+un+15 【正确答案】 B【试题解析】 即 ey 一ex=c，所以选 B。二、填空题6 【正确答案】 一 1【试题解析】 由连续充要条件得 即有；0=1+a 解得 a=一 17 【正确答案】 4【试题解析】 8 【正确答案】 2(i+j 一 k)【试题解析】 gradf(1 ，1，一 1)=fx(1，1，一 1),fy(1，1，一 1)，f z(1，1，一 1)=2，2，一 2或写成 2(i+j 一 k)9 【
6、正确答案】 【试题解析】 公式法求：10 【正确答案】 2x+4yz 一 4=0【试题解析】 由题知法向量为 n=zx(1，1，2)，z y(1，1，2)，一 1)，即n=2， 4，一 1)，故在点(1，1，2)处法平面方程为：2(x 一 1)+4(y 一 1)一(22)=0，即 2x+4yz 一 4=0三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 当时，f(x)0，故函数 f(x)在(一，0和 内单调增加，在 内单调减少,函数 f(x)在 x=0 取得极大值 f(0)=0，在 处取得极小值14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】
7、18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 特征方程 r2 一 1=0，r 1,2=1 对应齐次方程的通解为 y=C1ex+C2e-x，求出其一个特解为 y *=e2x 其通解为：y=C 1ex+C2e-x+e2x解出 C1=1，C 2=一 1 满足初始条件的特解为 y=ex一 e-x+e2x四、证明题21 【正确答案】 y=一 2x 由线在点(1，0)处的法线方程为曲线在点(一 1，0)处的法线方程为(1)所求面积为(2)所求体积为22 【正确答案】 令 F(x)=x0xf(t)dt，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0 由 Rolle 定理知，至少存在一点 (0，1)，使得 F()=f()+0tf(t)dt=0即 f()+f(x)dx=0
